Transcript aulão pré

Revisão Matemática
Prof. Luciano Stropper
UFRGS 2013
Distribuição das questões
26
E.FUNDAMENTAL
40
GEO. PLANA (TALES)
27
E.FUNDAMENTAL
41
GEO. ESPACIAL
28
E.FUNDAMENTAL
42
GEO. PLANA+TRIGONOMETRIA+GEO. ANALÍTICA
29
FUNÇÕES
43
GEO. PLANA
30
EQUAÇÕES
31
GRÁFICOS (INTERPRETAÇÃO)
44
GEO. PLANA
32
PA e LOG
45
GEO. ESPACIAL
33
GEO. ANALÍTICA e PA
46
GEO. ANALÍTICA
34
PG e GEO. PLANA
47
GEO. ANALÍTICA
48
SISTEMAS LINEARES
35
FUNÇÕES
36
LOG
37
POLINOMIOS
49
PROBABILIDADE
38
TRIGONOMETRIA
50
PROBABILIDADE
39
GEO. PLANA
GEOMETRIA PLANA 
Polígonos convexos
Polígonos não-convexos
B
C
 Os lados AB, AC, CD, DE, EF e FA.

 Os vértices A, B, C, D, E e F.
D
A
F
E
 Os ângulos internos A, B, C, D, E e
F.
  é ângulo externo relativo ao
vértice A.
 A diagonal BD.
Polígono regular
• Chama-se polígono regular qualquer polígono que
tem todos os lados congruentes e todos os
ângulos internos congruentes.
B
C
A
D
F
E
Soma dos ângulos internos
• A soma dos ângulos internos de um polígono
convexo com n lados é dado por Si = (n – 2).180º.
A4
A3
Si = (n – 2).180º
A2
A5
A1
An
TEOREMA DE PITÁGORAS
c² = a² + b²
TEOREMA DE TALES
Apótema
Polígonos Regulares
D
E
O
F
C

m
A
M
O
m
R
B
A
θ
R
L/2
B
O
m θ
A
R
L/2
B
Área de polígonos
Área do quadrado
L
L
A = L2
Exemplo
 Calcular a medida de cada lado e de cada uma das
diagonais de um quadrado, cuja área mede 18 cm2.
A = L2
D
⇒ L2 = 18
⇒ L = 3√2
L
D2 = L2 + L2
L
⇒ D = 3√2.√2
⇒ D = 6 cm
⇒ D = L√2
Área do retângulo
Altura (h)
Base (b)
A=b.h
Exemplo
 Calcular o perímetro de um retângulo de 18 m2 de
área, sabendo que um de seus lados é o dobro do
outro.
A = 18
x
⇒ 2x2 = 18
⇒ x.2x = 18
⇒ x2 = 9
⇒ x=3
2x
Os lados medem 3 m e 6 m.
P = 2.3 + 2.6 = 18 m
Área do Paralelogramo
h
base (b)
A=b.h
Exemplo
 Os lados de um paralelogramo medem 4 cm e 6 cm e
formam, entre si, ângulo de 60º. Obter a sua área.
4
h
60º
6
sen 60º =
h
⇒ h = 4. sen 60º
4
A=b.h
= 6. 2√3
= 4.
√3
2
⇒ A = 12√3
⇒
h = 2√3
Área do Losango
L
L
d2
L
L
d1
A=
d1 . d2
2
Área do Triângulo
h
base (b)
A=
b.h
2
A=
b . c. sen α
2
A=√p.(p-a).(p-b).(p-c)
Área do Triângulo Eqüilátero
L
L
h
L
A=
L2√3
4
h=
L√3
2
Área do Hexágono regular
L
L
L
L
L
L
A=
6L2√3
4
CÍRCULO ou CIRCUNFERENCIA??
A = π R²
C = 2. π. R
UFRGS 2012
1+1/2+1/4+1/8 = 15/8
C= 2.pi.r = 2. 3,14 . 1
C=6,28 (1 volta)
Como serão 10 voltas
C= 62,8 (letra B)
x
x+6
GEOMETRIA ESPACIAL
Elementos de um poliedro
• Alguns elementos de um poliedro recebem nomes
especiais.
Face de poliedro é cada um dos polígonos que o delimitam.
Elementos de um poliedro
• Alguns elementos de um poliedro recebem nomes
especiais.
Aresta de poliedro é cada um dos lados das faces. É cada “quina” do
poliedro.
Elementos de um poliedro
• Alguns elementos de um poliedro recebem nomes
especiais.
B
D
A
E
C
F
G
H
Vértice de poliedro é cada um dos vértices das faces. É cada “ponta” do
poliedro.
O PRISMA e suas formas
• Observe os objetos abaixo. Todos têm forma de
poliedro, mas apresentam algumas características
comuns. Eles estão associados a um tipo de
poliedro muito especial: o prisma.
Definição
• Observe a animação. r


