Transcript Problemas resueltos

Problemas resueltos del
método de Newton
Problemas resueltos /Aplicaciones de la derivada /Método de Newton
El método de Newton
Entrada
Iteración
Una función derivable f, un valor inicial x0 y un
número positivo . El número  determina la
precisión del cálculo.
Sea F  x   x 
f x
.
f  x 
Sea x1 = F(x0) e iterativamente xn+1 = F(xn).
Parada
Cuando |xn+1 – xn| < .
xn+1 es una aproximación de una solución a la ecuación f (x) = 0. La
validez de la aproximación se ha de comprobar por métodos como,
por ejemplo, el teorema de valor medio. El algoritmo puede llevar a
falsas soluciones en casos especiales y puede no converger si el
valor inicial no está bien elegido.
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Problemas
1
Aplicar el método de Newton para aproximar la raíz
del polinomio 6x8 – 31x6 + 40x4 – x2 – 6 que está
en el intervalo [0,1].
2
Aplicar el método de Newton a la ecuación
1/x – a = 0 para estimar de forma aproximada el
recíproco de un número a.
3
Aplicar el método de Newton a la ecuación
x2 – a = 0 t o para estimar de forma aproximada el
la raíz cuadrada de un número a. Usar el algoritmo
para aproximar 7.
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Aproximando Raíces
Problema
Solución
Aplicar el método de Newton para aproximar la raíz
del polinomio 6x8 – 31x6 + 40x4 – x2 – 6 que está
en el intervalo [0,1].
La función de iteración F es
f x
6 x 8  31x 6  40x 4  x 2  6
F x  x 
x
f  x 
48x 7  186 x 5  160x 3  2x
42x 8  155x 6  120 x 4  x 2  6

.
48x 7  186 x 5  160x 3  2x
La función F para usar en la
iteración es complicada así como
la elección del valor inicial.
La gráfica de
y = 6x8 – 31x6 + 40x4 – x2 – 6.
Para hallar una estimación de la
raíz en el intervalo [0,1], el
punto inicial debe ser escogido
en ese intervalo.
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Aproximando Raíces
Problema
Solución
Aplicar el método de Newton para aproximar la raíz
del polinomio 6x8 – 31x6 + 40x4 – x2 – 6 que está
en el intervalo [0,1].
La función F de iteración es
42 x 8  155x 6  120 x 4  x 2  6
F x 
.
48 x 7  186 x 5  160 x 3  2 x
Para a = 0.5, se tiene:
x0 = 0.81048
x1 = 0.71118
x2 = 0.70712
x3 = 0.70711.
Como f(0.69)  -0.44644 < 0 y
f(0.71)  0.076916 > 0, el
polinomio f debe tener una raíz
entre 0.69 y 0.71. El método
de Newton da rápidamente una
buena aproximación de la raíz.
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Cálculo de recíprocos
Problem
Solution
Aplicar el método de Newton a la ecuación
1/x – a = 0 para estimar de forma aproximada el
recíproco de un número a.
La función F de iteración es
1
a
f x
x
F x  x 
x
 2x  ax 2.
1
f  x 
 2
x
Para a = 3, se tiene:
x0 = 0.5
Esta iteración es sensible a
x1 = 0.25
la elección del valor inicial.
x2 = 0.3125
Los ordenadores calculan
x3 = 0.33203125
recíprocos usando sólo
x4 = 0.33332824
multiplicaciones y restas.
x5 = 0.33333333.
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Cálculo de recíprocos
Problema
Solución
Aplicar el método de Newton a la ecuación 1/x – 3 = 0 para
estimar de forma aproximada el recíproco del número 3.
Usando el método de Newton con el valor inicial x0 = 0.5
se obtiene rápidamente una buena aproximación.
Si el valor inicial x0 no se escoge
bien la iteración no converge. Si
x0 > 2/3 o x0 < 0, la iteración no
converge. Si x0 = 0, la iteración
siempre da el valor 0, y además
no es aplicable pues la función
f(x) = 1/x – 3 no está definida
para x = 0.
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Cálculo de raíces cuadradas
Problema
Solución
Aplicar el método de Newton a la ecuación
x2 – a = 0 para hallar de forma aproximada la raíz
cuadrada de un número a. Usar el algoritmo para
7.
aproximar
La función F de iteración es
f x
x2  a 1 
a
F x  x 
x
  x  .
f  x 
2x
2
x
Para a = 7, se obtiene:
x0 = 7
x1 = 2.654891304
x2 = 2.645767044
x3 = 2.645751311.
Así hallaban los
Babilonios las
raíces
cuadradas.
Todos los dígitos
mostrados en la
estimación x3
son correctos!
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Cálculo en una variable
Autor: Mika Seppälä
Traducción al español:
Félix Alonso
Gerardo Rodríguez
Agustín de la Villa