Transcript Arrow`n teoreema

Arrow’n teoreema
Sosiaaliset hyvinvointifunktiot (Social
welfare functions SWF)
• SWF f on sääntö tai prosessi, joka
määrittää kullekin joukolle yksilöiden
preferenssijärjestyksiä (eli ‘profiilille’)
(R1,...,Rn) jotka koskevat sosiaalisia tiloja,
vastaavan sosiaalisen järjestyksen.
(1)
R = f(R1,...,Rn)
1
Yhteiskunnan preferenssijärjestys
ja aggregointi
• Sosiaalinen järjestys R kuvaa
‘yhteiskunnan preferenssijärjestystä’.
• Se saadaan ‘aggregoimalla’ yksilöiden
preferensseistä.
2
Valintajoukko ja sosiaaliset
päätösfunktiot
• Valintajoukko C(S) on joukko vaihtoehtoja,
jotka yhteisö valitsee jonkin
päätöksentekoprosessin seurauksena kun
valittavien vaihtoehtojen joukko on SX.
• Sosiaalinen päätösfunktio muotoillaan
seuraavasti:
(2)
C(S) = g(R1,...,Rn)
3
Condorcet ehto (Maksimaaliset
elementit)
(3) C(S) = [x xS&yS: xRy].
Arrow:n ehdot:
1. Rajoittamaton ala (Unrestricted domain) UD
2. Rationaalisuus (RAT)
3. Vahva Pareto (SP)
4. Irrelevanttien vaihtoehtojen riippumattomuus
(Independence of irrelevant alternatives, IIA)
5. Ei-diktatorisuus (Nondictatorship, ND)
4
Ehdot
• Rajoittamaton ala (UD): Valintasäännön
pitää pystyä valitsemaan jokin vaihtoehto
kaikilla mahdollisilla preferenssiprofiileilla.
• Rationaalisuus: Yksilöiden ja yhteiskunnan
preferenssit ovat täydellisiä ja transitiivisia.
5
Vahva Paretoehto
• Vahva Pareto (SP): x on yhteiskunnalle
parempi kuin y jos kaikki yksilöt i pitävät
x:ää ainakin yhtä hyvänä kuin y:tä ja
ainakin yksi pitää x:ää parempana kuin
y:tä:
(4)
ij: (xRiy) & j: (xPjy)  xPy
6
IIA
• IIA: Sosiaalinen valinta joukosta
vaihtoehtoja riippuu vain yksilöiden
preferenssijärjestyksistä näille
vaihtoehdoille (ordinaalinen welfarismi).
• (R1,..,Rn ) ja (R’1,...,R’n) edustavat kahta
joukkoa n-kertoja yksilöiden
preferenssijärjestyksiä (eli profiileja).
• C(S) ja C’(S) ovat vastaavat sosiaaliset
päätösfunktiot.
• Valintateoreettinen IIA: Jos yksilöiden kaikkia
vaihtoehtopareja koskevat preferenssit ovat
samoja kahdessa profiilissa (R1,..,Rn) ja
(R’1,...,R’n), sama valinta tehdään molemmista
profiileista.
(5) i: (x, y  S: xRiy  xR’iy)
 C(S) = C’(S).
Relationaalinen IIA:
Jos mille tahansa parille x, y  S, kaikille yksilöille i
pätee: xRiy  xRi’y ja yRix  yRi’x,
f(R1,..,Rn ) ja f(R’1,...,R’n) järjestävät x:n ja y:n
samalla tavalla.
8
•
Ei diktaattoria (ND): Yksi yksilö ei saa
määrätä sosiaalista järjestystä. Ei siis ole
yksilöä i s.e.
(6) x, yX: xPiy  xPy.
•
Arrow’n teoreema: Ei ole olemassa
sosiaalista hyvinvointifunktiota, joka
toteuttaa ehdot UD, RAT, SP, IIA, ja ND.
9
Todistuksen idea
1) Osoita, että on aina olemassa yksittäinen
äänestäjä, joka pystyy määräämään (is
decisive) valinnan jollekin vaihtoehtoparille
(perustuu Condorcet paradoksiin).
2) Osoita, että jos tällainen henkilö pystyy
määräämään valinnan tällä tavalla jollekin
parille, hän voi tehdä sen kaikille pareille.
3) Tällainen henkilö on diktaattori.
10
Kaksi hyvinvointifunktion tulkintaa
(Buchanan ja Sen)
Päätöksentekomekanismi;
Esimerkiksi
äänestysmekanismi
Sosiaalinen
hyvinvointiarvostelma:
Arvoarvostelma, joka
perustuu yksilöiden
preferenssijärjestyksiin
11
Kaksi Arrown teoreeman tulkintaa
• Kaikki
äänestyssäännöt ovat
jollakin tavalla
epäkelpoja
• Strateginen
äänestäminen ja
äänestysjärjestys
voivat vaikuttaa
tuloksiin.
• Jos henkilöiden
välisiä hyötyvertailuja
ei voida tehdä, ei ole
olemassa ‘sosiaalista
optimia’ tai
koherenttia
‘yhteiskunnan tahtoa’.
12
IIAn aspektit
• järjestysaspekti: IIA sallii vain että
preferenssien järjestysinformaatio otetaan
huomioon, intensiteettejä ei saa
huomioida.
• Irrelevanssiaspekti: IIA sulkee pois myös
informaation joka koskee kolmansia
vaihtoehtoja.
13
Strategisen äänestämisen
seuraukset
• Jos äänestystulosten manipulointi onkin
hyödyllistä siksi, että se mahdollistaa
intensiteettien ottamisen huomioon, IIA:ta
ei voida enää puolustella käytännöllisillä
argumenteilla.
 A farewell to Arrow’s theorem
Silti
• Arrow’n teoreeman relevanssi metodologiselle
individualismille: Koska yhteiskunnalla ei ole
intentionaalisuutta muussa kuin
vertauskuvallisessa mielessä, erilaisten
intressien ja pohdintojen painottaminen ei
tapahdu pohtimalla niiden tärkeyttä, vaan
mekaanisella äänestyksellä.
• Sosiaalisilla yksiköillä ei ole välttämättä ole hyvin
määriteltyjä päämääriä  on katsottava
minkälaiseen päätöksentekoon näiden
yksiköiden ’tahto’ perustuu.