Transcript MASSIMI E MINIMI - Liceo Cavalieri

MASSIMI E MINIMI
Una funzione è
crescente
quando il suo
grafico è un arco
di curva rivolto
verso l’alto
MASSIMI E MINIMI
Definizione
rigorosa:
data la funzione
f:D→R e dato un
intervallo I la f si
dice
CRESCENTE in I
se…
I
MASSIMI E MINIMI
…per ogni coppia
di punti x1 e x2
appartenenti a I
e tali che:
x2  x1
F(X2)
Risulta:
f ( x2 )  f ( x1 )
F(X1)
X1
X2
I
MASSIMI E MINIMI
Una funzione è
decrescente
quando il suo
grafico è un arco
di curva rivolto
verso il basso
MASSIMI E MINIMI
Definizione
rigorosa: data la
funzione f:D→R
e dato un
intervallo I la f si
dice
DECRESCENTE
in I se…
I
MASSIMI E MINIMI
…per ogni coppia
di punti x1 e x2
appartenenti a I
e tali che:
F(X1)
x2  x1
F(X2)
Risulta:
f ( x2 )  f ( x1 )
X1
X2
I
MASSIMI E MINIMI
F(Xo)
Xo
I
Un punto Xo si
dice punto di
massimo
relativo di un
funzione f se
esiste un intorno
di Xo in cui f(Xo)
è il massimo
valore assunto
dalla funzione
MASSIMI E MINIMI
Nell’esempio,
sull’intervallo I la
funzione assume
il suo massimo
valore in Xo.
F(Xo)
Xo
I
MASSIMI E MINIMI
Ma se guardiamo
su tutto il
dominio la
funzione assume
valori anche
maggiori, ad
esempio in X1
F(X1)
F(Xo)
X1
Xo
I
MASSIMI E MINIMI
Un punto Xo si
dice punto di
minimo
relativo di un
funzione f se
esiste un intorno
di Xo in cui f(Xo)
è il minimo
valore assunto
dalla funzione
F(Xo)
Xo
I
MASSIMI E MINIMI
Nell’esempio,
sull’intervallo I la
funzione assume
il suo minimo
valore in Xo.
F(Xo)
Xo
I
MASSIMI E MINIMI
Ma se guardiamo
su tutto il
dominio la
funzione assume
valori anche
minori, ad
esempio in X1
F(Xo)
F(X1)
Xo
X1
MASSIMI E MINIMI
Un punto Xo si
dice punto di
flesso di un
funzione f se la
curva attraversa
la tangente in
quel punto
F(Xo)
Xo
MASSIMI E MINIMI
La determinazione dei massimi e dei
minimi relativi e degli intervalli in cui
una funzione cresce o decresce è
molto semplice per funzioni
derivabili; infatti tutto ciò è
determinato dal segno della derivata.
MASSIMI E MINIMI
Sia f derivabile in un dato intervallo
I, allora:
• se la funzione è crescente in I
allora la derivata è maggiore o
uguale a zero in tale intervallo
• se la funzione è decrescente in I
allora la derivata è minore o uguale a
zero in tale intervallo
MASSIMI E MINIMI
Viceversa:
• se la derivata è maggiore di zero in
I allora la funzione è crescente I
• se la derivata è minore di zero in I
allora la funzione è decrescente in I
MASSIMI E MINIMI
Per trovare i massimi e i minimi
relativi di una funzione derivabile è
quindi necessario studiare il segno
della derivata prima
MASSIMI E MINIMI
• f’(x)>0 => funzione crescente
• f’(x)<0 => funzione decrescente
MASSIMI E MINIMI
Resta da determinare il caso in cui la
derivata è uguale a zero
MASSIMI E MINIMI
Sia f’(Xo) = 0;
• se f è crescente a sinistra di Xo e
decrescente a destra Xo è MASSIMO
RELATIVO
• se f è decrescente a sinistra di Xo
e crescente a destra Xo è MINIMO
RELATIVO
MASSIMI E MINIMI
Xo
MASSIMO
Xo
MINIMO
MASSIMI E MINIMI
Sia f’(Xo) = 0;
• se la funzione è crescente sia a
sinistra che a destra Xo è punto di
flesso a tangente orizzontale
ascendente
• se la funzione è decrescente sia a
sinistra che a destra Xo è punto di
flesso a tangente orizzontale
discendente
MASSIMI E MINIMI
Xo
Flesso ascendente
Xo
discendente