O conjunto de todos esses segmentos é um sólido poliédrico chamado
prisma.
Elementos principais do prisma
F’
E’
A’
D’
O prisma tem dois tipos de
faces
C’
B’
 bases
(polígonos congruentes).
F
 faces laterais
(paralelogramos).
E
A
D
B
C
 Superfície total do prisma é a união da superfície lateral com as duas
bases do prisma.
Elementos principais do prisma
F’
E’
A’
D’
O prisma tem dois tipos de
arestas
C’
B’
 arestas das bases
(AB, A’B’, ..., FA, F’A’).
F
 arestas laterais
(AA’, BB’, CC’, ... ,FF’ ).
E
A
D
B
C
Elementos principais do prisma
F’
E’
A’
D’
C’
B’
h
F
E
A
D
B
C
 A distância h entre as duas bases do prisma é a altura do prima.
Classificação dos prismas
• Um prisma é classificado pelo tipo de polígono que
constitui suas bases.
Polígonos das bases
Prisma
triângulo
P. triangular
quadrado
P. quadrangular
pentágono
P. pentagonal
hexágono
P. hexagonal
Veja alguns desses prismas
Prisma triangular
Prisma Pentagonal
Classificação dos prismas
h
h
Prisma triangular reto
Prisma Pentagonal
oblíquo
Prisma regular
• Todo prisma reto cujas bases são
regulares é chamado de prisma regular.
polígonos
B
A
C
O prisma é reto e
ABC é triângulo eqüilátero
⇒
⇒
Prisma triangular regular
O prisma é reto e a
Base é hexágono regular
Prisma hexagonal regular
Prismas quadrangulares
• Se as bases de um paralelepípedo reto são
retângulos, ele é chamado paralelepípedo retoretângulo ou paralelepípedo retângulo.
Paralelepípedo retângulo ou
ortoedro
Prismas quadrangulares
• Se todas as arestas de um paralelepípedo
retângulo são congruentes entre si, ele é chamado
cubo ou hexaedro regular.
Cubo ou hexaedro regular
Estudo do cubo
• O cubo é o mais simples dos prismas. Ele é um
prisma quadrangular regular, cujas faces são
quadrados congruentes. Por isso qualquer de suas
faces pode ser considerada como base.
a → medida de cada uma das
arestas
a
a
a
Diagonais no cubo
• Num cubo, distinguimos dos tipos de diagonais.
a → medida de cada uma das
arestas
D
d → diagonal da face
a
d
a
a
D → diagonal do cubo
Diagonais no cubo
• Obtendo os valores d e D em função da medida a
da aresta.
d2 = a2 + a2
D
⇒ d = 2a2
a
d
a
a
⇒ d = a√2
a
Diagonais no cubo
• Obtendo os valores d e D em função da medida a
da aresta.
D2 = a2 + d2
D
a
⇒ D = a2 + 2a2
a
⇒ D = 3a2
a
d
a
⇒ D = a√3
Área da superfície total do cubo
• Planificando a superfície total de um cubo de
aresta a, obtemos a figura.
a
a
a
a
a
a
a
AT = 6a2
Volume do cubo
a
a
a
a
a
a
a
V = a³
Estudo do paralelepípedo retângulo
• O
paralelepípedo
retângulo
é
um
prisma
quadrangular. Suas faces são duas a duas
congruentes.
a, b e c → As dimensões do
paralelepípedo.
b
c
a
 Suas doze arestas são quatro a quatro congruentes. As medidas
dessas arestas são as dimensões do paralelepípedo.
Diagonal do paralelepípedo
• Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento
cujos extremos são dois vértices não-pertencentes
a uma mesma face.
D
d
a
d → diagonal da face inferior
D → diagonal do paralelepípedo
c
b
Cálculo da diagonal do paralelepípedo
• Obtendo o valor de D em função das dimensões a,
b e c do paralelepípedo.
D
c
b
d
a
d2 = a2 + b2
D2 = a2 + b2 + c2
e
D2 = d2 + c2
⇒ D = √a2 + b2 + c2
Exemplo
 O comprimento e a largura de um paralelepípedo
medem 12 cm e 4 cm. Uma de suas diagonais mede
13. Obter a medida de sua altura?
