Transcript MATRIKS-ES.

MATRIKS
MATRIKS
DEFINISI
Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang
disusun secara empat persegi panjang (menurut baris dan
kolom)
Bentuk umum
A=(aij) ,i= 1,2,...m
J=1,2,...m
a11 a12……a1n
a21 a22…..a2n
Am1 am2…amn
baris 1
baris 2
baris m
Kolom n
Kolom 2
Kolom 1
Matriks di atas mempunyai m buah baris dan n buah kolom
maka dikatakan ukuran matriks tersebut adalah (mxn).
Kesamaan dua matriks
Dua buah matriks A=(aij) dan B=(bij) dikatakan sama A=B, jika ukurannya
sama (mxn) dan berlaku aij=bij.
A=
C=
E=
G=
1
2
4
2
1
3
1
2 2
2
1
3
1
2
4
2
2
2
2
2
2
4
5
6
9
0
7
B=
D=
F=
H=
1
2
4
2
1
3
2
1
2
2
1
3
x
2
4
2
2
2
A=B
C≠D
E = F jika x = 1
?2
?
2
?
2
?4
?
5
?
6
?9
?
0
?
7
G=H
Operasi pada Matriks
1. Penjumlahan / Pengurangan
Syarat = kedua matriks tersebut berukuran sama
Contoh penjumlahan matriks:
1
2
2
A=
4
B=
3
A+B
6
+
+
3
=
6
3
=
12
6
6
PENGURANGAN MATRIKS
1
2
A=
2
4
B=
3
A-B
6
-
3
= -1 -2
-
=
00
6
2. Perkalian scalar terhadap matriks
Jika λ suatu scalar dari A=(aij)
maka λ A diperoleh dengan mengalikan
semua elemen matriks A dengan λ
Contoh:
4 3 7 
12 9 21
A
maka
3A


 9 0 - 3
3
0
1




 2 3 / 2 7/2 
1
A

2
3/2 0 - 1/2
3. Perkalian Matriks
Dua buah matriks A&B dapat dikalikan jika:
Jumlah kolom matriks pertama (A) sama dengan jumlah baris matriks
kedua (B).
Misal. A(mxn) dan B(nxp), C=AxB maka C(mxp).

A
mxn

B C
nx p
mx p
 A=(aij) dengan i=1,2,3,…,m dan j=1,2,3,…,n
 B=(bjk) dengan j=1,2,3,…,n dan k=1,2,3,…,p
 C=(cik) dengan i=1,2,3,…,m dan k=1,2,3,…,p
Maka :
A x B = (aij) x (bjk)=(cik)
Contoh:
1
A
2
3
B =
=
0
4
5
x
+
x
+
x
= 9
x
+
x
+
x
= 16
x
+
x
+
x
= 3
x
+
x
+
x
= 13
x
+
x
+
x
= 8
x
+
x
+
x
= 14
AxB=
1
-4
0
4
2
1
0
1
2
Jika A,B,C adalah matriks-matriks yang memenuhi syarat-syarat yang di
perlukan, maka:
 A(B+C)=AB+AC
 A(BC)=(AB).C
 Perkalian matriks tidak komutatif = AB≠BA tetapi ada beberapa matriks
yang berlaku AB=BA
 Bila AB=AC , belum tentu B=C
 Bila AB=0(matriks nol)
 Maka kemungkinan-kemungkinan:
1. A=0 & B=0
2. A=0 atau B=0
3. A≠B dan B≠0
Transpose
A=
4
2
6
7
5
3 -9
7
AT = A’ =
4
5
2
3
6 -9
7
7
Definisi:
Transpose mariks A adalah matriks AT dimana kolom-kolomnya
adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari
A.
T
[A ]ij = [A]ji
Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran ……
nxm
Sifat-sifat transpose matriks
1. Transpose dari A transpose adalah A: (AT )T = A
A
(AT)T = A
AT
Contoh:
4
5
2
3
4
2
6
6
-9
5
3 -9
7
7
4
5
7
2
3
7
6
-9
7
7
Sifat-sifat transpose matriks
2. (A+B)T = AT + BT
T
T
A+B
(A+B)T
T
=
A
+
B
=
T
A
+
T
B
Sifat-sifat transpose matriks
3. (kA)T = k(A) T untuk skalar k
T
T
kA
T
(kA)
k
=
T
k(A)
A
Sifat-sifat transpose matriks
4. (AB)T = BT AT
AB
=
T
(AB)
= BTAT
AB
T
T
T
B
A
Jenis Matriks Khusus
1. Matriks bujur sangkar
Adalah suatu matriks dengan banyaknya baris
sama dengan banyaknya kolom
Contoh
0 1 2 
0 
2

,
1
3
1
  1 2 


 2 1 0 


2x2
3x3 elemen diagonal utama
2. Matriks Nol
Adalah matriks yang semua elemennya nol
0 0
0 0


0 0 0
0 0 0


2x2
3x3
3. Matriks Diagonal
Adalah matriks yang semua elemen diluar diagonal utama adalah nol
Contoh:
1
0

0
0
2
0
0
0 
4 
4. Matriks Identitas
Adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya semua=1
Contoh: 1 0 0
0

0
1
0
0  I 3
1
5. Matriks Skalar
Adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utama=K
Contoh: 2 0 0 
0 2 0 


0 0 2
6. Matriks Segitiga Bawah
Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diatas diagonal utama=0
Contoh:
1
2

