Transcript 2012.03_Fehlerrechnung
Extended multistep outflow method for the accurate determination of soil hydraulic properties close to water saturation
(Un-)sicherheiten in der Ökosystemmodellierung
W. Durner und S.C. Iden, SS2012. Unsicherheiten - 3
Inhalt Ökosysteme / Modelle Daten, Fehler, Unsicherheiten Fehlerrechnung Stochastik Parameterschätzung Intervallarithmetik Fuzzy Set Theorie Monte Carlo Verfahren W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.2
Quantifizierung von Unsicherheiten Top down: Wiederholung von Messungen und deren statistische Auswertung Bottom up: Berechnung der Fehlerpropagation W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.3
Modellfehler erkennen: Residuenanalyse Unabhängigkeit der Residuen: Beispiel: Niederschlags-Abfluss Modellierung - Topmodel
+++ - - - - - - - - - - - - +++++++++ - - -
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.4
Propagation von Unsicherheiten durchs Modell
Input
F( i , j ) i i - Prozessparameter - Eingangsgrößen: Rand- und Anfangsbedingungen W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012
Output
Folie 3.5
Propagation von Unsicherheiten Entscheidend: Das Wissensniveau 1) Nur Werteintervall bekannt, keine Vorstellung über Verteilung innerhalb des Intevalls Min-Max-Abschätzung (Intervallarithmetik) 2) Werteintervall bekannt, sowie grobe Vorstellung über Verteilung innerhalb des Range („unscharfe Zahl“) Fuzzy-Number Rechnungen 3) Verteilungsform und –Parameter bekannt Monte Carlo-Verfahren 4) Fehler sind normalverteilt mit bekannter Varianz Gauss‘sche Fehlerfortpflanzung W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.6
Min-Max-Abschätzung: Intervallarithmetik Def.: Abgeschlossenes Intervall Beobachtungs-/Messgenauigkeit Rundungsfehler
x
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.7
60
K -63cm = 20 cm/d
1 =-66 cm 10 cm
2 =-60 cm
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.8
Intervallarithmetik
x
[x u ,x o ] 10 8 6 4 2 0 0 2 4
F(x) W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012
y
[y u ,y o ]
Folie 3.9
Zusammenfassung Elementare Rechenoperationen:
x
,
y
mit
x
:
y
: Addition:
x
y
: [
x
y
,
x
y
] Subtraktion:
x
y
: [
x
y
,
x
y
] Multiplikation:
x
y
min(
x
y
,
x
y
,
x
y
,
x
y
) , max(
x
y
,
x
y
,
x
y
,
x
y
) Division:
x
y
1
y
, 1
y
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.10
Zusammenfassung f(x)=x 2
y
f
([ 2 , 2 ]) min 2
x
2 (
f
(
x
)), max 2
x
2 (
f
(
x
))
10 8 2 0 6 4 -2 0
X W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012
2
Folie 3.11
Fuzzy Set Theorie Unscharfe Zahlen statt pure Intervalle „Dreieckige“ Sonderfall: “Reelle Zahl“
1 1 0 a 1 a 2
„Viereckige“
a 3 a 1 =a 2 =a 3
Sonderfall: “Intervall“
0 a 1 a 2 a 3 a 4
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012
a 1 =a 2 a 3 =a 4 x
Folie 3.12
Fehlerrechnung (Gauss)
0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -4 -
x1 ,
x1 -2
x1 0 x 2 4 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -4 -
x2 ,
x2 -2
x2 0 x 2 4
Eingangsgrößen: - normalverteilt - unabhängig f(x) W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012
0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -4 -
y ,
y -2
y 0 x 2 4
Folie 3.13
Fehlerrechnung: »Sensitivität« Sensitivität:
S
f
x i
»
Sensitivität von f(x) auf x i
«
f
x i
f(x+
x) f(x)+f‘(x)
x
f f(x)
x x x+
x
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.14
Sensitivitätsanalyse: »relative Sensitivität« Sensitivitäten (normiert):
S x i
f
x i
x f
f(x+
x) f(x)+f‘(x)
x f(x)
x x
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012
x+
x
f
f
x i
Folie 3.15
Fehlerrechnung Fehlerfortpflanzung nach Gauß:
s y
2
f
x
1 2
s
2
x
1
f
x
2 2
s
2
x
2
f
x n
2
s
2
x n
i n
1
f
x i
2 2
s x i
mit: 2
s x i s
2
y
- Varianzen der Eingangsgrößen x i - Varianz der Zielgröße y W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.16
Fehlerrechnung Für unkorrelierten (!) Fehler gilt: Reduktion durch wiederholtes Messen
x
1
n i n
1
x i s x
s x n
Summe oder Differenz:
y
x
1
x
2
s y
s
2
x
1
s
2
x
2
!!!
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.19
Fehlerrechnung mit relativem Fehler:
x i
s x i x i
Produkt oder Quotient:
y
x
1
x
2
;
y
x
1
x
2
y
2
x
1 2
x
2 W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.21
Zusammenfassung Voraussetzung für Gauß‘sche Fehlerrechnung sind unkorrelierte normalverteilte Fehler der Eingangsgrößen.
Bei offensichtlicher Verletzung der voraussetzungen kann eventuell mit transformierten Daten gerechnet werden
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.22
Datentransformation Test auf Normalverteilung Beibehaltung der Nullhypothese »Beweis« für normalverteilt!
Datentransformationen Logarithmieren von Daten!
Weitere Transformationen W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.23
Sinnlosigkeit von Unsicherheitsberechnungen Verletzung von Annahmen Verteilungstyp der Eingangsfehler (-> Datentransformation) Homoskedastizität (-> Datentransformation) Richtigkeit des Modells Richtigkeit der Parametrisierung Autokorrelation von Eingangsdaten Kreuzkorrelation von Eingangsdaten (Bsp. Temperatureinfluss) Interpretation statistischer Unsicherheitsmaße bei Modellfehlern Beispiel B&C-Fit an Retentionsdaten; Parameterunsicherheit Beispiel dynamische Effekte; PI mit Richardsgleichung W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.24
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012
Ende
Folie 3.25