Transcript 2008-03-31 经济数据分析第四讲

第二部分 时间序列分析
——向量自回归（VAR）模型
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1
内容安排
•
•
•
•
•
•
•
一、向量自回归模型定义
二、VAR的稳定性
三、VAR模型滞后期k的选择
四、VAR模型的脉冲响应函数和方差分解
五、格兰杰非因果性检验
六、VAR与协整
七、实例
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2
1953—1997年我国gp,cp,ip
50000
40000
30000
20000
10000
0
55
60
65
70
GP
75
80
CP
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85
90
95
IP
3
1953—1997年我国rgp,rcp,rip
.4
.3
.2
.1
.0
-.1
-.2
-.3
-.4
-.5
55
60
65
70
RGP
75
80
RCP
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85
90
95
RIP
4
1953—1997年我国Lngp,Lncp,Lnip
11
0.8
10
0.4
9
0.0
8
-0.4
7
-0.8
6
-1.2
5
-1.6
4
55
60
65
70
LNGP
75
80
LNCP
85
90
95
55
60
65
DLNGP
LNIP
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70
75
80
DLNCP
85
90
95
DLNIP
5
一、向量自回归模型定义
• 1980年Sims提出向量自回归模型（vector
autoregressive model）。
• VAR模型是自回归模型的联立形式，所以
称向量自回归模型。
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假 设 y1 t , y 2 t 之 间 存 在 关 系 , 若 分 别 建 立 两 个 回 归 模 型
y1, t  f ( y1, t 1 , y1, t  2 , ......)
y 2 , t  f ( y 2 , t  1 , y 2 , t  2 , ......)
产生的问题是什么?
无法捕捉两个变量之间的关系
解决办法:建立两个变量之间的关系
两 个 变 量 y1 t , y 2 t 滞 后1期 的 V A R 模 型 为 例 :
 y1, t  c1   11.1 y1, t 1   12.1 y 2 , t 1  u 1 t

 y 2 , t  c 2   21.1 y1, t 1   22.1 y 2 , t 1  u 2 t
其 中 u 1t , u 2 t
IID (0,  ), cov( u 1t , u 2 t )  0
2
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7
写成矩阵形式是 :
 y1 t 

=
 y2t 
 c1 
 +
 c2 
  11.1

  21.1
 12.1   y1, t 1 
 u1t 
+ 

 22.1   y 2 , t 1   u 2 t 
 y1 t 
  11.1
 c1 
设 Yt = 
 ,C =   ,  1  
 c2 
 y2t 
  21.1
 12.1 
 u 1t 
 , ut   
 22.1 
u 2t 
则 Y t  c   1Y t  1  u t
由 此 , 含 有 N 个 变 量 滞 后 k期 的 VAR模 型 表 示 如 下 :
Yt  c   1Yt 1   2 Yt  2  ......   k Yt  k  u t , u t
IID (0,  )
上述方程可以用OLS估计吗?
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VAR模型的特点：
• （1）不以严格的经济理论为依据。
– ①共有哪些变量是相互有关系的，把有关系的
变量包括在VAR模型中；
– ②确定滞后期k。使模型能反映出变量间相互
影响的绝大部分。
• （2）VAR模型对参数不施加零约束。
• （3）VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量，
所有与联立方程模型有关的问题在VAR模型中都
不存在。
• （4）有相当多的参数需要估计。当样本容量较小
时，多数参数的估计量误差较大。
• （5）无约束VAR模型的应用之一是预测。
• （6）用VAR模型做样本外近期预测非常准确。做
样本外长期预测时，则只能预测出变动的趋势，
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而对短期波动预测不理想。
估计VAR的EVIEW操作
• 打开工作文件，点击Quick键, 选Estimate VAR功能。
作相应选项后，即可得到VAR的表格式输出方式。在
VAR模型估计结果窗口点击View 选 representation功
能可得到VAR的代数式输出结果。
• VAR模型静态预测的EViews操作：点击Procs选Make
Model功能。点击Solve。在出现的对话框的Solution
option（求解选择）中选择Static solution（静态解）。
• VAR模型动态预测的EViews操作：点击Procs选Make
Model功能（工作文件中如果已经有Model，则直接双
击Model）。点击Solve。在出现的对话框的Solution
option（求解选择）中选择Dynamic solution（动态
解）。
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二、VAR的稳定性
• VAR模型稳定的充分与必要条件是Π1 的所有特征
值都要在单位圆以内（在以横轴为实数轴，纵轴为
虚数轴的坐标体系中，以原点为圆心，半径为1的
圆称为单位圆），或特征值的模都要小于1。
1、单方程情形
A R (2)
y t  1 y t  1   2 y t  2  u t
改 写 为 ( 1- 1 L   2 L ) y t    L  y t  u t
2
y t 稳 定 的 条 件 是   L   0的 根 据 必 须 在 单 位 圆 以 外
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2、VAR 模型
• Yt=+1Yt-1+ut为例
• 改写为：（I- 1L）Yt=+ut
• VAR模型稳定的条件是特征方程|1-λI|=0的
单位圆以内，特征方程|1-λI|=0的根就是
1的特征值。
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例：N=1，k=1时的VAR模型
 y 1t 


