Transcript 球与多面体的内切

球与多面体的内切、外接
球的半径r和正方体
的棱长a有什么关系？
r
.
a
一、 球体的体积与表面积
4
3
① V球   R
3
②
S球面  4 R
2
二、球与多面体的接、切
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，
则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球是这个 多面体的外接球 。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
则称这个多面体是这个球的外切多面体，
这个球是这个多面体的内切球 。
例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为(
)
A. 1:2:3
B. 1: 2: 3
C. 1: 3 4: 3 9
D. 1: 8: 27
D
C
A
B
中截面

O
D1
A1
C1
设为1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
B1
S甲  4 R1 =
2
D
C
A
B
中截面

O
D1
A1
球内切于正方体的棱
.
C1
B1
正方形的对角线等于球的直径。
S乙  4 R2 2 =2
球外接于正方体
D
C
对角面
A

B
A
2R  3
设为1
O
D1
A1
C1
C
A1
O
2
C1
B1
球的内接正方体的对角线等于球直径。
S丙  4 R3 2 =3
练习：
1、三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，
PA=1， PB  PC  2 ，已知空间中有一
个点到这四个点距离相等，求这个距离；
沿对角面截得：
A
C
O
A1
C1
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为
全面积和它的内切球的表面积。
A
。求棱锥的
解法1： 过侧棱AB与球心O作截面( 如图 )
在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高，
1
O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高
F D
O
B
E
O1
C
作 OF ⊥ AE 于 F 设内切球半径为 r，则 OA = 1 －r
∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 。求棱锥的
全面积和它的内切球的表面积。
解法2： 设球的半径为 r，则 VA- BCD =
A
VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD
 

2
1 3
VA  BCD  
 2 6 1  2 3
3 4
1
D
  r  S全  3 2  2 3  r
3
O

B
r  6  2
C



S球  8 5  2 6 
1
注意：①割补法，② V多 面 体   S 全  r内 切 球
3
练习
正四棱锥 S—ABCD 的底面边长和各侧棱
长都为 2，点 S、A、B、C、D 都在同一
个球面上，则该球的体积为________．
例3 求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积
解法1： 过侧棱 PA 和球心 O 作截面α
则α截球得大圆，截正四面体得△PAD，如图所示,
连 AO 延长交 PD 于 G
6
a
3
则 OG ⊥ PD，且 OO1 = OG
P
3
a
2
O
A
O1
E
∵ Rt △ PGO ∽ Rt △ PO1D
D
6
aR
R

 3
3
3
a
a
2
6
3
a
6
3 2
S 表  a
2
G
6
R 
a
4
解法2：
A
A
B
B
O
O
D
D
C
C
求正多面体外接球的半径
求正方体外接球的半径
球的内切、外接问题
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，
外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
1、半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的
底面圆内，若正方体的边长为 6 ，求半球的表面积和体
积。
P
O
A
G
O1
E
第二题截图
D
2、求棱长为 a 的正四面体
P – ABC 的外接球的表面积。
3.
A
1.
C
2.
C