Transcript Презентация

«Такие разные задачи на
движение»
Автор: Медведева Анастасия,
учащаяся 9а класса МОУ СОШ №3.
Руководитель: Алексашина Галина
Михайловна, учитель математики.
Что значит владение
математикой? Это есть умение
решать задачи, причем не
только стандартные, но и
требующие известной
независимости мышления,
здравого смысла,
оригинальности,
изобретательности.
Д.Пойа
Этапы решения текстовых
задач.
Решение текстовых задач осуществляется в несколько
этапов:
1.Введение неизвестной величины;
2.Составление уравнений(или нескольких уравнений) и (при
необходимости) неравенств;
3.Решение полученных уравнений(неравенств);
4.Отбор решений по смыслу - то есть
проверка ответа.
Задачи на движение:




А) Задачи на движение по прямой;
Б) Задачи на движение по окружности;
В) Прямолинейное движение не по одной
прямой;
Г)Задачи на движение с дополнительной
скоростью.
Из города А в город В, расстояние между которыми равно
300 км, выехал автобус. Через 20 минут навстречу ему из В
в А выехал автомобиль и через 2 ч после выезда встретил
автобус. С какой скоростью ехал автомобиль, если
известно, что она на 20 км/ч больше скорости автобуса?

РЕШЕНИЕ:

Пусть скорость автомобиля равна х км/ч, тогда скорость автобуса равна (х-20)
км/ч.В условии задачи сказано, что автомобиль
был в пути 2 часа, поэтому он
.
проделал путь 2х км. Автобус был в пути 2 ½ = 7/3 часа и прошел 7/3 (х-20) км.
Т.к. расстояние равно 300 км, то получим уравнение:
2х+7/3(х-20)=300
6х+7х-140=900
13х=1040
х=80
Значит, скорость автомобиля равна 80 км/ч.
•Первую половину трассы
р
автомобиль проехал со скоростью 38
км/ч, а вторую-со скоростью 57
км/ч. Найдите среднюю скорость
автомобиля на
протяжении
всего пути.
Решение:
Пусть х км-длина половины пути, тогда
х/38+х/57=5х/114 часов затрачено автомобилем на весь
путь. Так как весь путь 2х км, то найдем среднюю
скорость:
2х: 5х/114=228/5=45,6 км/ч.
Ответ:45,6 км/ч.
Из пункта А в пункт В одновременно вышли два пешехода.
Когда первый прошел половину пути, второму осталось
пройти 24 км, а когда второй прошел половину пути,
первому осталось пройти 15 км. Найдите расстояние
между пунктами А и В.



Решение: Пусть скорость первого пешехода х км/ч, скорость
второго пешехода у км/ч, весь путь равен z км. Заполним две
таблицы, охарактеризовав движение пешеходов:
V (км/ч)
t (ч)
S (км)
1 пешеход
X
z/2x
z/2
2 пешеход
Y
z-24/y
z-24
V (км/ч)
t (ч)
z
S (км)
1 пешеход
X
z-15/x
z-15
2 пешеход
Y
z/2y
z/2
По условию задачи в первом и во втором случае
время одно и то же, поэтому:
z/2x=z-24/y
z-15/x=z/2y
Разделив первое уравнение на второе, получим
z/2(z-15) =2(z-24)/z
Откуда
Z2-52z+480=0
D=k2 -4ac= (-26)2-1480=1156
Z=40 или z=12
Второе значение не удовлетворяет условию, из
которого
следует, что расстояние между А и В больше 24
км.
Итак, расстояние между пунктами равно 40 км.
Ответ: 40 км.
Из деревни на станцию выехал грузовик, а через 30 мин из деревни в том же направлении выехал легковой
автомобиль, который догнал грузовик в 30 км от станции. После прибытия на станцию легковой автомобиль сразу
же повернул назад и встретил грузовик в 6 км от станции. Сколько времени понадобилось легковому автомобилю,
чтобы догнать грузовик?

ВЫПОЛНИМ РИСУНОК К ЗАДАЧЕ.
6 км




ДЕРЕВНЯ
А
В
С
30 км
На рисунке точкой А обозначено место где легковой автомобиль догнал грузовик. Точкой В - место встречи
легкового автомобиля с грузовым на обратном пути.
По условию задачи расстояние АС=30 км, тогда путь грузовика после первой встречи до второй встречи
S1=АВ=30-6=24 км. Путь легкового автомобиля после первой встречи до второй встречи:
S2=АС+ВС=30+6=36 км.
В задаче требуется найти время легкового автомобиля на участке АD. Обозначим его t час, тогда время
грузовика на этом участке (t + 0,5) ч.
Пусть V1 км/ч скорость грузовика, а V2 км/ч скорость легкового автомобиля на участке АD, тогда получаем
уравнение V1(t + 0,5)=V2t или (V2-V1)t=0,5V1.
Пусть t1 – время движения автомобилей между первой и второй встречами, тогда V1=24/t1км/ч, а V2=36/t1.
Подставим значения V1 и V2 в уравнения:
(V2-V1)t=0,5V1
(36/t1 – 24/t1)t=0,5 .24/t1
12/t1.t=12/t1
t=1.
Значит, искомое время 1 час.
Ответ:1 час.
Две старушки вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов. Они
встретились в полдень и достигли чужого города: первая в 4 ч пополудни, а вторая в
9 ч. Узнайте, когда они вышли из своих городов.
Пусть старушки встретились через х часов после выхода из своих
городов. Построим схематически графики движения первой и второй
старушек: РР1 и VV1 соответственно. Моменту их встречи
соответствует точка М графиков.
S
x N 4
P1
V
M
P
x
K
9
V1
Из условия задачи следует, что NP1 =4, KV1 =9, а требуется найти PK= х. Из
подобия двух пар треугольников VMN и V1MK, MPK и MP1N получим пропорции:
х/9 = MN/MK и MN /MK= 4/х, откуда х/9=4/х.
Последнее уравнение также имеет единственный положительный корень 6, поэтому
старушки были в пути 6 ч и вышли из своих городов в 6 ч утра.
Два туриста идут друг другу навстречу – один из пункта А, другой из пункта В
Первый выходит из А на 6 часов позже, чем второй. При встречи оказалось,
что он прошел на 12 км меньше второго. Продолжая путь с той же скоростью,
первый приходит в В через 8 ч, а второй в А – через 9 ч. Определите
расстояние АВ и скорость каждого путника.
х
Решение: Пусть турист, идущий из пункта А, до встречи шел t часов и прошел х км, тогда после встречи он прошел
(х+12) км. Построим графики движения туристов.