 y 2t 
 5 / 8 1 / 2   y 1, t  1 
•= 

 
y
1 / 4 5 / 8   2 , t  1 
+
 u 1t

u
 2t




| I -  1L |
1
 
0
0   (5 / 8) L

1   (1 / 4) L
(1 / 2) L 
1  (5 / 8) L
  
(5 / 8) L 
  (1 / 4) L
 (1 / 2) L 

1  (5 / 8) L 
 (1  (5 / 8) L )  1 / 8 L  (1  0.987 L )(1  0.27 L )  0
2
2
求解得:
L1  1 / 0.978  1.022
L 2  1 / 0.27
因 为 , L1 , L 2 都 大 于 1, 则 对 应云南大学发民研究院
的 VAR 模 型 是 稳 定 的 .
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3、VAR模型稳定性的另一判别
法
|=0
• 特征方程 | 1L -λL的根都在单位圆以内。特
征方程的根就是П1的特征值。
• 上述例子则有：1 = 0.9786, 2 = 0.2714
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注意的问题
• （1）因为L1=1/0.978 =1/1, L2 =1/0.27=1/2，所
以特征方程与相反的特征方程的根互为倒数，L =
1/ 。
• （2）在单方程模型中，通常用相反的特征方程
(L) = 0的根描述模型的稳定性，即单变量过程
稳定的条件是（相反的）特征方程(L) = 0的根
都要在单位圆以外；而在VAR模型中通常用特征
方程 |1-I|=0的根描述模型的稳定性。VAR模型
稳定的条件是，特征方程|1-I|=0的根都要在单
位圆以内，或相反的特征方程|I–L1|=0的根都要
在单位圆以外。
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4、K>1的VAR模型稳定性
• 对于k>1的k阶VAR模型可以通过友矩阵变换
（companion form），改写成1阶分块矩阵的VAR
模型形式。然后利用其特征方程的根判别稳定性。
• 给出K阶VAR模型：
• Yt=c+1Yt-1+2Yt-2+…+kYt-k+ut
• 配上如下等式：Yt-1=Yt-1 Yt-2=Yt-2 …
•
Yt-k+1=Yt- k+1
• 将以上K个等式写成分块矩阵形式
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 Yt 
Π1
c 



 
Y t 1
I
0



 
 Yt  2 
 0
 0



 



 

Y

 
 t  k  1  N K 1  0  N K 1  0
令
Π2
Π k 1
0
0
I
0
0
I
Πk

0

0 


0  N K  N K
 Y t 1 
 ut 


 
Yt  2
0


 
Yt 3 
0


 


 
Y 
 
 t  k  N K 1  0  N K 1
Yt  (Yt , Yt 1 , Yt  2 . ...Yt  k  1 ) N K 1
C  ( c , 0, 0....0) N K 1
 1

I

A 0

 ...
 0
2
...
 k 1
0
...
0
I
...
0
...
...
...
0
...
I
k

0

0 

... 
0 
NK  NK
U t   u t 0 0 ... 0  N K 1
上 式 可 写 为 Yt  C  A Yt 1  U t
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VAR模型的稳定性要求A的全部特征值，即特征方
程|A-I|=0的全部根必须在单位圆以内或者相反的特
征方程|I-LA|=0的全部根必须在单位圆以外。
注意：特征方程中的A是NkNk阶的。特征方程中
的I也是NkNk阶的
• 例：2阶VAR的友矩阵变换为例
I
I  AL  
0
0   1