⇒ 13 = √122 + 42 + c2
D = √a2 + b2 + c2
⇒ 169 = 144 + 16 + c2
⇒
c2 = 9
⇒
c=3
⇒
c2 = 169 – 160
Área da superfície total do paralelepípedo
• Planificando
a
superfície
total
de
um
paralelepípedo de dimensões a, b e c obtemos a
a
figura.
b
c bc
ab
ac
b
c
a
AT = 2ab + 2ac + 2bc
AT = 2(ab + ac + bc)
ab
ac
bc
Exemplo
 A área da superfície total de um paralelepípedo é 248
cm2. suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5.
Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo?
As dimensões a, b e c são proporcionais a 2, 3 e 5 indica que a = 2k, b
= 3k e c = 5k.
AT = 248
⇒ 2(ab + ac + bc) = 248
:(2)
⇒ ab + ac + bc = 124
⇒ 2k.3k + 2k.5k + 3k.5k = 124
⇒ 6k2 + 10k2 + 15k2 = 124
⇒ k2 = 4
⇒ k=2
⇒ 31k2 = 124
Volume do paralelepípedo retângulo
• Analise as duas figuras a seguir.
4u
cubo unitário
V = 1 u3
3u
5u
V = 5.3.4 = 60 u3
De modo geral, o volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e c é
dado por
V = a.b.c
Exemplos
 Uma das dimensões de um paralelepípedo é
aumentada em 20%; outra, aumentada em 30%; a
terceira em 10%. O que ocorre com o volume do
paralelepípedo?
Suponhamos que as dimensões sejam x, y e z. Então, o volume
original é V = xyz.
Se x aumenta 20%, a nova dimensão passa para 1,2 x.
Se y aumenta 30%, a nova dimensão passa para 1,3 y.
Se z aumenta 10%, a nova dimensão passa para 1,1 z.
V’ = 1,2x . 1,3 y . 1,1 z
= 1,404.xyz
Concluímos que o volume aumenta 40,4%.
= 1,404.V
Estudo geral do prisma
• Vamos aprender a calcular áreas e volumes em
prismas quaisquer. Em geral. Vamos considerar
prismas retos em que
 As arestas laterais são alturas;
 As faces laterais são retângulos;
B
A
C
Áreas no prisma
• No prisma as áreas.
 Área Lateral (AL) – Soma das áreas dos retângulos;
 Área da base (AB) – Área do polígono da base;
 Área total (AT) – Soma da área lateral com as bases
AT = AL + 2AB
Exemplo
 A figura a seguir mostra um prisma triangular reto,
com as dimensões indicadas. Calcular a área lateral e
a área total desse prisma.
AL = 3.6 + 4.6 + 5.6
AL = 18 + 24 + 30
AB = (3.4)/2
6
4
= 72
=6
3
AT = AL + 2.AB
5
AT = 72 + 2.6
= 84
Exemplo
 Num prisma hexagonal regular, a altura mede 6 m e a
área de cada base é 24√3 m2. Achar sua área lateral.
A = 24√3
⇒ x2 = 16
⇒
6x2√3
4
= 24√3
⇒ x=4
6
x
Af = b.h
⇒ Af = 4.6 = 24
AL = 6.Af
⇒ AL = 6.24 = 192 m2
Princípio de Cavalieri
• Bonaventura Cavalieri nasceu na Itália, no final do
século XVI. Discípulo de Galileu, ele deixou
contribuições importantes nas áreas de óptica e
geometria.
Princípio de Cavalieri
• Dados dois ou mais sólidos apoiados em um
mesmo plano , se
 Todos têm a mesma altura;
 Todo plano  paralelo a  e que corte os sólidos
determina, em todos eles, seções planas de
mesma área;
Então os sólidos têm o mesmo volume.
Volume do prisma
• Vamos deduzir uma fórmula para o cálculo do
volume do prisma. Para isso, vamos aplicar o
princípio de Cavalieri.
V = AB.h
PIRÂMIDE
V
A pirâmide tem dois tipos de
faces
 A base
(polígono ABCDEF).
F
 Faces laterais (triângulos).
E
A
D
B
C
 Superfície total da pirâmide é a união da base com a superfície lateral.
Elementos principais da pirâmide
V
A pirâmide tem dois tipos de
arestas
 arestas da base
(AB, BC, CD, DE, EF e FA).
F
E
A
D
B
C
 arestas laterais
(VA, VB, VC, VD, VE e VF ).
Elementos principais da pirâmide
V
h
F
E
A

