Transcript Diapositive 1 - Université de Poitiers

Université de Poitiers - Université d’AGADIR - Université de Lomé
MODÉLISATION DE LOIS NON ASSOCIÉES
APPLICATION AUX LOIS LINÉAIRES COAXIALES
Danielle FORTUNÉ
Université de Poitiers
Camélia LERINTIU
Université de Poitiers P prime
Kossi ATCHNOUGLO
Université de Lomé
Jamal CHAOUFI
Université d’Agadir
Claude VALLÉE
Université de Poitiers P prime
Colloque Franco-Roumain de Mathématiques Appliquées 26 août - 31 août 2010- Poitiers
Plan de l’exposé
1-Introduction : Lois de comportement
2-Suite de Fitzpatrick FA , n ( x , y ) pour une loi linéaire monotone non
associée Y=Ax
3-Lois linéaires coaxiales: « loi de Hooke généralisée »
4-Lois linéaires coaxiales et suite de Fitzpatrick
5-Construction des fonctions FA , n ( x , y ) : étude de matrices 2x2
6-Polynômes de Tchebychev de 2ème espèce
7-Expressions finales des fonctions de la suite de Fitzpatrick
8-Quel bipotentiel pour la loi coaxiale?
9-Conclusion et perspectives
2
Introduction
y tenseur symétrique des contraintes de Cauchy dans
l’espace de Banach réel Y
x le tenseur symétrique des petites déformations
dans l’espace de Banach réel X dual de Y
Produit scalaire
Norme associée
 x , y  tr ( xy )
x  tr ( x )
La loi de comportement est la donnée du graphe
d’une multifonction T.
Le couple (x,y) satisfait la loi de comportement s’il
est dans le graphe.
2
3
Introduction
• Les matériaux standards (MS):
potentiels différentiables
• Matériaux standards généralisés (MSG) :
potentiels convexes sous-différentiables
• Matériaux standards implicites (MSI) :
bipotentiels
• Matériaux standards implicites monotones (MSIM):
lois de comportement maximales monotones
4
Introduction :
Matériaux standards
• Le graphe dans lequel évolue (x,y) est une sous
variété symplectique maximale de l’ espace XxY.
Pour les (M.S) , il existe une fonction
différentiable appelée potentiel telle que la loi
de comportement s’écrive
y  D (x )
• Si ce potentiel est convexe l’inverse de la loi de
comportement s’écrit
x  D * (y)
• où  est la transformée de Legendre du
potentiel
*
5
Introduction :
Matériaux standards généralisés
• Pour certains matériaux la relation entre x et
y est une multifonction
• Non différentiabilité du potentiel tout en
gardant la convexité et la semi-continuité
inférieure (J.J.Moreau, R. T. Rockafellar ):
classe des matériaux standards généralisés
• La loi de comportement se décline par une des
trois formes équivalentes suivantes
y   ( x )
x   * ( y )
(x )   * ( y)   x , y 
6
Introduction :
Généralisation
• La dernière égalité peut être regardée comme le cas
extrémal de l’inégalité de Fenchel pour le couple (x,y)
satisfaisant la loi de comportement
(x )   * ( y)   x , y 
• A l’appui de cette idée, Géry de Saxcé a modélisé le
comportement des matériaux en renonçant à la somme
des deux potentiels mais en travaillant avec une
fonction du couple (x,y) appelée bipotentiel .
b(x, y)   x, y 
L’égalité pour le couple (x,y) est réalisée lorsque x et y
sont liés par la loi de comportement du matériau.
7
Introduction :
Matériaux standards implicites
• Les bipotentiels b(x,y) respectent les règles
suivantes
• Convexe et semi-continue inférieure en x
• Convexe et semi-continue inférieure en y
• et
b(x, y)   x, y 
Un matériau est appelé matériau standard
implicite (MSI) si sa loi de comportement
s’exprime par l’une des 3 propriétés
équivalentes suivantes
y   x b(x, y)
x   yb(x, y)
b(x, y)   x, y 
8
Introduction:
Matériaux standards implicites
monotones
Lois de comportement maximales monotones
Une loi de comportement est monotone si pour deux couples
( x 1 , y 1 ) et ( x 2 , y 2 )
[ y 1  Tx
1
et y 2  Tx 2 ]  [  x 2  x 1 , y 2  y 1   0 ]
Elle est maximale si elle ne peut pas s’étendre en une
loi qui serait encore monotone
9
Suite de Fitzpatrick
Pour une multifonction maximale monotone T
( x , y )  XxY ,
n  2 , i 1 à n
( x i , y i ) avec y i  Tx
i
(x n , y n )  (x, y)
( x n 1 , y n 1 )  ( x 1 , y 1 )
La suite de fonctions de Fitzpatrick associée à T est
n
FT , n ( x , y )   x , y   sup
x
y i  Tx i i  1
i 1
 xi, yi 
10
Suite de Fitzpatrick : loi linéaire monotone non
associée Y=Ax
Loi linéaire y=Ax
A non symétrique, S définie positive .
Couple (x,y) avec y non nécessairement égal à Ax
Double suite bouclée
( x i , y i ) y i  Ax
(x n , y n )  (x, y)
i
( x n 1 , y n 1 )  ( x 1 , y 1 )
Suite de Fitzpatrick associée à A
n
FA , n ( x , y )   x , y   sup
x
y i  Ax i i  1
i 1
 xi, yi 
11
Suite de Fitzpatrick : loi linéaire monotone non
associées Y=Ax
Changement d’origine
zi  xi  x
z n 1  z 1
zn  0
n 1
n
x
i 1
i 1
 x i , y i   z 1 , y  Ax     z i , Sz i  
i 1
n2
z
i 1
, Az i 
i 1
Le maximum est atteint lorsque
Sz 1 
1
Sz i 
1
2
2
Sz n 1 
( y  Ax  A z 2 )
T
( Az i 1  A z i  1 )
T
1
2
Az
i 2à n  2
n2
12
Suite de Fitzpatrick : loi linéaire monotone non
associées Y=Ax
n
sup(
x
i 1
 x i , yi ) 
i 1
1
2
 z 1 , y  Ax 
Trouver la valeur de z1?
Sz 1 
1
2
Sz i  
Sz n 1 
Sz n 1 
( y  Ax  A z 2 )
T
1
2
Sz n  2  
1
2
1
2
( Az i 1  A z i  1 )
T
Az
Az
1
2
n2
( Az
 A z n 1 )
T
n 3
....
Sz 2  
n2
Sz 1 
1
2
1
2
( Az 1  A z 3 )
T
( y  Ax  A z 2 )
T
13
Suite de Fitzpatrick : loi linéaire monotone non
associée Y=Ax
Sz n 1 
Sz i 
1
2
Sz 2  
Sz 1 
1
2
1
Az
n2
2
H0  S
( Az i  1  A z i  1 ) H n  i 1  S 
1
1
H n 3  S 
1
H n2  S 
1
T
2
( Az 1  A z 3 )
T
( y  Ax  A z 2 )
T
z n 1 
T
A H
4
T
A H
4
4
T
A H
1
n i 2
1
n4
1
n 3
A
A
1
2
zi 
1
z2 
1
z1 
A
1
H 0 Az
1
2
2
2
n2
1
H n  i 1 Az i 1
1
H n  3 Az 1
1
H n  2 ( y  Ax )
Ainsi:
n
sup(

