Transcript Riset Operasional Pertemuan 10

GAME THEORY
Disusun oleh :
Iphov Kumala Sriwana
DEFINISI
• Teori permainan (game theory) adalah bagian dari
ilmu pengetahuan yang berkaitan dengan
pembuatan keputusan pada saat dua pihak atau
lebih berada dalam kondisi persaingan atau konflik.
• Asumsi : masing-masing pihak melakukan strategi
tindakan yang rasional untuk memenangkan
persaingan dan masing-masing pihak juga
mengetahui strategi pihak lawannya.
• Pihak-pihak ini disebut sebagai pemain.
2
MODEL-MODEL GAME THEORY
• Bergantung pada faktor-faktor : banyaknya pemain, jumlah
keuntungan dan kerugian, dan banyaknya strategi yang
dilakukan dalam permainan, seperti :
– Two-person game adalah banyaknya pemain dua pihak
(baik individu maupun kelompok
– N person game yaitu jika banyaknya pemain adalah N
pihak (N≥3),
– Zero-sum game, jika permainan berjumlah nol atau
permainan berjumlah konstan (constant-sum game/ jika
jumlah kerugian dan keuntungan dari permainannya
adalah nol)
– Nonzero-sum game yaitu permainan berjumlah bukan nol .
3
CONTOH TWO-PERSON
GAME
ZERO-SUM
• Pada permainan catur, kedua pemain setuju
bahwa yang kalah harus membayar sebanyak
Rp 500,00 kepada yang menang.
• Suatu situasi ketika dua perusahaan besar
bersaing
untuk
memperoleh
daerah
pemasaran
4
CONTOH N-PERSON
NONZERO-SUM
GAME
• Situasi ketika sejumlah perusahaan melakukan
kampanye advertensi yang intensif untuk
memperoleh daerah pemasaran yang lebih
besar.
• Kasus ini merupakan non zero-sum karena
ukuran total pasar biasanya meningkat
sebagai akibat dari advertensi yang intensif.
• Demikian pula jumlah kerugian dan
keuntungannya akan positif.
5
ELEMEN-ELEMEN DASAR GAME THEORY
• Perhatikan persoalan two-person zero-sum game
dengan matriks pembayaran seperti pada tabel berikut
ini:
Pemain A
A1
A2
B1
6
8
Pemain B
B2
9
5
B3
2
4
6
ELEMEN-ELEMEN DASAR GAME THEORY
1. Bilangan-bilangan yang ada di dalam matriks pembayaran (payoff
matrix) menyatakan outcome atau pembayaran dari strategi
permainan yang berbeda.
– Payoff atau pembayaran diartikan sebagai suatu ukuran keefektifan seperti
uang, persentase daerah pemasaran, atau utilitas.
– Berdasarkan perjanjian, dalam two-person zero-sum game, bilangan positif
menyatakan perolehan (keuntungan) bagi pihak yang ditulis pada baris
sebagai pemain yang akan memaksimumkan, dan sekaligus merupakan
kerugian bagi pihak yang ditulis pada kolom sebagai pemain yang akan
meminimumkan.
– Sebagai contoh, jika A melakukan strategi A1 dan B memilih strategi B2,
maka A akan memperoleh 9 dan B kehilangan (membayar) 9. Dalam hal ini
diasumsikan bahwa matriks pembayaran ini diketahui oleh kedua pemain.
7
ELEMEN-ELEMEN DASAR GAME THEORY
2. Strategi tidak dapat dibolak-balik oleh para pemain.
(contoh pada tabel di atas, pemain A mempunyai 2
strategi, dan B memiliki 3 strategi.
3. Aturan permainan menjelaskan tentang bagaimana
cara para pemain memilih strategi-strategi mereka.
Misalnya kita asumsikan bahwa para pemain itu
harus memiliki strategi mereka secara serentak, dan
bahwa permainannya dilakukan berulang-ulang.
8
ELEMEN-ELEMEN DASAR GAME THEORY
4.
5.
Sutu strategi dinyatakan dominan apabila setiap payoff yang
ada pada suatu strategi bersifat superior (paling tinggi)
dibandingkan dengan setiap payoff pada strategi lainnya.
Sebagai contoh, untuk pemain B, strategi B1 dan B2
didominasi oleh strategi B3 sehingga untuk menyelesaikan
permainan, pemain B harus memilih strategi B3, dan pemain A
memilih strategi A2. Nilai permainan adalah 4. Aturan
dominansi ini dapat digunakan untuk mengurangi ukuran
matriks payoff dan menyederhanakan perhitungan.