D
B
C
 A distância h do vértice ao plano da base é a altura da pirâmide.
Classificação
• Uma pirâmide é classificado pelo tipo de polígono
que constitui sua base.
Polígono da base
Pirâmide
triângulo
P. triangular
quadrado
P. quadrangular
pentágono
P. pentagonal
hexágono
P. hexagonal
Veja algumas dessas pirâmides
Pirâmide triangular
Pirâmide Pentagonal
Pirâmides regulares
V
V
h
h
O
A base da pirâmide é um
quadrado
A base da pirâmide é um
hexágono regular
⇒
⇒
Pirâmide quadrangular regular
O
Pirâmide hexagonal regular
Apótema da pirâmide
V
VM é o apótema (p) da
pirâmide
p
⇒
D
C
M
A
B
BM = MC
Segmentos notáveis na pirâmide regular
V
 VO = h, altura;
 VA = a, aresta lateral;
 AB = b, aresta da base;
p
h
a
B
m
O
M
r
A
b
Segmentos notáveis na pirâmide regular
V
 OM = m, apótema da base;
 OA = r, raio da base;
 VM = p, apótema pirâmide;
p
h
a
B
m
O
M
r
A
b
A pirâmide e o teorema de Pitágoras
V
p2 = h2 + m2
p
h
B
O
m
A
M
A pirâmide e o teorema de Pitágoras
V
a2 = h2 + r2
h
a
O
r
A
A pirâmide e o teorema de Pitágoras
V
a2 = p2 + (b/2)2
p
a
B
M
b/2
A
Volume da pirâmide
• Se um prisma e uma pirâmide têm alturas iguais e
suas bases têm a mesma área, então o volume da
pirâmide é a terça parte do volume do prisma.
V=
1
3
AB.h
Tronco de Pirâmide
R
h’
h
D’
C’
B’
A’
D
C
B
A
R
h’
D’
D’
A’
Tronco de
pirâmide
C’
A’
h – h’
C’
B’
D
B’
A
C
B
Razão de semelhança - Comprimentos
R
R
h’
h
D
A’
C
A
D’
=
AB
A’B’
B’
Razão de
semelhança
B
RA
RA’
C’
=... =
h
h’
=k
Razão de semelhança - Áreas
R
R
h’
h
D
A
A’
C
B
AB
A’B
=
AL
A’L
=
D’
AT
A’T
C’
B’
CONES
ESFERAS
Área: A = 4πr2
Volume:
Cilindro
Base
eixo
R é raio da base
h é altura
g é geratriz
R
*O

