Transcript Параллельные сечения

В предыдущих задачах для построения сечения нам
оказалось достаточно знаний теории.
Рассмотрим другую задачу.
Задача 1. Построить сечение тетраэдра, проходящее через
точку М, параллельно плоскости ABD.
M
Одна точка нам ничем не
поможет, но в задаче есть
дополнительное условие:
сечение должно быть
параллельно плоскости
ABD.
Что это нам дает?
1. Плоскости ADB и DBC пересекаются по прямой DB,
следовательно сечение, параллельное ADB, пересекает DBC по
(Если две параллельные
прямой, параллельной DB.
плоскости пересечены третьей,
то линии пересечения
параллельны)
M
Точка М принадлежит грани
DBC. Проведем через нее
N
прямую MK, параллельную DB.
2. Аналогично: (ADB) (ABC)=AB,
K
следовательно сечение будет
пересекать (ABC) по прямой,
параллельной AB.
K (ABC). Через точку K в плоскости ABC проведет прямую KN,
параллельную AB.
M
N
K
N (ADC), M (ADC),
следовательно MN (ADC) (и
плоскости сечения).
Проведем NM.
MKN – искомое сечение.
Итак:
M
N
1. Построение:
1. В плоскости (DBC) MK // DB,
MK BC = K.
2. В плоскости (ABC) KN // AB,
KN AC = N.
3. MN
Докажем, что MKN – искомое сечение
2. Доказательство.
1. Сечение проходит через точку М
2. N (ADC), M (ADC) => NM (ADC)
3. MK // DB, NK // AB по построению, следовательно
(NMK) // (ABD) по признаку.
K
Следовательно, MKN – искомое сечение
ч.т.д.
Задача 2. Постройте сечение параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1, проходящее через середину ребра D1C1 и
точку D, параллельно прямой a.
B1
C1
Рассуждения.
M
A1
D1
B
A
C
D
1. Отметим указанную в
условии точку (назовем ее
произвольным образом).
M – середина D1C1.
2. Точки M и D лежат
B1
C1
M
A1
A
значит их можно соединить.
D1
B
C
D
в одной плоскости DD1C1,
Больше соединять нечего.
3. Воспользуемся дополнительным условием: секущая
плоскость должна быть параллельна прямой a.
B1
C1
M
A1
B
C
S
A
Для этого она должна
содержать прямую,
параллельную прямой a.
Проще всего провести
такую прямую в плоскости
ABC, т.к. в ней лежат
прямая a и точка D,
принадлежащая сечению.
D
Проведем в плоскости ABC
через точку D прямую DS,
параллельную прямой a.
DS AB = S.
4. Т.к. (ABC) // (A1B1C1), проведем в плоскости
(A1B1C1), через точку M, прямую MP // SD.
MP B1C1 = P
5. Т.к. (DD1C1) // (AA1B1), то в
P
B
C
плоскости (AA1B1) можно
через точку S провести прямую
M
N
A
D
SN, параллельную DM.
SN BB1 = N
1
1
1
1
B
C
S
A
D
6. Точки N и P лежат в
плоскости (A1B1C1).
Соединим их.
SNPMD - искомое сечение.
Итак:
1. Построение.
1. MD
B1
A1
N
P
C1
S
A
M
3. В (A1B1C1), через точку
M, MP // DS, MP B1C1 = P
C
4. В плоскости (AA1B1),
через точку S, SN // DM,
SN BB1 = N
5. NP
D1
B
D
2. В (ABC), через точку D,
DS // a, DS AB = S
Докажем, что SNPMD искомое сечение.
2. Доказательство.
B1
A1
N
1. Сечение проходит через точку D и
середину ребра D1C1 - точку M по
построению.
P
C1
M
C
S
A
3. PM // SD, P B1C1 по
построению
D1
B
D
2. DS // a, (S AB) по построению,
следовательно (KNP) // a по
признаку.
4. SN // DM, N BB1 по
построению
5. P (BB1C1), N (BB1C1)
=> PN (BB1C1).
Следовательно, SNPMD искомое сечение ч.т.д.
Задача 3. Построить сечение параллелепипеда, параллельное
B1A и проходящее через точки M и N.
Рассуждения. 1. Соединим M и N (они лежат в плоскости (C1A1B1) ).
B1
N
M
A1
D1
B
A
C1
C
D
Больше соединять нечего.
Воспользуемся дополнительным
условием: секущая плоскость должна
быть параллельна прямой B1A
2. Для того, чтобы секущая плоскость
оказалась параллельна AB1, нужно,
чтобы в ней лежала прямая,
параллельная AB1 (или DC1, т.к.
DC
// AB1 по свойству параллелепипеда).
Удобнее всего изображать такую прямую в грани DD1C1C, т.к.
(DD1C1) // (AA1B1), а AB1 (AA1B1).
Проведем в плоскости (DD1C1) прямую NK // AB1,
NK DD1 = K.
B1
N
M
A1
D1
B
3. Теперь в плоскости AA1D1
есть две точки, M и K,
принадлежащие сечению.
Соединим их.
C
K
A
C1
D
MNK – искомое сечение.
Итак:
1. Построение.
1. MN
2. В плоскости (DD1C1) NK // AB1,
NK DD1 = K. .
B1
N
A1
A
M
D1
C1
3. MK
Докажем, что MNK – искомое сечение
2. Доказательство.
B
C
1. Сечение проходит через точки M и N.
K
2. M (A1B1C1), N (A1B1C1) =>
D
MN (A1B1C1).
3. M (ADD1), K (ADD1) => MK (ADD1).
4. Т.к. NK // AB1 по построению, то (MNK) // AB1 по
признаку параллельности прямой и плоскости.
Следовательно, MNK - искомое сечение ч.т.д.
Задание 3.
1. В тетраэдре DABC постройте сечение плоскостью, проходящей
через середину ребра DC, вершину B и параллельной прямой AC.
2. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей
через середину ребра B1C1 и точку K, лежащую на ребре CD,
параллельной прямой BD, если DK : KC = 1 : 3.
M
3. Построить сечение тетраэдра
плоскостью, проходящей через
точки M и C, параллельно
прямой a (рис. 1).
рис.1
4. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка E принадлежит
ребру CD. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью,
проходящей через эту точку и параллельной плоскости
BC1D.
5. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью,
проходящей через AA1, параллельно MN, где M – середина
AB, N – середина BC.
6. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью,
проходящей через середину ребра B1C1 параллельно
плоскости AA1C1.