Matriks - Universitas Brawijaya
Download
Report
Transcript Matriks - Universitas Brawijaya
MATRIKS
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS BRAWIJAYA 2010
DAFTAR SLIDE
Operasi Matriks
Jenis-Jenis Matriks
Determinan Matriks
Inverse Matriks
2
DEFINISI MATRIKS
Apakah yang dimaksud dengan Matriks ?
kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur
dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi
panjang, serta termuat diantara sepasang tanda
kurung.
3
NOTASI MATRIKS
Nama matriks menggunakan huruf besar
Anggota-anggota matriks dapat berupa huruf kecil
maupun angka
Digunakan kurung biasa atau kurung siku
1 3 2
A
5 7 6
a b
H d e
g h
c
f
i
Ordo matriks atau ukuran matriks merupakan
banyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknya
kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks
tersebut.
4
NOTASI MATRIKS
Jadi, suatu matriks yang mempunyai m baris dan n
kolom disebut matriks berordo atau berukuran m x n.
Notasi A = (aij)
Memudahkan menunjuk anggota suatu matriks
a11
a21
A =a
31
...
a
m1
5
a12
a13
a22
a32
a23
a33
...
...
am 2
am 3
... a1n
... a2 n
... a3n
... ...
... amn
Dengan
i = 1,2,...,m
j = 1,2,...,n
MATRIKS
Contoh : Matriks A merupakan matriks berordo 4x2
1 4
3 1
A
2 1
6
1
Bilangan-bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks
dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga
elemen atau unsur.
6
NOTASI MATRIKS
a11
a
21
A
am1
a12
a22
am 2
Kolom
Baris
a1n
a2 n
amn
Unsur Matriks
Matriks berukuran m x n
atau berorde m x n
7
7
MATRIKS BARIS DAN KOLOM
Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu
baris
C 1 2 1 4
Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu
kolom.
1
E 3
4
8
MATRIKS A = B
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (A = B) apabila A
dan B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama (berordo
sama) dan semua unsur yang terkandung di dalamnya sama.
aij = bij dimana
- aij = elemen matriks A dari baris i dan kolom j
- bij = elemen matriks B dari baris i dan kolom j
A=B
2 4
A
0 1
dan
2 4 2
A
0 1 5
dan
2 4
B
0 1
A≠B
9
1 4
B
3 1
PENJUMLAHAN MATRIKS
Apabila A dan B merupakan dua matriks yang ukurannya
sama, maka hasil penjumlahan (A + B) adalah matriks yang
diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang
seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.
Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat
ditambahkan.
a11
A a 21
a31
a12
a 22
a 32
a13
a 23
a33
a11 b11
A B a 21 b21
a31 b31
10
dan
a12 b12
a 22 b22
a 32 b32
b11
B b21
b31
a13 b13
a 23 b23
a33 b33
b12
b22
b32
b13
b23
b33
PENJUMLAHAN MATRIKS
Contoh Soal
4 2
A 1 3
2 2
3 4
B 2 1
1 2
24
43
A B 1 2 3 1
2 1 2 2
7 2
A B 1 4
3 4
11
PENGURANGAN MATRIKS
A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama,
maka A-B adalah matriks yang diperoleh dengan
mengurangkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian
dalam kedua matriks tersebut.
Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat
dikurangkan.
a11
A a 21
a31
a12
a 22
a 32
a11 b11
A B a 21 b21
a31 b31
12
a13
a 23
a33
a12 b12
a 22 b22
a32 b32
dan
b11
B b21
b31
a13 b13
a 23 b23
a33 b33
b12
b22
b32
b13
b23
b33
PENGURANGAN MATRIKS
Contoh :
1 0 1
A 2 2 3
3 4 0
1 1 1
B 1 2 4
3 4 2
1 1 0 1 1 1
A B 2 1 2 2 3 4
3 3 4 4 0 2
0 1 2
A B 3 0 7
0 0 2
13
PERKALIAN MATRIKS
DENGAN SKALAR
Jika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(aij ) maka
matriks kA=(kaij ) adalah suatu matriks yang diperoleh dengan
mengalikan semua elemen matriks A dengan k.
Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan
atau dibelakang matriks.