g
g
h
A Fig. mostra um Cilindro
Oblíquo.
*O

Base

90º
Cilindro Circular Reto
ou Cilindro de Revolução
A
* O’
h
g
C
g
R
R
*O
B
D
1) o eixo é perpendicular
aos planos das bases.
2) g = h
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
A
B
D
C
D
C
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
Seção Meridiana
Retângulo ABCD é a seção meridiana do cilindro.
Seção
Meridiana
A
* O’
h
B
Se ABCD
é um quadrado 
cilindro eqüilátero
C
2R
*O
D
Cilindro eqüilátero é o cilindro reto em que h = 2R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação
Planificação: :
h
x
R
Planificação :
R
h
x
R
p
2
R
R
Áreas e Volumes
Área Base
( Ab )
Área Lateral
( AL )
Área Total
( At )
Volume
( V)
Ab = p R2
AL = 2p Rh
At = AL+ 2 Ab
V = p R2 . h
UFRGS 2012
Tomando a aresta da base a e a
altura h temos o volume V:
Dobrando a aresta da base e
reduzindo a altura a metade
teremos o novo volume V1:
GEOMETRIA ANALÍTICA
Estudo da reta
Plano cartesiano
eixo das ordenadas
y
2º quadrante
1º quadrante
O (0, 0)
x
Origem
3º quadrante
4º quadrante
eixo das
abscissas
Coordenadas no plano
y
P(3, 4)
4
 3 é a abscissa de P;
P
 4 é a ordenada de P;
 3 e 4 são as
O
3
coordenadas de P;
x

Em geral:
P(x, y)
Bissetrizes no plano
y
2ª bissetriz
1ª bissetriz
y=x
y = –x
x
Equação geral da reta
• A toda reta contida no sistema xOy de coordenadas
cartesianas está associada uma equação de 1.º grau,
nas variáveis x e y. Essa equação se verifica para
todos os pontos da reta, e só eles.
 Retas paralelas aos eixos;
 Retas
eixos;
não-paralelas
aos
Retas paralelas aos eixos
• A figura mostra duas retas r e s, contidas no plano
cartesiano xOy.
y
r
s
2
O
 Equação da reta r: x = 4
4
 Equação da reta s: y = 2
x
Retas não-paralelas aos eixos
• A figura mostra a reta r, contidas no plano
cartesiano xOy, determinada pelos pontos A(2, 1) e
B(3, 3).
B
3
1
O
P(x, y) ∊ AB ⇒ A, B e P estão
r
y
P(x, y)
x y 1
1 2 1
A
2
alinhados
=0
3 3 1
3
x
x + 3y + 6 – 3 – 3x – 2y =
0
⇒ y – 2x + 3 = 0
Exemplos
• Analisar se M(2, –1) e N(3, 5) são pontos da reta de
equação geral 5x + y – 9 = 0.
 Para que cada ponto pertença à reta, suas coordenadas
devem satisfazer a equação.
M(2, –1) ⇒ 5.2 + (–1) – 9 = 0 ⇒ 10 –1 – 9 = 0 ⇒ 0 = 0
N(3, 5)
⇒ 5.3 + 5 – 9 = 0 ⇒ 15 + 5 – 9 = 0
⇒ 11 ≠ 0
 Concluímos que M é ponto da reta dada, mas N não é.
Inclinação de uma reta
• Imagine um carro subindo uma rampa reta,
conforme figura. Suponha que para cada 40 m
percorridos na horizontal, a pista se eleve 6 m.
6m

40 m
 O ângulo α que a rampa forma com a horizontal é o
ângulo de inclinação da rampa. O valor de tg α é a
inclinação da rampa.
Inclinação = tg α = 6 m = 0,15
40 m
Inclinação de uma reta
• Vamos analisar agora duas situações extremas.
 Quando
o carro percorre um trecho horizontal,
dizemos que a rampa tem inclinação 0 e que o ângulo
de inclinação é 0º. (tg 0o = 0).
α = 0o ⇒ Inclinação = tg α = tg 0o = 0
Inclinação de uma reta
• Vamos analisar agora duas situações extremas.
 O auto não sobe uma rampa vertical.
Nesse caso, não se define a inclinação
da rampa e o ângulo de inclinação é 90º.
(tg 90º = Não é definido).
α = 90o
⇓
Inclinação não se define.
Inclinação de uma reta
• Considere uma reta r, não paralela aos eixos x e y,
contida no plano cartesiano xOy.
y
r
Q
yQ
Inclinação = tg α
yQ– yP
P
yP
M
O