i 1
 x i 1  x i , y i  ) 
1
4
1
 y  Ax , H n  2 ( y  Ax ) 
14
Suite de Fitzpatrick : résultat
Suite de Fitzpatrick associée à la loi linéaire y=Ax
A non symétrique
FA , n ( x , y )  x , y  
Matrices Hn
1
4
1
 y  Ax , H n  2 ( y  Ax ) 
H0  S
H n2  S 
H1  S 
1
4
T
1
4
T
1
A H0 A
1
A H n 3A
Remarque : La notation Hn est cohérente:
FA,n-1 est associée à Hn-3, et ainsi de suite
15
Lois Linéaires coaxiales
Lois linéaires coaxiales
y  tr ( kx ) e  2  x
k tenseur symétrique , μ scalaire, e identité
Ces lois respectent bien la propriété
de conservation des directions principales de x et y
k  e  h
h déviateur de k
y   ( trx ) e  2  x  tr ( hx ) e
si h est nul, k sphérique : Loi de Hooke
16
Lois Linéaires coaxiales
généralisée
:
Loi de Hooke
Lois linéaires coaxiales
y  ( 3   2  )( trx )
e
3
 2  x d  tr ( hx d ) e
Conditions de monotonie
0
tr ( h ) 
2
3  2   0
4
(3  2  ) 2 
Conditions traditionnelles
Condition supplémentaire
3
Interprétation moderne du principe énoncé par R. Hooke
« tant on tire, tant ça s’allonge ».
D’où l’appellation de loi de Hooke généralisée
17
Lois Linéaires coaxiales
A  (3  2  )
ee
 2  Dev 
3
,
,
où
Dev  I 
:
3 h
Application A
e
3

h
h
ee
3
appliqué à x ne retient que xd déviateur de x
Choisir la base orthonormée ?
18
Lois Linéaires coaxiales
A  (3  2  )
ee
 2  Dev 
3
e
3
,
,
h
:
Application A
3 h
e