Nilai permainan menyatakan ekspektasi outcome per
permainan jika kedua pemain melakukan strategi terbaik
(strategi optimum) mereka. Suatu permainan dikatakan fair
(adil) jika nilai permainannya nol, dan dinyatakan tidak fair jika
nilai permainannya bukan nol. Pada contoh di atas diperoleh
nilai permainan 4 sehingga permainan itu dinyatakan sebagai
permainan yang tidak fair.
9
ELEMEN-ELEMEN DASAR GAME THEORY
6. Tujuan model permainan adalah untuk
mengidentifikasi strategi optimum bagi
masing-masing pemain. Pada contoh di atas,
strategi optimum bagi A adalah strategi A2,
sedangkan untuk B adalah strategi B3.
10
Two-person, Zero-sum Game
Dua jenis persoalan two-person zero-sum game :
• Permainan yang posisi pilihan terbaiknya bagi setiap
pemain dicapai dengan memilih satu strategi tunggal
sehingga permainannya disebut permainan strategi
murni (pure-strategy game).
• Permainan yang kedua pemainnya melakukan
pencampuran terhadap strategi-strategi yang
berbeda dengan maksud untuk mencapai posisi
pilihan terbaik atau permainan strategi campuran
(mixed-strategy game).
11
Pure-strategy Game
• Pada pure-strategy game, pemain yang akan
memaksimumkan (pada contoh adalah pemain A)
akan mengidentifikasi strategi optimumnya dengan
menggunakan kriteria maksimum, sedangkan pemain
yang akan meminimumkan (pemain B) akan
mengidentifikasi strategi optimumnya dengan
menggunakan kriteria minimaks.
• Jika nilai maksimin = nilai minimaks
saddle point
12
Catatan
Jika tidak terjadi saddle point,
permainan tidak dapat
diselesaikan dengan strategi
murni, dan harus diselesaikan
dengan menggunakan strategi
campuran.
13
CONTOH 1:
Perusahaan
B1
B2
Perusahaan A
Maksimum kolom
B
B3
Minimum baris
A1
1
9
2
1
A2
8
5
4
4
8
9
4
maksimin
minimaks
14
LANJUTAN CONTOH 1
(DILIHAT DARI KEPENTINGAN PEMAIN A)
• Jika A memilih strategi A1, maka B akan memilih
strategi B1, sehingga payoff untuk A adalah 1.
• Jika A memilih strategi A2, maka B memilih strategi
B3 sehingga payoff untuk A adalah 4.
• Dengan demikian, jelas bahwa perusahaan A akan
berada pada posisi pilihan terbaik jika ia melakukan
suatu strategi tunggal, yaitu strategi A2.
15
LANJUTAN CONTOH 1
(DILIHAT DARI KEPENTINGAN PEMAIN B)
• Strategi B3 mendominasi strategi B2, sehingga
perusahaan B tidak akan pernan memilih B2,
sehingga kolom B2 dapat dieliminasi dari matriks
payoff tanpa mempengaruhi nilai permainan.
• Jika strategi B1 dipilih, maka jelas perusahaan A akan
memilih A2, dan B akan kehilangan 8 unit. Jika
strategi B3 dipilih perusahaan A masih
kan memilih A2, tetapi kerugian yang diderita B
hanya 4 unit.
• Dengan demikian, perusahaan B akan berada pada
posisi pilihan terbaiknya jika ia melakukan suatu
strategi tunggal, yaitu strategi B3.
16
Mixed Strategy Game
1
Pemain A
1
2
3
Maksimum kolom
Pemain B
2
Minimum baris
3
0
5
2
-2
4
3
2
-3
-4
5
4
2
-2 «— maksimin
-3
-4
minimaks
► Nilai
maksimin tidak sama dengan nilai minimaks,
sehingga permainan di atas tidak mempunyai
saddle point
17
Solusi Grafis dari Permainan (2xn) dan (mx2)
B
A
Y1 Y2 ……Yn
X1
A11 A12 ……A1n
X2=1-X1 A21 A22 ……A2n
18
Berdasarkan strategi murni dari B, maka
ekspektasi payoff untuk A adalah:
Strategi murni B
Ekspektasi payoff A
1
2
(A11 - A2l) X1 + A21
(A12 - A22) X1 + A22
.
