Transcript Topologija - mogućnosti primene u arhitektonskoj geometriji

Topologija - mogućnosti primene
u arhitektonskoj geometriji
Srđan Vukmirović
Matematički fakultet
Univerzitet u Beogradu
Arhitektonski fakultet
Beograd, 1. april 2011.
Šta je topologija?


Topologija je matematička disciplina koja se
bavi osobinama objekata koje se ne menjaju
pri deformacijama (tzv. homeomorfizmi) koje
“ne kidaju i ne lepe”, odnosno čuvaju okolinu
svake tačke.
Tačnije, smemo da pokidamo objekat, da ga
deformišemo, ali na kraju moramo da
zalepimo objekat tamo gde smo ga pokidali.
Dobijanje cilindra
Cilindar – dva puta uvrnut
Dobijanje Mebijusove trake
Dobijanje torusa
Dobijanje Klajnove boce
Šta je (poliedarska) površ?


Okolina svake unutrašnje tačke mora da bude kao
delić ravni. Dozvoljeno je da površ ima rub.
Površ ne sme da ima samopreseke (osim ako
drugačije ne možemo da je smestimo u 3D prostor).
1) Rub (granica) poliedarske površi







Sfera NEMA RUB
Torus NEMA RUB
Klajnova boca NEMA RUB
Rub cilindra su dva kruga
Šta je sa dva puta uvrnutim cilindrom?
Rub Mebijusove trake je krug
Topološki iste (homeomorfne) površi imaju
(topološki) isti rub
2) Ojlerova karakeristika površi

Za neki poliedarski model površi M (može i sa rubom)
Ojlerova karakteristika je broj
c(M) = T – I + P


c(kocka) = 8 – 12 + 6 = 2
c(tetraedar) = 4 – 6 + 4 = 2
c(Keopsova piramida) = 5 – 8 + 5 = 2
c(torus) = 16 – 32 + 16 = 0
c(Mebijusova traka) = domaći

Homeomorfne površi imaju istu Ojlerovu karakteristiku.



3) Orjentabilnost površi





Intuitivno, površ je orjentabilna ako na njoj postoji sat
na kazaljke (unutrašnja definicija)
Ekvivalentno, površ je orjentabilna ako je normala
definisana u svakoj tački površi (spoljašna definicija)
Svaka površ bez ruba (površ nema samopreseke) je
orjentabilna.
Sfera, torus, Platonova tela, cilindar... su orjentabilni
Ako su dve površi homeomorfne one su ili obe
orjentabilne, ili obe neorjentabilne.
Mebijusova traka nije orjentabilna!
Jednostranost Mebijusove trake
Osobine neorjentabilnih površi





Na njima ne postoje satovi na kazaljke
Jednostrane su (tj. možemo ih potpuno obojiti ne
podižući četkicu, odnosno ako ih uronimo u vodu
sasvim će se smočiti)
Nemaju jedinstveno definisanu normalu u svim
tačkama odjednom
Ako nemaju rub, tada se ne mogu “smestiti” u 3D
prostor bez samopreseka (u 4D mogu!)
Svaka neorjentabilna površ sadrži neku Mebijusovu
traku, i obrnuto, ako površ sadrži Mebijusovu traku,
ona je neorjentabilna.
Dobijanje novih površi od postojećih

Osnovni metod: lepljenje dve površi po rubu
Primer: Lepljenje dve Mebijusove trake

Rub svake je krug, po kome treba da ih zalepimo.
Rezultujuća površ nema rub (jer smo po njemu
zalepili)
Rezultujuća površ je neorjentabilna (jer sadrži
Mebijusovu traku)
Pošto je neorjentabilna i nema rub ne u 3D prostoru
mora da se samopreseče. Koja je to površ?
Odgovor: Klajnova boca



Topološka klasifikacija površi bez ruba

Želimo da vidimo kako topološki izgledaju sve
površi bez ruba.
Sfera sa k rupa
Ručka
Mebijusova traka
Orjentabilne površi bez ruba

Sve orjentabilne površi bez ruba se dobijaju tako što
se na sferu sa k rupa nalepi k ručki.
k=0, sfera
k=1, torus
k=2, pereca sa 2 rupe
k=1, torus
Neorjentabilne površi bez ruba

Sve neorjentabilne površi bez ruba se
dobijaju tako što se na sferu sa k rupa nalepi
k Mebijusovih traka.
k=1, Bojeva površ
k=2, Klajnova boca
Rod površi





Rod r(M) orjentabilne površi M bez
ruba je “broj rupa” te površi.
c(M) = 2-2r(M)
Ako r(M) = 0 onda je M sfera
Ako r(M) = 1 onda je M torus
Ako r(M) = 2 onda je M pereca
sa 2 rupe...
Reference

JavaView, www.javaview.de

В. Г. Болтянский, В. А. Ефремович, Наглядная
топология, (выпуск 21 серии "библиотечка
квант"), Наука, Москва, 1982

S. Vukmirovic, Gluing two Moebius strips into a
Klein bottle, Wolfram Mathsource,
library.wolfram.com/infocenter/MathSource/823/