[C]=k[A]=[A]k
3 8
A
5
1
14
4 * 3 4 * 8
4A
4
*
5
4
*
1
12 32
4A
20
4
PERKALIAN MATRIKS
DENGAN SKALAR
Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar :
k(B+C)
= kB + kC
k(B-C)
= kB-kC
(k1+k2)C
= k1C + k2C
(k1-k2)C
= k1C – k2C
(k1.k2)C
= k1(k2C)
15
PERKALIAN MATRIKS
DENGAN SKALAR
Contoh :
0 1
A
2 1
3 4
B
1 1
dengan k = 2, maka
K(A+B) = 2(A+B) = 2A+2B
0 1 3 4
3 5 6 10
2( A B) 2 * (
)
2
*
2
1
1
1
3
0
6
0
TERBUKTI
0 1
3 4 0 2 6 8 6 10
2 A 2B 2 *
2*
2
1
1
1
4
2
2
2
6
0
16
PERKALIAN MATRIKS
DENGAN SKALAR
Contoh :
1 1
C
2 1
dengan k1 = 2 dan k2 = 3, maka
TERBUKTI
(k1+k2)C = k1.C + k2.C
1 1
1 1 5 5
(k1 k 2 ) * C (2 3) *
5
*
2
1
2
1
10
5
1 1
1 1 2 2 3 3 5 5
(k1 * C k 2 * C ) (2) *
(
3
)
*
2
1
2
1
4
2
6
3
10
5
17
PERKALIAN MATRIKS
Perkalian matriks dengan matriks pada umumnya tidak
bersifat komutatif.
Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama
matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.
Jika matriks A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxp
maka hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij )
berukuran mxp dimana
18
PERKALIAN MATRIKS
Contoh :
A 3 2 1
3
B 1
0
3
A * B 3 2 1* 1 (3 * 3) (2 * 1) (1 * 0) 11
0
3
3 * 3 3 * 2 3 * 1 9 6 3
B * A 1 * 3 2 1 1 * 3 1 * 2 1 * 1 3 2 1
0
0 * 3 0 * 2 0 * 1 0 0 0
19
PERKALIAN MATRIKS
Apabila A merupakan suatu matriks persegi, maka A² = A.A ;
A³=A².A dan seterusnya
Apabila AB = BC maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=C
(tidak berlaku sifat penghapusan)
Apabila AB = AC belum tentu B = C
Apabila AB = 0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau
B=0
Terdapat beberapa hukum perkalian matriks :
1. A(BC) = (AB)C
2. A(B+C) = AB+AC
3. (B+C)A = BA+CA
4. A(B-C)=AB-AC
5. (B-C)A = BA-CA
6. A(BC) = (aB)C= B(aC)
7. AI = IA = A
20
PERPANGKATAN MATRIKS
Sifat perpangkatan pada matriks sama seperti sifat perpangkatan
pada bilangan-bilangan untuk setiap a bilangan riil, dimana
berlaku :
A2 = A A
A 3 = A2 A
A 4 = A3 A
A5 = A4 A; dan seterusnya
21
PERPANGKATAN MATRIKS
Tentukan hasil A² dan A³
1 1
A
2 0
1 1 1 1 3 1
A2 AxA
2 0 2 2
2
0
1 1 3 1 5 3
A3 AxA2
2 2 6 2
2
0
22
PERPANGKATAN MATRIKS
Tentukan hasil 2A² + 3A³
1 1
A
2 0
3 1 6 2
2 A2 2
4 4
2
2
5 3 15 9
3 A3 3
6 6
2
2
6 2 15 9 9 7
2 A 2 3 A3
6 6 10 10
4
4
23
JENIS –JENIS MATRIKS
Matriks bujursangkar
berukuran n x n
(persegi)
adalah
matriks
yang
1 4
A
3 1
Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya
adalah bilangan nol
O3x 2
0 0
0 0
0 0
Sifat-sifat dari matriks nol :
-A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0
-A*0=0, begitu juga 0*A=0.
24
JENIS –JENIS MATRIKS
Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen
diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan
sebagai D.
Contoh :
D3x 3
1 0 0
0 2 0
0 0 5
Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen
pada diagonalnya sama
D3x 3
25
5 0 0
0 5 0
0 0 5
JENIS –JENIS MATRIKS
Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen
pada diagonal utamanya bernilai 1.
