Transcript Egyenletrendszerek

Lineáris algebra
Lineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek
általános alakja
a11 x1  a12 x2  ........ a1n xn  b1
a21 x1  a21 x2  ........ a2 n xn  b2
am1 x1  am 2 x2  ........ amn xn  bm
Lineáris egyenletrendszerek
típusai
Lineáris egyenletrendszerek
Inhomogén lineáris egyenletrendszer
Homogén lineáris egyenletrendszer
Lineáris egyenletrendszerek
típusai
• Ha a jobb oldalon lévő b1, b2, ……..bm
számok mindegyike zérus, akkor homogén
lineáris egyenletrendszerről beszélünk.
• Nyilván egy ilyen egyenletrendszernek
mindig van triviális megoldása, ami azt
jelenti, hogy x1= x2= ……..=xn =0
• Az ilyen egyenletrendszerek megoldásának
lényege a triviálistól különböző megoldások
megkeresése.
Lineáris egyenletrendszerek
típusai
Ha a jobb oldalon lévő b1, b2, ……..bm
számok nem mindegyike zérus, akkor
inhomogén lineáris egyenletrendszerről
beszélünk.
Lehetséges esetek:
• Nincs megoldás
• Pontosan egy megoldás van
• Végtelen sok megoldás van
Lineáris egyenletrendszerek
típusai II.
Lineáris egyenletrendszerek
Nincs megoldása
inkompatibilis vagy inkonzisztens
Van megoldása
kompatibilis vagy konzisztens
Pontosan egy megoldása van
Végtelen sok megoldása van
Lineáris egyenletrendszerek
megoldása
• A lineáris egyenletrendszer megoldása az
olyan x1, x2, ……xn , számok
meghatározását jelentik, amelyek az összes
egyenletet kielégítik.
• A lineáris egyenletrendszereket
ekvivalensnek nevezzük, ha pontosan
ugyanazok az egyenletrendszerek
megoldásai.
Ekvivalens átalakítások:
Az egyenletrendszer megoldáshalmaza nem
változik, ha az alábbi átalakításokat hajtjuk
végre:
• Két egyenlet felcserélése
• Az egyik egyenletnek zérustól különböző
valós számmal való szorzása
• Az egyik egyenletnek, vagy valós számmal
való szorzatának hozzáadása a másik
egyenlethez
Lineáris egyenletrendszer
kibővített mátrixa
a11 x1  a12 x2  ........ a1n xn  b1
a21 x1  a21 x2  ........ a1n xn  b2
am1 x1  am 2 x2  ........ amn xn  bm
 a11
a
 12



am1
a1n
a21
amn
b1 

b2 



bm 
Lineáris egyenletrendszerek
megoldása Gauss eliminációval
A megoldás az ismeretlenek szukcesszív
kiküszöbölésével történik.
Mátrixalgebra
Az mxn db aij elemből álló téglalap
alakban elrendezett számtáblázatot
(mxn) típusú mátrixnak nevezzük.
aij szimbólum a mátrix i-edik sorának
a j-edik elemét jelöli.
Mátrixok
• Az elem első indexe mindig a sorindex
• Az elem második indexe mindig az
oszlopindex
• Jelölése: A mátrixokat általában vastagított
nagybetűkkel jelöljük, illetve szögletes
zárójelbe tesszük.
• Két mátrixot azonos típusúnak nevezzük, ha
soraik és oszlopaik száma megegyezik
Mátrixok
• Két mátrix akkor és csak akkor egyenlő, ha
azonos típusúak és a megfelelő helyen álló
elemeik rendre egyenlők egymással.
Speciális mátrixok
Négyzetes vagy kvadratikus mátrix
Olyan mátrix, ahol m=n azaz a sorok száma
megegyezik az oszlopok számával.
Mátrix rendje:
A négyzetes mátrix sorainak vagy
oszlopainak a száma
Speciális mátrixok
• Oszlopmátrix vagy oszlopvektor: csupán
egy oszlopból áll
• Sormátrix vagy sorvektor: Olyan mátrix,
amelynek egyetlen sora van
• Nullmátrix: Olyan mátrix, amelynek
minden eleme nulla.
Jelölése : 0
Speciális mátrixok
• Diagonalmátrix: Olyan négyzetes mátrix,
amelynek csak a főátlójában vannak elemei.
Főálló alatt értjük a bal felső sarokból a
jobb alsó sarokba húzott átlót.
Speciális mátrixok
Egységmátrix: olyan diagonális mátrix,
amelynek minden főátlóbeli eleme 1.
Jele : E
Speciálisan: En ahol n jelöli a mátrix
rendszámát.
Minden egységmátrix n olyan sorra vagy
oszlopra bontható particionálható, amelynek
mindegyike egységvektor.
Mátrixok típusai
• Az egységvektor indexe azt mutatja meg,
hogy az egységvektor hányadik eleme 1.
• Összegzővektor: az az oszlop vagy
sorvektor, amelynek minden eleme 1.
Jele:1
• Felső háromszögmátrix
• Alsó háromszögmátrix
Mátrixok típusai
• Szimmetrikus mátrix: olyan négyzetes
mátrix, ahol aik=aki
• Ferdén szimmetrikus mátrix: olyan
négyzetes mátrix, ahol aik=-aki
• Permutáló mátrix: Olyan négyzetes
mátrix, amely a sorainak illetve az
oszlopainak az átrendezésével
egységmátrixszá alakítható.
Mátrix transzponáltja
• Mátrix transzponáltján azt az AT jelölt
mátrixot értjük, amelyet az A mátrixból úgy
kapunk, hogy sorait rendre felcseréljük az
oszlopaival.
Minormátrix
• Ha az A mátrixból tetszés szerinti sort, vagy
oszlopot elhagyunk, akkor az eredeti mátrix
minormátrixát kapjuk.