I  I
2
L 
0 
I   1L
 2 L
 IL
I
 | I   1 L   2 L | 0 的 全 部 根 必 须 在 单 位 圆 以 外 .
2
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5、VAR稳定性的EVIEW操作
• 求VAR模型特征根的EViews操作：在VAR
模型估计结果窗口点击View 选 Lag
Structrure, AR Roots Table 功能，即可得
到VAR模型的全部特征根。若选Lag
Structrure, AR Roots Graph 功能，即可得
到单位圆曲线以及VAR模型全部特征根的
位置图。
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6、VAR模型的稳定性特征
• 稳定性是指当把一个脉动冲击施加在VAR模型中
某一个方程的新息（innovation）过程上时，随着
时间的推移，这个冲击会逐渐地消失。如果是不
消失，则系统是不稳定的。
Yt  c   1Yt 1  u t
采用迭代方式计算,
对于t 期, 则有
Yt  ( I   1   1  ...   1
2
t 1
t 1
) c   1 Y0 
t

 1 ut i
i
i0
Y t 表 示 成 了 漂 移 向 量 c , 初 始 值 向 量 Y 0 和 新 息 向 量 u t的 函 数 ,
则 系 统 是 否 稳 定 可 以 通 过 观 察 漂 移 向 量 c , 初 始 值 向 量 Y0
和 新 息 向 量 ut经 受 冲 击 后 的 再 现 .
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假定模型是稳定的，将有如下3个结论
• （1）假设t = 1时，对c 施加一个单位的冲击，那
么到t期的影响是
t 1
( I   1   1  ...   1 ) 当 t   时 , 此 影 响 是 一 个 有 限 值 , ( I   1 )
2
1
• (2）假设在初始值Y0上施加一个单位的冲击。到t
期的影响是 1t。随着t ，1t  0，影响消失
（因为对于平稳的VAR模型，1中的元素小于1，
所以随着t ，取t次方后，1t  0）。
t 1
(3) 从   1 u t  i 项 可 以 看 出 ,白 噪 声 的 冲 击 离 t 期 越 远 , 影 响 力 就 越 小 .
i
i0
t 1

i0
i
1
t -1
 ( I   ) 称 作 长 期 乘 子 矩 阵 , 是 对   1u t  i 求 期 望 得 到 的 .
1
i
i0
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三、VAR模型滞后期k的选择
•
1、用LR统计量选择k值。LR（似然比）
统计量定义为
L R   2(log L ( k )  log L ( k  1) )  
2
2
(N )
当 VAR模 型 滞 后 期 变 量 的 增 加 不 会 给 极 大 似 然
值 带 来 显 著 性 增 大 时 ,即 L R统 计 量 的 值 小 于 临 界
值 时 ,新 增 加 的 滞 后 变 量 对 VAR模 型 毫 无 意 义.
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2、用赤池（Akaike）信息准则 (AIC) 选择k值。