1 0 0 Sifat-sifat matriks identitas :
A*I=A
D 0 1 0
I*A=A
0 0 1
Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di
bawah diagonal utamanya bernilai nol
Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen
di atas diagonal utamanya bernilai nol
2 4 5
A 0 1 2
0 0 6
26
1 0 0
B 3 4 0
2 5 1
DETERMINAN MATRIKS
Setiap matriks persegi atau bujur sangkar memiliki
nilai determinan
Nilai determinan dari suatu matriks merupakan
suatu skalar.
Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan
nol, maka matriks tersebut disebut matriks singular.
27
NOTASI DETERMINAN
Misalkan matriks A merupakan sebuah matriks
bujur sangkar
Fungsi determinan dinyatakan oleh det (A)
Jumlah det(A) disebut determinan A
det(A) sering dinotasikan |A|
28
NOTASI DETERMINAN
Pada matriks 2x2 cara
determinannya adalah :
a11
A
a21
a12
a
det(A) 11
a22
a21
a12
a22
menghitung
det(A) a11a22 a12 a21
Contoh :
2 5
A
1 3
29
det(A)
2 5
1 3
nilai
det(A) 6 5 1
METODE SARRUS
Pada matriks 3x3 cara menghitung nilai
determinannya adalah menggunakan Metode Sarrus
Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3
a11
A a21
a
31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
det(A) a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a31a22 a13 a32 a23a11 a33a21a12
30
METODE SARRUS
Contoh :
2 2 3
A 1 1 3
2 0 1
Nilai Determinan dicari menggunakan metode
Sarrus
det(A) = (-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0) – (-3 ·1 ·2) –(-2 ·3
·0)-(2 ·-1 ·-1)
= 2 +12+0+6-0-2
= 18
31
MINOR
Yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalah
determinan yang berasal dari determinan orde ke-n
tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.
Dinotasikan dengan Mij
Contoh Minor dari elemen a₁₁
a11
A a21
a
31
a11
a
A 21
a
31
a
41
32
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a12
a13
a22
a32
a23
a33
a42
a43
a22
a32
a23
a33
a22
a23
a24
M 11 a32
a33
a34
a42
a43
a44
M 11
a14
a24
a34
a44
MINOR
Minor-minor dari Matrik A (ordo 3x3)
33
KOFAKTOR MATRIKS
Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan
dengan
Contoh :
Kofaktor dari elemen a11
c23 (1)23 M 23 M 23
34
TEOREMA LAPLACE
Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah
perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau
kolom dengan kofaktor-kofaktornya
35
TEOREMA LAPLACE
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris
Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3
a11
A a21
a
31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi
kofaktor baris pertama
|A| a11c11 a12 c12 a13c13
a11 M 11 a12 M 12 a13 M 13
a22
a11
a32
36
a23
a21
a12
a33
a31
a23
a21
a13
a33
a31
a22
a32
TEOREMA LAPLACE
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris
kedua
|A| a 21c21 a 22 c 22 a 23 c 23
a 21 M 21 a 22 M 22 a 23 M 23
a12
a 21
a32
a13
a11
a 22
a33
a31
a13
a11
a 23
a33
a31
a12
a32
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris
ketiga
|A| a31c31 a32 c32 a33 c33
a31 M 31 a32 M 32 a33 M 33
a12
a31
a 22
37
a13
a11
a32
a 23
a 21
a13
a11
a33
a 23
a 21
a12
a 22
TEOREMA LAPLACE
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom
Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3
a11
A a21
a
31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi
kofaktor kolom pertama
|A| a11c11 a 21c 21 a31c31
a11 M 11 a 21 M 21 a31 M 31
a 22
a11
a32
38
a 23
a12
a 21
a33
a32
a13
a12
a31
a33
a 22
a13
a 23
TEOREMA LAPLACE
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom
kedua
|A| a12 c12 a 22 c22 a32 c32
a12 M 12 a 22 M 22 a32 M 32
a 21
a12
a31
a 23
a11
a 22
a33
a31
a13
a11
a32
a33
a 21
a13
a 23
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom
ketiga
|A| a13 c13 a 23 c23 a33 c33
a13 M 13 a 23 M 23 a33 M 33
a 21
a13
a31
39
a 22
a11
a 23
a32
a31
a12
a11
a33
a32
a 21
a12
a 22
DET MATRIKS SEGITIGA
Jika A adalah matriks segitiga bujur sangkar berupa
segitiga atas atau segitiga bawah maka nilai det(A)
adalah hasil kali diagonal matriks tersebut
det(A) a11 a22 a33 dst
Contoh
det(A) 2 (3) 6 9 4 1296
40
TRANSPOSE MATRIKS
Jika A adalah suatu matriks m x n, maka tranpose A
ͭ
dinyatakan oleh A dan didefinisikan dengan matriks n x m
yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom
keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan
kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya.