1
0
2
1
0
0 
3
7. Matriks Segitiga Atas
Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen dibawah diagonal
utama=0
Contoh:
8. Matriks Simetris
Adalah matriks yang transfosenya sama dengan dirinya sendiri.(A=AT).
Contoh:
1 2 0 
1 2 0 
A  2 1 4  A T  2 1 4
0 4 3
0 4 3
9. Matriks Anti Simetris
Adalah matriks yang transfosenya adalah negatifnya.
Contoh:
10. Matriks Hermitian
Adalah matriks yang transfose hermitiannya sama dengan dirinya sendiri
Contoh:
 3 2  i T  3 2  i
A
,A 


2  i 4 
2  i 4 
11. Matriks Invers
Misal A(nxn), B(nxn) dan berlaku AB=BA=I maka dikatakan B
invers dari A→B=A-1 atau A invers dari B→A=B-1
Contoh:
1 2 3
 6 - 2  3
A  1 3 3 , B   1 1
0 
1 2 4
 1 0
1 
AxB  BxA  I
12. Matriks Komutatif
Jika A dan B matriks-matriks bujur sangkar dan berlaku
AB=BA, maka A dan B dikatakan berkomutatif satu sama lain.
Contoh:
2 1 
3 1
A
,B


1
2
1
3




2 1 3 1 7 5
AxB  





1 2 1 3 5 7
3 1 2 1 7 5
BxA  





1
3
1
2
5
7


 

Transformasi Elementer
Yang di maksud Transformasi Elementer pada matriks adalah operasi sbb:
1. Bij
: Pergantian baris ke i dengan baris ke j
2. Kij
: Pergantian kolom ke i dengan kolom ke j
3. Bi(λ) : Elemen-elemen baris ke i masing-masing dikalikan
dengan skalar λ≠0
4. Ki(λ) : Elemen-elemen kolom ke j masing-masing dikalikan dengan
skalar λ≠0
5. Bij(λ) : Elemen-elemen baris ke i masing-masing ditambah dengan λ
kali baris ke j
6. Kij(λ) : Elemen-elemen kolom ke i masing-masing ditambah dengan λ
kali kolom ke j
Contoh:
Di ketahui matriks
 3 1 4
B  2 1 1  , maka:
3 0 1 
Matriks Ekivalen
Dua matriks A dan B dikatakan ekivalen(A ~B) jika matriks yang satu dapat
di peroleh dari matriks yang lain dengan transformasi baris dan atau
kolom.
Contoh:
3 0 2 1 
5 1 3 1
A
dan
B


3 0 2 1
4 1 3 2


Adalah ekivalen karena:
3
A
4
3
5

0 2 1
1 2 1
(1) 5
( 1)
K
K
12
42
1 3 2 ~ 3 0 3 2 ~
0 2 1
5 1 3 1
B
B
12 


1 3 1 ~ 3 0 2 1
Matriks Eselon
Setiap matriks yang bukan matriks nol dapat dirubah
menjadi matriks eselon dengan menggunakan
“Transformasi Elementer”.
Matriks yang memenuhi bahwa elemen-elemen yang
sekolom dengan setiap elemen tidak nol terkiri
semuanya nol (kecuali elemen 1 terkirinya) disebut
“ Matriks Eselon “.
Kondisi-kondisi matriks bentuk eselon baris dan eselon
baris tereduksi:
Ya
1. Elemen pertama yang tidak
nol adalah 1 (satu utama)
2. Satu utama baris
berikutnya berada lebih
kanan dari baris
sebelumnya
3. Baris nol berada di paling
bawah
4. Elemen di atas satu utama
nol semua
0
0
0
0
1
0
0
0
Tidak
1
0
0
0
1
0
2
3
1
4
6
0
1
0
0
0
3
0
2
1
1
4
6
0
1
0
0
0
0
0
2
1
0
4
6
1
1
0
0
0
0
1
2
1
0
4
6
0
1
0
0
0
1
0
2
6
0
4
0
0
1
0
0
0
0
1
2
0
6
4
0
0
6
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
6
5
0
1
0
0
0
1
0
2
3
1
4
6
0
Matriks dalam bentuk eselon baris (eb) dan
eselon baris tereduksi (ebt)
Matriks yang memenuhi kondisi 1, 2, 3 disebut matriks
berbentuk eselon baris.
Jika matriks memenuhi kondisi 1, 2, 3, 4, maka matriks dalam
bentuk eselon baris tereduksi.
* * *
* *
*
* * *
* *
*
eselon baris.
*
1 utama
Sembarang nilai
Nol
eselon baris tereduksi
Rank Matriks
Setiap matriks dapat dijadikan matriks
eselon atau eselon tereduksi dengan
menggunakan transformasi elementer.
Jumlah elemen satu terkiri pada matriks
eselon atau jumlah baris yang tidak sama
dengan nol (tidak dapat di nolkan) pada
matriks eselon disebut Rank Matriks.
Contoh :
Tentukan rank matriks di bawah ini :
 1 2 3 
 1 3  2


 2  6 4 
Jawab :
1  2 3  H (1)
1 3  2 21~

 H ( 2)
2  6 4  31~
1  2 3  H ( 2 )
32
0 1

~
1


0  2  2
matrik eselon
Jadi rank matriks diatas adalah 2
1  2 3 
0 1 1 


0 0 0 
2