A IC  lo g 



ˆt 2 
u
2k
t 1


T
T

T
E v ie w的 计 算 公 式 是 :
2k
 lo g L 
A IC  -2 


T
T


• 3．用施瓦茨（Schwartz）准则 (SC) 选择k值。

S C  lo g 



ˆ t 2  k lo g T
u
t 1


T
T

T
E view的 计 算 公 式 为
 lo g L  k lo g T
SC  2 

T
 T

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例
• k =1、2、3、4时的logL、Akaike AIC和Schwarz
SC的值见下表。
VAR(1) VAR(2) VAR(3)
VAR(4)
logL
-2 (log L(k) - log
L(k+1) )
184.6
28.6
198.9
2.2
200.0
15.6
 2(9) = 16.9
Akaike AIC
Schwarz SC
-7.84
-7.36
-8.27
-7.41
-8.09
-6.85
-8.23
-6.6
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207.8
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VAR滞后期的EVIEW操作
• 在VAR模型估计结果窗口点击View 选 Lag Structrure, Lag
Lengyh Criteria 功能，即可得到5个评价统计量的值。
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四、VAR模型的脉冲响应函数和方差分解
•1、脉冲响应函数
• 脉冲响应函数描述一个内生变量对误差冲击的反
应。具体地说，它描述的是在随机误差项上施加
一个标准差大小的冲击后对内生变量的当期值和
未来值所带来的影响。
• 对于任何一个VAR模型都可以表示成为一个无限
阶的向量MA(∞)过程。具体方法是对于任何一个
VAR(k)模型都可以通过友矩阵变换改写成一个
VAR(1)模型
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Yt  A1 Yt
 Ut
-1
( I - L A 1 ) Yt  U t
Yt  ( I - L A 1 ) U t  U t  A1U t -1  A1 U t - 2 
-1
2
 A1 U t - s 
s
因 此 , V A R ( k )可 以 写 成 一 个 无 限 阶 的 向 量 M A (  )
Yt  s  U t  s  A1U t  s -1  A1 U t  s - 2 
2
令
j
 A1
j
 A1 U t 
s
j  1, 2, .... s
则 有 : Yt  s  U t  s   1U t  s -1   2U t  s - 2 
显 然 有 : s 
  sU t 
 Yt  s
U t
 s中 第 i 行 第 j 列 元 素 表 示 的 是 , 令 其 他 误 差 项 在 任 何 时 期 都 不 变 的 条 件 下 ,
当 第 j 个 变 量 y jt 对 应 的 误 差 项 u jt 在 t 期 受 到 一 个 单 位 的 冲 击 后 , 对 第 i 个 内
生 变 量 y it 在 t  s 期 造 成 的 影 响
把  s中 第 i 行 第 j 列 元 素 看 作 是 滞 后 期 s的 函 数
 y i ,t  s
 u jt
, s  1, 2, 3...称 作 脉 冲 响 应 函 数 .
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27
对上述脉冲响应函数的解释存在的问题是什么?
• 实际中各方程对应的误差项从来都不是完
全非相关的。当误差项相关时，它们有一
个共同的组成部分，不能被任何特定的变
量所识别。
• 即前述的协方差矩阵是非对角矩阵,意味着
扰动项中的其他元素随着第j个元素的变化
而变化,这与计算脉冲响应函数假定第j个元
素的变化,而扰动项中的其他元素不变化相
矛盾.
• 怎样解决?
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28
Cholesky分解
• 引入一个变换矩阵M与ut相乘
• vt=Mut(0,)
• 常用的方法就是Cholesky分解法,从而使误
差项正交
• 原误差项相关的部分归于VAR系统中的第
一个变量的随机扰动项。
• Cholesky分解法存在的缺点:
• 方程顺序的改变将会影响到脉冲响应函数
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VAR模型残差序列及其方差、协方差矩阵的
EVIEW求法。
• 点击VAR窗口中的Procs键，选Make
Residuals（生成残差）功能，工作文件中
就会生成以resid01, resid02,…为编号的残
差序列（残差序列的顺序与VAR模型估计
对话框中输入的变量顺序相一致），并打
开残差序列数据组窗口。在这个残差序列
数据组窗口中点击View键，选择
Covariances功能，即可得到残差序列的方
差、协方差矩阵。选择Correlation功能，即
可得到残差序列的相关系数矩阵。
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30
脉冲响应的EViews操作
• 点击VAR窗口中的Impulse键。在随后弹出
的对话框中做出各项选择后点击OK键
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31
Display菜单提供下列选项
(1) 显示形式（Display Format）
选择以图或表来显示结果。如果选择Combined Graphs 则
Response Standard Error选项是灰色，不显示标准误差。
而且应注意：输出表的格式是按响应变量的顺序显示，而不
是按脉冲变量的顺序。
(2) 显示信息（Display Information）
输入产生冲击的变量（Impulses）和希望观察其脉冲响
应的变量（Responses）。可以输入内生变量的名称，也可
以输入变量的对应的序数。
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32
Impulse Definition菜单提供了转换脉冲的选
项
(1) Residual-One Unit
(2) Residual-One Std.Dev
(3) Cholesky分解
用残差协方差矩阵的Cholesky因子的逆来正交化脉冲。
(4) 广义脉冲（Gneralized Impluses）
(5) 结构分解（Structural Decomposition）
用结构因子分解矩阵估计的正交转换矩阵。
(6) 用户指定（User Specified）
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33
2、方差分解
• 分析未来t+s期的yj,t+s的预测误差的方差由
不同新息的冲击影响的比例。
• 假设下式是由任一VAR(k) 模型转换而得到
的关于Yt的一阶向量自回归模型。
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方差分解的EViews操作
从VAR的工具栏中选View/Variance decomposition项。注意，
因为非正交的因子分解所产生的分解不具有较好的性质，
所以所选的因子分解仅限于正交的因子分解。
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五、格兰杰非因果性检验
• VAR模型还可用来检验一个变量与另一个变量是
否存在因果关系。经济计量学中格兰杰
（Granger）非因果性定义如下：
• 格兰杰非因果性：如果由yt和xt滞后值所决定的yt
的条件分布与仅由yt滞后值所决定的条件分布相
同，即
• (ytyt-1,…,xt-1,…)=(ytyt-1,…)则称xt-1对yt存在格兰
杰非因果性。
• 格兰杰非因果性的另一种表述是其它条件不变，
若加上xt的滞后变量后对yt的预测精度不存在显着
性改善，则称xt-1对yt存在格兰杰非因果性关系。
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• VAR 模型中以yt为被解释变量的方程表示如下：
k
yt 