3
h
h
sphérique unitaire
partie déviatorique de k
h
d1, d 2 , d 3 , d 4
4 déviateurs
Tous unitaires et orthogonaux
19
:
Lois Linéaires coaxiales
A  (3  2  )
ee
 2  Dev 
3 h
3
Base orthonormée
(d 1 , d 2 , d 3 , d 4 ,
,
,
 2I 4
A  
 0



0

3   2  
0
2
3 h

2
s
 ( 3 / 2 ) h
( 3 / 2) h 

3   2  
a  s  ( 3 / 2) h J
a
T
Application A
e
h

h
3
h
,
e
h
)
3
 2
a  
 3 h


3  2  
0
déts  2  ( 3   2  ) 
 s  ( 3 / 2) h J
3
tr ( h )  0
2
4
0
où J  
1
 1

0 
20
Lois linéaires coaxiales
:
Suite de Fitzpatrick
notations
FA , n ( x , y )  x , y  
1
4
1
 y  Ax , H n  2 ( y  Ax ) 
,
Décomposition des
matrices Hn
matrices 4x4 sphériques hn et matrices 2x2 sn
h 0
H0  S  
0
Hn  S 
,…,
0

s0 
1
4
h1
H1  S  A H A  
4
0
1
T
A H
1
n 1
h n
A  
0
T
1
0
0

s1 
0

sn 
21
Construction des fonctions FA,n(x,y) :
matrices sphériques hn
Expressions des hn et ses inverses
h 0  2I 4 
On suppose
h n 1 
n 1 2
n 11
02
0 1
1
h0 
I 4
I 4 
n 1
n
I 4
h
1
n 1
h
1
n

1
2
I4
n
( n  1) 
I4
Par récurrence
hn 
n2
n 1
I 4

n 1
( n  2 )
I4
22
Construction des fonctions FA,n(x,y) :
caractérisation des matrices 2x2 sn
Rappel
s0  s
s1  s 
1
T
1
sn  s 
a s a
1
T
1
a s n 1 a
4
4
En décomposant a et aT en parties symétriques et parties
antisymétriques proportionnelles à J, puis en introduisant
la propriété suivante sur les matrices 2x2
1
Js J  
s
déts
On démontre, par récurrence, que les sn sont proportionnels à s
s0 
s1 
sn 
0
s
2
1
s
0  2
1  2 
2
n
2
s
n  2 
1
0
(1 
1
 n 1
3
h
4
(1 
1
2
)
déts
3
4
h
2
1
déts
)
23
Construction des fonctions FA,n(x,y) :
caractérisation des scalaires αn
Expression du déterminant de s
On pose
1
X
2

L’expression de αn
se transforme en
2  (3  2  )
déts  2  ( 3   2  ) 
 1
3
h
2
4
1
 n 1
 nX  2X 
(1 
1
2
déts
3
4
h
2
1
 n (X )  2X 
)
déts
1
 n 1 X
Etudions maintenant les propriétés de la suite
satisfaisant
h
4
déts
n  2 
3
1
 n 1 ( X )
 n (X )   n X
avec X  1
24
Construction des fonctions FA,n(x,y) :
caractérisation des fonctions βn(X)
Regardons ces fonctions
comme le rapport entre deux fonctions notées Pi(X)
 0 (X ) 
P1 ( X )
P0 ( X )  1
P1 ( X )  2 X
P0 ( X )
1 ( X )  2 X 
P0 ( X )
P1 ( X )

2 XP 1 ( X )  P0 ( X )
P1 ( X )

P2 ( X )
P1 ( X )
P2 ( X )  2 XP 1 ( X )  P0 ( X )
Par récurrence, il vient
 n 1 ( X ) 
Pn ( X )
Pn 1 ( X )
P n ( X )  2 XP n 1 ( X )  P n  2 ( X )
25
Polynômes de Tchebychev
Les polynômes Pi(x) introduits satisfaisont :
P0 ( X )  1
P1 ( X )  2 X
P2 ( X )  2 XP 1 ( X )  P0 ( X )
P n ( X )  2 XP n 1 ( X )  P n  2 ( X )
On reconnait les polynômes de Tchebychev de 2ème espèce
26
Polynômes de Tchebychev
La variable X est comprise entre 0 et 1
X  cos 
Θ est compris entre 0 et π/2.
Les polynômes prennent les formes suivantes
P0 (X)  1
P1 (X)  2cos  
sin2 
sin 
.
P2 ( X )  4 cos   1 
2
Pn ( X ) 
sin 3 
sin 
sin( n  1) 
sin 
27
Polynômes de Tchebychev : expressions de αn et sn
Expressions des scalaires αn
 0 (X) 
1 ( X ) 
 n (X ) 
sin2 
0  2
sin 
sin 3 
1 
sin 2 
sin( n  2 ) 
n 
sin( n  1) 
sin 3 
sin 2  cos 
sin( n  2 ) 
sin( n  1)  cos 
Expressions des matrices sn
sn 
sin( n  2 ) 
2 sin( n  1)  cos 
s
28
Polynômes de Tchebychev : expressions des
matrices Hn
En regroupant les résultats sur les matrices hn et sn,
les matrices Hn s ‘écrivent :
h n
Hn  
0
cos  
1
n  2
I
0   n 1 4