Contoh :
1 3 1
matriks A : A
berordo 2 x 3
4 1 3
transposenya :
41
1 4
A t 3 1
1 3
berordo 3 x 2
TRANSPOSE MATRIKS
Beberapa Sifat Matriks Transpose :
1.( A B) T AT B T
2.( AT ) T A
3.( AB) T B T AT
4.(kA) T kAT
42
TRANSPOSE MATRIKS
Pembuktian aturan no1 :
a
A B 11
a 21
a13 b11 b12
a 23 b21 b22
a12
a 22
a11 b11
( A B ) T a12 b12
a13 b13
a11
AT a12
a13
43
a 21
a 22
a 23
a 21 b21
a 22 b22
a 23 b23
b11
B T b12
b13
b21
b22
b23
a
A 11
a 21
a12
a 22
b13 a11 b11
b23 a 21 b21
a13
b11 b12
B
b
a 23
21 b22
a12 b12
a 22 b22
b13
b23
a13 b13
a 23 b23
TERBUKTI
a11
AT B T a12
a13
a 21 b11
a 22 b12
a 23 b13
b21 a11 b11
b22 a12 b12
b23 a13 b13
a 21 b21
a 22 b22
a 23 b23
TRANSPOSE MATRIKS
Pembuktian aturan no 2 :
a
A 11
a 21
a11
AT a12
a13
a11
( AT ) T a12
a13
44
a12
a 22
a13
a 23
a 21
a 22
a 23
TERBUKTI
T
a 21
a
a 22 11
a 21
a 23
a12
a 22
a13
a 23
MATRIKS SIMETRI
Sebuah matriks dikatakan simetri apabila hasil dari transpose
matriks A sama dengan matriks A itu sendiri.
A A
T
Contoh :
1.
1
A 3
2
1
AT 3
2
45
2.
3 2
0 0
0 0
3 2
0 0
0 0
2
B
1
2
BT
1
1
2
1
2
INVERS MATRIKS
Matriks invers dari suatu matriks A adalah matriks B
yang apabila dikalikan dengan matriks A memberikan
satuan I
AB = I
Notasi matriks invers : A 1
Sebuah matriks yang dikalikan matriks inversenya
akan menghasilkan matrik satuan
A 1 A I
Jika
a b
A
c
d
46
Maka
A1
1 d b
ad bc c a
INVERS MATRIX
Langkah-langkah untuk mencari invers matriks M
yang berordo 3x3 adalah :
- Cari determinan dari M
- Transpose matriks M sehingga menjadi M T
- Cari adjoin matriks
- Gunakan rumus
M
47
1
1
(adjoin( M ))
det(M )
INVERS MATRIX
Contoh Soal :
1 2 3
M 0 1 4
5 6 0
- Cari Determinannya :
det(M) = 1(0-24)-2(0-20)+3(0-5) = 1
- Transpose matriks M
MT
48
1 0 5
2 1 6
3 4 0
INVERS MATRIX
- Temukan matriks kofaktor dengan menghitung minorminor matriksnya
- Hasilnya :
24 18 5
20 15 4
5 4 1
49
==>
==>
5
24 18
20 15 4
5
4
1
INVERS MATRIX
Hasil Adjoinnya :
5
24 18
20 15 4
5
4
1
Hasil akhir
M 1
50
5 24 18
5
24 18
1
20 15 4 20 15 4
1
5
5
4
1
4
1
REFERENSI
1. Discrete Mathematics and its Applications;
Kenneth H. Rosen; McGraw Hill; sixth edition;
2007
2. http://p4tkmatematika.org/
3. http://www.idomaths.com/id/matriks.php
51