.
.
n
.
.
.
(Ain - A2n) X1 + A2n
19
CONTOH 2:
1
A
B
2
3
1
0
-2
2
2
5
4
-3
20
Berdasarkan strategi murni dari B, maka ekspektasi
payoff untuk A adalah:
Strategi murni B Ekspektasi payoff A
1
2
3
-5x1 + 5
-6x1 + 4
5x1 - 3
21
Ekspektasi
payyoff
X1
X1
22
Maksimin ekspektasi payoff
• v = maks [min (5-5x1), (4-6x1), (-3+5x1)]
• v = maks [min (4 - 6x1), (-3 + 5x1)]
Titik potong dicari secara aljabar biasa:
4 - 6x1
= -3 + 5x1
11x1 = 7
x1* = 7/11
23
• karena X1* + X2* =1 maka X2* = 4/11
• V = v* = -3 + 5(7/11) = 2/11
• Padahal v* = v dan v* = Σ Σ aij.xi.yj
Sehingga:
y1*(5-5x1)+ y2*(4-6x1) + y3*(-3+5x1) = 2/11
2/11 y1* + 2/11 y2* + 2/11 y3* = 2/11
dengan y1* + y2* + y3* = 1…………………..(1)
24
• Dalam hal ini, persamaan Σaij xi yang tidak melewati titik
maksimin berkorespondensi dengan yj = 0 (supaya tidak
menaikkan expected payoff). Karena itu, yi* = 0 sehingga
y2*+y3*=1 atau
• y3*= l - y2* masukkan pada persamaan (1), didapat:
• jika
x1 = 0
4y2* - 3y3* = 2/11
x1 = 1
-2y2* + 2y3* = 2/11
Sehingga didapat : Y3* = 6/11
Y2* = 5/11
25
KESIMPULAN
• Dengan demikian, maka solusi optimum untuk
kedua pemain adalah:
• Pemain A: (x1, X2)
= (7/11, 4/11)
• Pemain B: (y1, y2, y3) =(0, 5/11, 6/11)
dengan nilai game v* = 2/11
26
Solusi Permainan (m x n) dengan Programa
Linier
Contoh :
1
B
2
3
A 1 3
2 -3
3 -4
-1
3
-3
- 3
- 1
3
.
Tentukan strategi optimum untuk masing-masing
pemain!
27
JAWAB CONTOH 2
• Dari matriks payoff diketahui bahwa nilai maksimin
adalah -3 sehingga nilai permainannya dapat
berharga negatif atau nol.
• Karena itu, diperlukan suatu konstanta k yang
harganya paling sedikit sama dengan nilai maksimin
yang negatif itu.
• Konstanta k kemudian ditambahkan kepada seluruh
elemen matriks. Misalnya digunakan k = 5, maka
matriksnya menjadi:
28
1
B
2
3
8
2
1
4
8
2
2
4
8
A
1
2
3
.
29
• Formulasi programa linier untuk pemain B
adalah:
• Maks. w = Y1 + Y2 + Y3
s/t
8Y1 + 4Y2 + 2Y3 ≤ 1
2Y1 + 8Y2 + 4Y3 ≤ 1
Y1 + 2Y2 + 8Y3 ≤ 1
Y1, Y2, Y3 ≥ 0
30
Setelah formulasi di atas diselesaikan dengan metode simpleks,
maka didapat tabel optimumnya sebagai berikut:
Y1
Y2
Y3
S1
S2
S3
Solusi
w
0
0
0
5/49
11/196
1/14
45/196
Y1
1
0
0
1/7
-1/14
0
1/14
Y2
0
1
0
-3/98
31/196
-1/14
11/196
Y3
0
0
1
-1/98
-3/98
1/7
5/49
Basis
31
sehingga diperoleh:
• v* = 1/w - k = 196/45 - 5 = -29/45
Y1* = Y1/w = (1/14)/(45/196)
= 14/45
Y2* = Y2/w = (11/196)/(45/196) = 11/45
Y3* = Y3/w = (5/49)/(45/196)
= 20/45,
32
KESIMPULAN
• Strategi optimum untuk pemain A diperoleh dari
solusi dual persoalan di atas. Maka :
• Z = W = 45/196, X1 = 5/49,
X2 =
11/196,
X3= 1/14
•
•
•
•
Sehingga :
X1* = X1/Z=20/45
X2* = X2/Z=11/45
X3* = X3/Z=14/45
33