i 1
k
i
y t  i    i x t  i  u 1t
i 1
• 检验xt对yt存在格兰杰非因果性的零假设是
• H0:1=2=…=k=0
• 上述检验用F统计量来完成
F 
( SSE y  SSE u ) k
SSE u (T  kN )
• 用样本计算的F值如果落在临界值以内，接受原假
设，即xt 对yt不存在格兰杰因果关系。
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Grange因果性检验EViews操作方法
• 打开数剧组窗口，点View键，选Granger
Causility。在打开的对话窗口中填上滞后期，点
击OK键。
•
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38
输出结果对于
VAR模型中的每
一个方程，将输
出每一个其他内
生变量的滞后项
(不包括它本身
的滞后项)联合
显著的2(Wald)
统计量，在表的
最后一行(ALL)
列出了检验所有
滞后内生变量联
合显著的2统计
量。对例进行检
验，其结果如下：
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注意的问题：
• （1）滞后期k的选取是任意的，实质上是一个判
断性问题。一般来说要试检验若干个不同滞后期k
的格兰杰因果关系检验，且结论相同时，才可以
最终下结论。
• （2）当做xt是否为导致yt变化的格兰杰原因检验
时，如果zt也是yt变化的格兰杰原因，且zt又与xt
相关，这时在xt是否为导致yt变化的格兰杰因果关
系检验式的右端应加入zt的滞后项（实际上是3个
变量VAR模型中的一个方程）。
• （3）不存在协整关系的非平稳变量之间不能进行
格兰杰因果关系检验
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六、VAR与协整
• 如果VAR模型
• Yt=1Yt-1+2Yt-1+…+kYt-k+ut,
• utIID (0, )的内生变量都含有单位根，那么可以
用这些变量的一阶差分序列建立一个平稳的VAR
模型。
• Yt= 1*Yt-1+2*Yt-2+…+k*Yt-k+ut*
• 如果YtI(1)，且非平稳变量间存在协整关系。
• 差分方程存在的问题是什么？
• 丢失重要的非均衡误差信息
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1、VEC的推导
• 对于k=1的VAR模型，Yt=1Yt-1+ut，两侧同减Yt-1，得
• Yt=(1–I)Yt-1+ut
• 对于k=2的VAR模型，Yt= 1Yt-1+2Yt-2+ut，两侧同减Yt-1，
在右侧加、减 2Yt-1，并整理得
• Yt=(1+2-I)Yt-1-2 Yt-1+ut
• 对于k=3的VAR模型，Yt=1Yt-1+2Yt-2+3Yt-3+ut，两侧
同减Yt-1，在右侧加、减2Yt-1和3 Yt-1并整理得
• Yt=(1+2+3-I)Yt-1-2Yt-1-3Yt-1+2Yt-2+3Yt-3+ut
•
=(1+2+3-I)Yt-1–2 Yt-1-3Yt-1 +3 Yt-3+ut
• 在右侧加、减3Yt-2并整理得
• Yt =(1+2+3-I)Yt-1–(2+3)Yt-1-3Yt-2+ut
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42
• 对于k阶VAR模型，
• Yt=1Yt-1+2Yt-2+…+kYt-k+ut，
• 利用k=1, 2, 3的VAR模型的推导规律，其向量误差
修正模型（VEC）的表达式是
• Yt=(1+2+…+k-I)Yt-1-(2+3+…+k) Yt-1(3+…+k)Yt-2-…-kYt-(k-1)+ut
k
令 j  