sn  
0

3h
2
8 (3  2  )



sin( n  2 ) 
s
2 cos  sin( n  1)  
0

 2
s 
 3 h
 2
3 h 

2


3  2 

29
Expressions finales des fonctions de la
suite de Fitzpatrick
Fonctions de Fitzpatrick
FA , n ( x , y )   x , y  
avec
1
H n2
0
J
1
 1

0 
n 1 1
 n  I4
 

0

1
4
1
 y  Ax , H n  2 ( y  Ax ) 



sin( n  1) 
1

JsJ 

sin n  cos   ( 3   2  )
cos  
0
1
3h
2
8 (3  2  )

 2
s 
 3
h
 2

h 
2


3  2 

3
Chaque fonction de Fitzpatrick génère un bipotentiel
pour la loi coaxiale non symétrique y=Ax
30
Quel bipotentiel pour la loi coaxiale
monotone?
On ne doit pas aller jusqu’à l’infini pour choisir le bipotentiel
associé à la loi coaxiale monotone
y=Ax
avec A non symétrique et S définie positive
Le choix d’un indice N est à faire

N 1


N
afin de conserver le plus loin possible la définie positivité
31
Conclusion et Perspectives
Proposition de bipotentiel pour la loi de Hooke non
tronquée de 7 paramètres
b ( x , y )  FA , N ( x , y )
Repenser la RDM par l’identification des 7 paramètres:
λ, μ et le déviateur h
Remplacer la somme des deux potentiels de la loi
de Hooke à deux paramètres λ et μ
 (x ) 
1
 (y) 
 ( trx )   tr ( x )
2
*
2
2
1
4
tr ( y ) 

2
4  (3  2  )
( try )
par la fonction de Fitzpatrick FA,N
Dans le principe mixte, remplacer la fonctionnelle

[  ( x )   ( y )] dv
*

par


[ FA , N ( x , y )] dv
32
2
Extention: non linéaire, non monotone
vecteurs x et y de même orientation
b(x, y)  x y
suite de Fitzpatrick généralisée

Fn ( x , y )  x y cos ( )
n
n
  arccos (
 x, y 
)
x y
bipotentiel de Cauchy- Schwarz- Buniakovsky
33
MODÉLISATION DE LOIS NON ASSOCIÉES
APPLICATION AUX LOIS LINÉAIRES COAXIALES
Merci de votre attention
Colloque Franco-Roumain de Mathématiques Appliquées 26 août - 31 août 2010- Poitiers
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Quelques lectures
J.J.Moreau (2003), Fonctionnelles convexes, Istituto poligrafico e Zecca dello stato S P A , Roma
G. de Saxcé and L. Bousshine (2002), Implicit Standard Materials,
D. Weichert and G. Maier (eds), Inelastic Behaviour of Structures Under Variable Repeated Loads,
CISM Courses and Lectures, 432, Springer
G. de Saxcé, Z. Q. Feng , (1991), New Inequation and Functional for Contact with Friction:
the Implicit Standard Material Approach, International Journal Mechanics of Structures
and Machines,19/3,301-325
S. Fitzpatrick (1988), Representing monotone operators by convex functions, Work-shop/
Mini conference on Functional Analysis and Optimisation,
Proceedings of the Centre for Mathematical Analysis, Australian National University,
20, Australia, 59-65
S. Bartz, H.H. Bauschke, J.M. Borwein, S. Reich and X. Wang (2007), Fitzpatrick function,
cyclic monotonicity and Rockafellar antiderivative,
Nonlinear Analysis, 66, 1198-1223
M.Buliga, G.de Saxcé, C.Vallée (2008), Existence and construction of bipotentials for graphs
of multivalued laws, J.of Convex Analysis, 15/1, 87-104
C. Vallée, C. Lerintiu, D. Fortuné, K. Atchonouglo, M. Ban, (2009)
Representing a non associated constitutive law by a potential issued from a Fitzpatrick sequence,
Archives of Mechanics,61, issue3-4,325-342, Warszawa
35