xQ– xP

xP
xQ
x
yQ – yP
a = tg α =
xQ – x P
y
a=
x
Inclinação de uma reta
• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos
importante:
y
a = tg 30º =
M
O
30º
x
√3
3
Inclinação de uma reta
• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos
importante:
y
a = tg 45º = 1
M
O
45º
x
Inclinação de uma reta
• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos
importante:
y
a = tg 60º = √3
M
O
60º
x
Inclinação de uma reta
• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos
importante:
y
a = tg 120º = – tg 60º = –√3
120º
O
M
x
Inclinação de uma reta
• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos
importante:
y
a = tg 135º = – tg 45º = – 1
135º
O
M
x
Inclinação de uma reta
• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos
importante:
y
a = tg 150º = – tg 30º =
150º
O
M
x
–√3
3
Exemplos
• Em cada caso, obter a inclinação e classificar o
ângulo α de inclinação da reta MN.
a) M(–2, 3) e N(1, 5)
y
5
M
N
3
α
–2
O
1
x
a = tg α =
yN – yM
xN – xM
a=
5–3
1 – (–2)
a=
2
3
a > 0 e α é agudo
(α < 90º)
Inclinação de uma reta - resumo
• O ângulo de inclinação α de uma reta é tal que 0º ≤ α ≤
180º.
• Sua inclinação a pode ser positiva, negativa ou nula,
conforme a medida do ângulo α (α ≠ 90º).
 α = 0º ⇔ a = 0.
 0º < α < 90º ⇔ a > 0.
 α = 90º ⇔ a inclinação a não é definida.
 90º < α < 180º ⇔ a < 0.
Exemplos
• Achar as inclinações das retas r, s e t da figura
abaixo.
y
t
O
45º
r
45º
s
120º
x
 ar = tg 45º = 1
 as = tg 45º = 1
 at = tg 120º = – tg 60º =– √3
Equação reduzida da reta
• Uma reta é determinada, quando são dados sua
inclinação e um de seus pontos. Suponhamos no
plano xOy, uma reta r que passa por A(2, 3) e têm
ângulo de inclinação α = 135º.
• Vamos obter a equação da reta r.
yM – yA
a=
xM – x A
y
3
A
2
a = tg 135º = –1.
–1 =
y – 3 = –1(x – 2)
M(x, y)
135º
O
⇒
y – 3 = –1x + 2
x
y = –1x + 5
y = –x + 5
y–3
x–2
Equação reduzida da reta – Caso Geral
• Suponhamos que uma reta r de inclinação a = tg α e que
passe pelo ponto P(xP, yP), como mostra a figura.
y
M (x,
P y)
yP
a=
y – yP
⇒ a= x–x
P
y – yP = a(x – xP)
α
O
yM – yA
xM – xA
xP
x
⇒ y – yP = ax – axP⇒ y = ax + (–axP + yP)
⇒ y = ax + b
 Equação reduzida da reta
Equação reduzida da reta
• Na equação reduzida y = ax + b, temos:
x = 0 ⇒ y = a.0 + ⇒ y = b
b
 Significa que a reta passa pelo ponto (0, b) → ponto do
eixo y.
 O coeficiente a é a inclinação da reta; ele é também
chamado, por isso, coeficiente angular da reta.
 O coeficiente b é a ordenada do ponto em que a reta
corta o eixo y; ele é chamado de coeficiente linear da
reta.
Exemplos
• Veja a representação da reta r: 2x – y + 4 = 0 no
plano xOy.
y = 2x + 4
y
r
4
–2