 i , j  1, 2, ..., k  1
i  j 1
k
   0  I 

i
 I   1   2  ...   k  I
i 1
则 上 式 写 为 :  Yt   Yt 1   1  Yt 1   2  Yt  2  ...   k 1  Yt  ( k 1)  u t
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43
•
•
•
由于I(1)过程经过差分变换将变成I(0)过程，
即式中的ΔytΔyt–j(j=1，2，…，p) 都是I(0)
变量构成的向量，那么只要  yt-1 是I(0)的
向量，即y1t-1y2,t-1…,ykt-1 之间具有协整关
系，就能保证Δyt是平稳过程。变量y1,t-1，
y2,t-1，…，yk,t-1 之间是否具有协整关系主
要依赖于矩阵 的秩。
若Yt  CI(1, 1) ，则 =  ’
其中是协整矩阵， 是调整系数矩阵。
和 都是Nr阶矩阵。表示有r个协整向量，
1, 2 … , r，存在r个协整关系。因为
YtI(1)，所以 Yt  I(0)。
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44
对于Yt-k有如下三种可能:
• 当Yt的分量不存在协整关系，的特征根为
零，=0。(即r=0)
• 若rank()=N（满秩），保证Yt-k平稳的唯
一一种可能是Yt  I(0)。(r=N)
• 当YtI(1)，若保证Yt-k平稳，只有一种可
能，即Yt的分量存在协整关系。(0<r<N)
•
'YtI(0)
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45
例 k=0的VEC模型
 y1, t  -
1
 y2, t  -
1
2
2
( y1, t 1 
1
( y1, t 1 
1
8
8
y 2 , t 1 )  u 1 t
(1)
y 2 , t 1 )  u 2 t
(2 )
令 误 差 修 正 项 [ v1, t -1 - 1 / 8 y 2 , t -1 ]  v1, t -1
第 二 式 可 以 写 为 :  y2, t  -
1
16
( y 2 , t 1  8 y1, t 1 )  v 2 t
(3)
将 (1) 和 (3)写 成 矩 阵 形 式 有 :
  y1, t    1 / 2

 
  y 2 ,t   1 / 2
1 / 1 6   y1, t 1   u 1 t 

   Yt  1  u t
y
 1 / 1 6   2 , t 1   u 2 t 
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46
1 / 2
|  | 
 1/ 2
1 / 16 
  0, 期 特 征 值 为 :
 1 / 16 
1 / 2
|    I | 
 1/ 2
1 / 16   

 1 / 16   0
 1 / 32  9 / 16   
两 个 根 为 1  0, 
2
0
1 / 2  
  

 1/ 2
2


 1 / 16   
1 / 16
- 1 / 32   (   9 / 16)  0
 -9 / 16
rank()=0时，任意形式的 通过适当线性变换，可
以得到  = 0。 Yt = ut
说明Yt中含有一个单位根。VAR模型中没有协整向
量。
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47
例：设三个变量的k = 1的VEC
  y 1, t = - (1/2) [y 1, t-1 - (1/8) y 2 t-1 ] + (1/4) [y 2, t-1 - (1/4) y 3 t-1 ]+ u 1 t

  y 2, t = (1/8) [y 1, t-1 - (1/8) y 2 t-1 ]- (5/8) [y 2, t-1 - (1 /4) y 3 t-1 ]+ u 2 t

  y 3, t = (1/4) [y 1, t-1 - (1/8) y 2 t-1 ] + (3/8) [y 2, t-1 - (1/4) y 3 t-1 ]+ u 3 t
矩阵形式是
  y1,t    1 / 2

 

y
 2 ,t    1 / 8
  y 3 ,t   1 / 4


1 / 2

     1/ 8

 1 / 4
1/ 4 
 1
5 / 8 
 0

3 / 8 
1/ 4 
 1
5 / 8 
 0

3 / 8 
1 / 8
1
1 / 8
1
 y1,t 1   u 1 t 
0 
 

y

u
2
,
t

1
2
t

 

1 / 4  
 y 3 ,t 1   u 3 t 


1 / 2
0  
   1/8
1 / 4 
 1 / 4
5 / 16
 41 / 64
11 / 32
 1 / 16 

5 / 32

 3 / 32 
 的 特 征 值 为 -0.7928,-0.4416,0. 存 在 两 个 协 整 关 系 .
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48
2、VAR模型中协整向量的估计
• 给定VAR模型
Yt   1Yt -1   2 Yt -1  ...   k Yt - k  B x t  u t , u t  IID (0,  )
x t 表 示 d  1阶 确 定 向 量 , ( d 表 示 确 定 性 变 量 个 数 ).用 来 描 述 常 数 项 ,
时 间 趋 势 项,季 节 虚 拟 变 量 和 其 他 一 些 有 必 要 设 置 的 确 定 性 变 量.
B 是 确 定 性 变 量 x t的 N  d 阶 系 数 矩 阵 , 每 一 行 对 应 V A R 模 型 中 的 一 个 方 程 .
上 式 的 VEC为 :
 Yt   Yt -1   1  Yt -1   2  Yt - 2  ...   k -1  Yt -( k -1)  B x t  u t
k
其中 : j 