С
М
8
В

х+12

х
К

О 6 А
t
N
9
Т

Из подобия двух пар треугольников AKN и BKM , DKN и CKM составим уравнение

t/8=9/t+6 имеющее один положительный корень 6.

Из подобия треугольников AKN и BKM составим еще одно уравнение

6/8 = х/х+12 имеющее единственный корень 36.

Итак, первый турист до встречи прошел 36 км со скоростью 36:6=6 км/ч, а второй - прошел 36+12=48 км со
скоростью 48 : (6+6)= 4 км/ч. Расстояние АВ равно 36+48=84 км.
№1. На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил
круг на 3 мин быстрее другого и через час обогнал его ровно на
круг. За сколько минут каждый лыжник проходил круг?
Решение:
1 час=60 мин.
время в мин.
кол-во
оборотов
1лыжник
х
60/х
2лыжник
х+3
60/х+3
Т.к второй лыжник через час
обогнал первого на круг, то
получим уравнение:
60/х – 60/х+3=1
60х+180-60х/х(х+3)=1
180/х(х+3)=1
Х2+3х-180=0
D=9+720=729
Х=-3-+27/2. Х1=-15(не
удовлетворяет);Х2= 12.
Значит, время 1 лыжника 12 минут,
тогда второго 12+3=15мин.
Две точки движутся по окружности длиной 1,2 м с постоянными
скоростями. При движении в разных направлениях они встречаются
каждые 15 с. При движении в одном направлении одна точка догоняет
другую через каждую минуту. Найдите скорость движения каждой
точки.
V1=y м/с
V2=x м/с
V (м/с)
х
1
S (м)
15х
15
15у
у
2
V (м/с)
t (с)
1
х
60
60х
2
у
60
60у
V1=x м/с
V2=y
t (с)
15
м/с
S (м)
Автомобиль едет из А в В сначала 2
мин с горы, а затем 6 мин в гору.
Обратный же путь он проделывает
за 13 минут. Во сколько раз
быстрее автомобиль едет с горы,
чем в гору?
РЕШЕНИЕ:
х/у =t; 6/t+2t=13
А
В
2t2-13t+6=0
Из А в В
V км/ч
t (ч)
С горы
х
2
2х
В гору
у
6
6у
Обратный путь из В в А:
D=169-48=121
2Х
6у
С
S (км)
V (км/ч)
t (ч)
S (км)
t1= (13-11)/4=2/4=1/2
С горы
х
6у/х
6у
t2= (13+11)/4=6
В гору
у
2х/у
2х
х/у=1/2-невозможно.
х/у=6-в 6 раз быстрее с горы.
ОТВЕТ:В 6 раз быстрее.
Если какое-то
тело
движется
по реке, то при
движении против
течения его скорость
уменьшается, а по
течениюувеличивается. То
же самое происходит
при движении против
ветра или по ветру, и
т.п., то есть у тела
появляется
«дополнительная
скорость», которая в
зависимости от
направления
движения
увеличивает или
уменьшает скорость
движения.
Если пароход и катер плывут по
течению, то расстояние от пункта А до
пункта В пароход
проходит путь в полтора раза быстрее,
чем катер; при этом катер каждый час
отстает от парохода на 8 км. Если же
они плывут против течения, то пароход
проходит путь от В до А в два раза
быстрее катера.
Найти скорость парохода и катера в
стоячей воде.
РЕШЕНИЕ: Пусть скорость парохода равна х км/ч,
тогда скорость катера равна (х-8) км/ч.
Обозначив путь от
пункта А до пункта В через а км и скорость течения реки у
км/ч, заполним первую таблицу, отражающую движение
катера и парохода по течению.
►
V (км/ч)
t (с)
S (км)
Пароход
х+у
а/х+у
а1
Катер
х+у-8
а/х+у-8
а1
Так как по условию задачи время движения парохода по
течению в полтора раза меньше, чем время движения
катера, получим уравнение
а/х+у-8 : а/х+у=1,5 или х+у/х+у-8=1,5.
Движение парохода и катера против течения
охарактеризуем, заполнив таблицу 2:
V (км/ч)
t (ч)
S (км)
Пароход
х-у
а/х-у
а
Катер
(х-8)-у
а/(х-8)-у
а
По условию задачи время парохода, затраченное на путь против
течения, в два раза меньше, чем время катера:
а/х-8-у : а/ х-у=2 или х-у/х-8-у=2
Получим систему уравнений:
х+у/х+у-8=1,5
х-у/х-у-8=2;
х+у=1,5х+1,5у-12
х-у=2х-2у-16;
ОТВЕТ:20км/ч; 4 км/ч.
0,5х+0,5у=12
х-у=16;
х+у=24
х-у=16;
х=20
у=4
Если вы хотите
научится плавать, то
смело входите в
воду, а, если хотите
научится решать
задачи, решайте
их.»
Д.Пойа