O
x
Exemplos
• O gráfico a seguir mostra uma reta s. Encontrar a
equação reduzida e uma equação geral para essa
reta.
s
y = ax + b
y
 A reta corta o eixo y no
ponto de ordenada 2,
ponto (0, 2), logo b = 2.
2
45º
O
 α = 180º – 45º = 135º
α
a = tg 135º = –1.
x
y=–x+2
⇒ x+y–2=0
Exemplos
• Achar a equação reduzida da reta r que passa pelos
pontos A(–2, 6) e B(1, –3).
 Primeiro vamos calcular a inclinação da reta.
yA – yB
9
y
6 –(–3)
a=
=
= x –x =
–3
–2
–
1
x
A
B
⇒ a = –3
 Utilizando o ponto A(–2, 6), por exemplo, obtemos a equação
fundamental, em seguida a equação reduzida da reta.
y – yP = a(x – xP)
⇒
⇒
y – 6 = –3x – 6 ⇒
y – 6 = –3(x + 2)
y = –3x
Formulário Geometria Analítica
UFRGS 2012
(0-2)²+(0-3)²=10 ????
Análise de Gráficos
Exemplo 1: Construa o gráfico da função f:
dado por f(x) = 2x + 1 e determine o conjunto
imagem.
1º) Iremos montar uma tabela atribuindo os
pontos para o plano cartesiano:
Como o domínio são
todos os reais, podemos
escolher qualquer valor
para “x”
x
f (x) = 2.x + 1
(x ; y)
-2
2. (-2) + 1 = -3
(-2 ; -3)
-1
2. (-1) + 1 = -1
(-1 ; -1)
0
2. (0) + 1 = 1
(0 ; 1)
1
2. (1) + 1 = 3
(1 ; 3)
2
2. (2) + 1 = 5
(2 ; 5)
Análise de Gráficos
f (x) = 2x + 1
y
x
f (x) = 2.x + 1
(x ; y)
-2
2. (-2) + 1 = -3
(-2 ; -3)
-1
2. (-1) + 1 = -1
(-1 ; -1)
0
2. (0) + 1 = 1
(0 ; 1)
1
2. (1) + 1 = 3
(1 ; 3)
2
2. (2) + 1 = 5
(2 ; 5)
Domínio: R
Contradomínio: R
Imagem: R
x
Análise de Gráficos
Exemplo 2: O gráfico abaixo representa uma
função. Determine o que se pede.
y
f (-2) = 3
f (0) =
3
3
1
f (2) =
1
-2
Domínio:
[-2 ; 3]
Imagem:
[1 ; 3]
0
1
2
3
x
Análise de Gráficos
Exemplo 3: Determine entre os gráficos abaixo
quais deles representam uma função.
y
É função
É função
Não é
função
x
y
É função
y
É função
x
Não
é
função
x
FUNÇÃO DO 1º GRAU
CRESCENTE E DECRESCENTE – GRÁFICO
FUNÇÃO CRESCENTE: a > 0
FUNÇÃO DECRESCENTE: a < 0
y
y
x
x
FUNÇÃO DO 2º GRAU - GRÁFICO

EXEMPLOS:
ponto c
ponto c
Reta decrescente
b<0
Reta crescente
b>0
FUNÇÃO DO 2º GRAU - GRÁFICO
• EXEMPLO: (UFRGS – 2011) O gráfico do polinômio de
coeficientes reais p(x) = ax2 + bx + c está representado
abaixo.
Com base nos dados desse gráfico,
é correto afirmar que os coeficientes
a, b e c satisfazem as desigualdades
a) a > 0; b < 0; c < 0.
b) a > 0; b < 0; c > 0.
c) a > 0; b > 0; c > 0.
d) a > 0; b > 0; c < 0.
e) a < 0; b < 0; c < 0.
Translação Horizontal
y = ( x + 1)2
y = x2
y = ( x – 3)2
Translação Vertical
y = x2 + 2
y = x2
y = x2 - 1
Translação Horizontal + Vertical
y = (x + 1)2 – 3
y = x2
y = (x – 2)2 + 1
y = x2
y = – x2
y = x2 – 4
y = – x2 + 4
Módulo de uma Função
y=|x|
y=x
y = | x2 – 4 |
y = x2 – 4
y = | (x + 2)2 – 3 |
y = (x + 2)2 – 3