 i , j  1, 2, ....k - 1
i  j 1
k
 jI 

 i  I   1   2  ...   k  I
i  j 1
根 据 前 述 分 析 , 正 确 的 估 计  中 的 协 整 参 数 的 矩 阵  的 秩 r非 常 重 要 .
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49
• 将的分解表达式代入到上式有
p 1
y t  αβ y t 1   Γ i y t i  BX t  ε t
i 1
上式要求  yt-1 为一个 I(0) 向量，其每一行都是
I(0) 组合变量，即  的每一行所表示的 y1,t-1，y2,t1，…，yk,t-1 的线性组合都是一种协整形式，所以
矩阵  决定了 y1,t-1，y2,t-1，…，yk,t-1 之间协整向
量的个数与形式。因此称为协整向量矩阵，r 为协
整向量的个数。
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50
3、Johnson检验的基本原理
• 将yt的协整检验变成对矩阵的分析问题
• 矩阵  的秩等于它的非零特征根的个数
• 设矩阵 的特征根为12…k
１）特征根迹检验(trace检验)（本部分推导可
参见张晓峒，《计量经济分析》，第八章）
原假设 H r 0: : r  0, r 1  0
备择假设 H r1 : r 1  0
r  0,1,, k  1
• 相应的检验统计量为   T
r
k
 ln( 1   )
i
i  r 1
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51
检验方法
• （1）当 0 不显著时(0<Johansen分布临界值)，
接受H00 (r = 0)，表明有k个单位根，0个协整向量
(即不存在协整关系)。
• 当 0 显著时(即 0 >Johansen分布临界值)，拒
绝H00 ，则表明至少有一个协整向量，必须接着
检验 1 的显著性。
• (2)当 1 不显著时，接受H10，表明只有1个协整
向量，依次进行下去，直到接受 Hr0，说明存在 r
个协整向量。这 r 个协整向量就是对应于最大的 r
个特征根的经过正规化的特征向量。
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52
• 根据右边假设检验，大于临界值拒绝原假设。继
续检验的过程可归纳为如下的序贯过程：
• 1<临界值，接受H10，表明只有1个协整向量；
• 1>临界值，拒绝H10，表明至少有2个协整向量；
•
┇
• r<临界值，接受Hr0，表明只有 r 个协整向量。
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53
2）最大特征值检验
对于Johansen协整检验，另外一个类似的检验方法是
H r 0: : r 1  0
H r1 : r 1  0
检验统计量是基于最大特征值的，其形式为
 r  T ln( 1  r 1 )
r  0,1,, k  1
(9.6.7)
其中 r 称为最大特征根统计量，简记为-max统计量。
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54
• 检验从下往上进行，首先检验0 ，如果
• 0<临界值，接受H00 ，无协整向量；
• 0>临界值，拒绝H00 ，至少有1个协整向
量。
• 接受H00 (r = 0)，表明最大特征根为0，无
协整向量，否则接受H01，至少有1个协整
向量；如果 1 显著，拒绝H10，接受至少
有2个协整向量的备择假设H11；依次进行
下去，直到接受Hr0，共有 r 个协整向量。
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55
4、协整方程的形式
(1) VAR模型 没有确定趋势，协整方程没有截距：
Πy t 1  BX t  αβ yt 1
(2) VAR模型没有确定趋势，协整方程有截距项  0：
Πy t 1  BX t  α( β yt 1  ρ0 )
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56
(3) VAR模型有确定性线性趋势，但协整方程只有截距：
Πy t 1  BX t  α( β yt 1  ρ0 )  α  γ 0
(4) VAR模型和协整方程都有线性趋势，协整方程的线性趋
势表示为  1t ：
Πy t 1  BX t  α( β yt 1  ρ0  ρ1t )  α  γ 0
(5) VAR模型有二次趋势，协整方程仅有线性趋势：
Πy t 1  BX t  α( β yt 1  ρ0  ρ1t )  α  (γ 0  γ1t )
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57
5、协整检验的ＥＶＩＥＷＳ操作
从VAR对象或Group(组)对象的工具栏中选择
View/Cointegration Test… 即可。协整检验仅对已知非平
稳的序列有效，所以需要首先对VAR模型中每一个序列进
行单位根检验。EViews软件中协整检验实现的理论基础
是Johansen (1991, 1995a)协整理论。在Cointegration
Test Specification的对话框中将提供关于检验的详细信息：
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58
1） 协整检验的设定
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2）协整检验结果的解释
• 协整关系的数量
• 输出结果的第一部分给出了协整关系的数量，并以两种检
验统计量的形式显示：
• 第一种检验结果是所谓的迹统计量，列在第一个表格中；
• 第二种检验结果是最大特征值统计量，列在第二个表格中。
– 第一列显示了在原假设成立条件下的协整关系数；
– 第二列是 矩阵按由大到小排序的特征值；
– 第三列是迹检验统计量或最大特征值统计量；
– 第四列是在5%显著性水平下的临界值；
– 最后一列是根据MacKinnon-Haug-Michelis (1999) 提
出的临界值所得到的P值。
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60
协整关系
• 输出的第二部分给出协整关系  和调整参数  的
估计。如果不强加一些任意的正规化条件，协整
向量  是不可识别的。在第一块中报告了基于
正规化约束条件  S11  = I（其中S11在
Johansen(1995a)中作出了定义）的  和  的估
计结果。注意：在Unrestricted Cointegrating
Coefficients下  的输出结果：第一行是第一个
协整向量，第二行是第二个协整向量，以此类推。
• 其余的部分是在每一个可能的协整关系数下(r = 0，
1，…，k-1)正规化后的估计输出结果。一个可选
择的正规化方法是：在系统中，前 r 个变量作为
其余 k  r 个变量的函数。近似的标准误差在可识
别参数的圆括号内输出。
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6、VEC模型在EViews软件
• VEC模型的表达式仅仅适用于协整序列
– 先运行Johansen协整检验
– 确定协整关系数
• 在VAR对象设定框中，从VAR Type中选择
Vector Error Correction项。在VAR
Specification栏中，除了特殊情况外，应
该提供与无约束的VAR模型相同的信息：
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• ① 常数或线性趋势项不应包括在Exogenous
Series的编辑框中。对于VEC模型的常数和趋
势说明应定义在Cointegration栏中。
• ② 在VEC模型中滞后间隔的说明指一阶差分
的滞后。例如，滞后说明“1 1”将包括VEC模型
右侧的变量的一阶差分项的滞后，即VEC模型
是两阶滞后约束的VAR模型 。为了估计没有一
阶差分项的VEC模型，指定滞后的形式为：“0
0”。
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③ 对VEC模型常数和趋势的说明在Cointegration栏。
必须从5个趋势假设说明中选择一个，也必须在适当的编
辑框中填入协整关系的个数，应该是一个小于VEC模型
中内生变量个数的正数。
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64
填完这个对话框，单击OK按纽即可估计VEC模型。
VEC模型的估计分两步完成：
第一步，从Johansen所用的协整检验估计协整关系；
第二步，用所估计的协整关系构造误差修正项，并估
计包括误差修正项作为回归量的一阶差分形式的VAR
模型。
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• VEC模型估计的输出包括两部分。
• 第一部分显示了第一步从Johansen过程所得到的
结果。如果不强加约束，EViews将会用系统默认
的能可以识别所有的协整关系的正规化方法。系
统默认的正规化表述为：将VEC模型中前 r 个变
量作为剩余 k r 个变量的函数，其中 r 表示协整
关系数，k 是VEC模型中内生变量的个数。
• 第二部分输出是在第一步之后以误差修正项作为
回归量的一阶差分的VAR模型。误差修正项以
CointEq1，CointEq2，……表示形式输出。输出
形式与无约束的VAR输出形式相同，将不再赘述。
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七、实例
• 中国GDP、宏观消费与基本建设投资的
VEC模型分析
• 1．建立VAR模型
• 对任何一组有关系的经济变量都可以直接
建立VAR模型。最大滞后期k的选择可以依
据LR检验、赤池准则、Schwartz准则。
• 建立VAR模型的EViews步骤是（1）点击
Quick键，选Estimate VAR功能，得如下对
话框：
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2．检验变量间是否存在协整关系。
• 从工作文件中选中变量，打开数据组窗口，点击
View键，选Cointegration Test功能，得如下对话
框：
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3、建立VEC模型
• EViews命令是点击Quick键，选Estimate
VAR功能，得如下对话框：在VAR设定
（VAR Specification）对话框中点击VEC
估计（Vector Error Correction），如下图，
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点击OK，得如下对话框：其中协整式
（Cointegration equation）中的选择应该与前述协
整检验中的选择保持一致。点击OK，
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问题：
（1）若对协整式（Cointegration equation）
中的选择前后不一致可以否？要慎重。
（2）写VEC表达式。
（3）解释经济意义。
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76
参考文献
• 高铁梅，《计量经济分析方法与建模：
Eviews应用及实例》，清华大学出版社
• 张晓峒，《计量经济分析》，经济科学出
版社
• 汉密尔顿，《时间序列》，社会科学文献
出版社
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