Transcript r - ElevaMente al Cubo

Euclide distingue tra
postulati (relativi a una
particolare scienza)

assiomi (verità generali)
Postulati di EUCLIDE
1. Per due punti passa una e una sola…
2. Una retta può essere prolungata…
3. Si può sempre tracciare una
circonferenza dati il centro e il
raggio.
4. Gli angoli retti sono tutti uguali tra
loro.
5. …
Postulati di EUCLIDE
… il postulato n.° 5 Euclide aspetta un poco a scriverlo;
spera di riuscire a ricavarlo dagli altri.
Poi, al momento di dimostrare il teorema inverso
sulle rette parallele è costretto a introdurlo…
5. Se due rette tagliate da una
trasversale, da una parte formano
due angoli la cui somma è minore di
due retti, allora prolungate da
quella parte s’incontreranno.
L’eredità di EUCLIDE




Beh, sì… s’incontrano. Ma quando? Il quinto
postulato non convince. Non è così evidente.
Tutti i tentativi di eliminarlo fanno uso in
maniera più o meno inconsapevole di postulati
equivalenti al quinto.
Qualcuno va oltre: PROCLO (410-485).
«Il fatto che le rette tendano a incontrarsi col
diminuire dei due angoli retti è vero e necessario; che
però questo tendere all’incontro conduca
effettivamente … a una intersezione è soltanto
probabile e non necessario»
SACCHERI (1667-1733)
Girolamo Saccheri parte
dal birettangolo isoscele
Dimostra che gli angoli
all’altra base sono uguali
Saccheri
D
A
C
M
B
Poi dimostra che la perpendicolare per il punto medio della base
è perpendicolare anche all’altra base.
Quindi fa diverse ipotesi per il quarto angolo (quello in D o quello in C):
… se è retto allora DN = AM e DA = NM
… se è acuto DN > AM e DA > NM
… se è ottuso DN < AM e DA < NM
Saccheri
SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN TRIANGOLO
A
Nell’ipotesi dell’angolo
(1) acuto, (2) retto, (3) ottuso,
la somma degli angoli interni
del triangolo è (1) meno di un piatto,
(2) un piatto, (3) più di un piatto
α β
M
α
B
N
β
C
Dim.: Si tracci la retta per i punti medi M ed N e da A, B, C si traccino
le perpendicolari: si ottiene un birettangolo isoscele.
La somma degli angoli interni del triangolo ABC è la stessa
degli angoli B e C del birettangolo isoscele
Saccheri
C
PROIEZIONI DI UNA RETTA SU DI UN’ALTRA
Se in un triangolo rettangolo ABC, M è il punto
medio dell’ipotenusa e H il piede della
perpendicolare condotta su AB allora
AH < HB
AH = HB
AH > HB
M
nell’ipotesi dell’angolo ottuso
K
nell’ipotesi dell’angolo retto
nell’ipotesi dell’angolo acuto
A
H
B
Nell’ipotesi dell’angolo acuto, HMK è acuto (e MK>HB)
AMH+HMK+KMC= piatto MKC+KCM+KMC<piatto
Se ne deduce che AMH+HMK>MKC+KCM e (a maggior ragione) AMH>KCM
Nei triangoli AMH e KCM (ipotenuse uguali e un angolo acuto disuguale) è
AH>MK>HB
Saccheri
Nell’ipotesi dell’angolo retto
OA=AB=BC implica
OA’=A’B’=B’C’
TEOREMA DELL’OBLIQUA
C
Nell’ipotesi dell’angolo ottuso
OA = AB = BC implica
OA’ > A’B’ > B’C’ > …
B
A
O
A’
B’
C’
P
In entrambi i casi, per
l’archimedeità della retta,
sommando le proiezioni sarà
sempre possibile finire oltre
P
In entrambi i casi la perpendicolare e l’obliqua si intersecano:
“l’ipotesi dell’angolo ottuso distrugge se stessa”
Saccheri
«Le ipotesi procedono ben diversamente per
L’IPOTESI DELL’ANGOLO ACUTO (…)
Vedremo in qual modo
si potrebbe distruggere…»
C
B
Nell’ipotesi dell’angolo acuto
OA = AB = BC implica
OA’ < A’B’ < B’C’
A
O
«…si potrebbe…» significa
forse che NON SI PUÒ?
A’
B’ C’
P
Saccheri
Saccheri dimostra che, nell’ipotesi dell’angolo acuto, vi sono
perpendicolari a r che non incontrano s (come la PQ di
figura sotto).
s
Q
[Cioè: i piedi delle perpendicolari
C
condotte da s a r stanno
tutti a sinistra di P]
B
A
r
O
A’
B’
C’
P
Saccheri
Siano r ed s non incidenti; da A e B su r r
abbassiamo le perpendicolari a s:
HAB+ABK < 2 retti.
Supponiamo, per esempio HAB<ABK
s
a) HAB acuto e ABK retto.
BK è la perpendicolare comune
A
B
H
K
b) HAB acuto e ABK acuto. Allora KBC ottuso. Spostando B con continuità verso A
Vi dev’essere una posizione B’ tale che K’B’C’ è retto.
B’K’ è la perpendicolare comune
B’
B
A
C
r
s
H
K’
K
Saccheri
Terzo caso:
c) HAB acuto e ABK ottuso.
r
In tal caso Saccheri dimostra che r e s
s
o hanno una perpendicolare in comune
oppure non l’hanno e si avvicinano
l’una all’altra sempre di più
(caratteristica di una curva, non di una retta)
A
B
H
K
PROPOSIZIONE XXXIII.
L’ipotesi dell’angolo acuto è assolutamente falsa,
perché ripugna alla natura della linea retta
IN OGNI CASO È UNA SVOLTA
ADRIEN-MARIE LEGENDRE (1752-1833)
Introduce il DIFETTO ANGOLARE
d := 2R - (α + β + γ)
ADDITIVITA’ DEL DIFETTO ANGOLARE
Essendo δ1 + δ2 = 2R e α1 + α2 = α
d1+d2 = 2R – α1 – β – δ1 + 2R – α2 – γ – δ2 = 2R – α – β – γ = d
A
α1
β
B
α2
δ1
δ2
D
γ
C
Legendre
Per un punto interno a un angolo si può sempre tracciare una
retta che intersechi entrambi i lati dell’angolo.
Sia d il difetto angolare di AHM e sia HB=HA.
Allora il difetto angolare di ABM è 2d.
Si tracci per B la perpendicolare a r che interseca s in N.
Il difetto angolare di ABN è maggiore di 2d
L
Sia BC=BA. Il difetto angolare di ACN è
il doppio di quello di ABN,
N
quindi maggiore del doppio di d..
…
Continuando così il difetto angolare
M
finirebbe per superare 2R.
Q
r
A
H
B
C
P
Legendre




Sia S la somma degli angoli interni di un
triangolo.
Legendre dimostra che se S=2R in un
triangolo allora S=2R in tutti i triangoli
Ma soprattutto dimostra che se S<2R in un
triangolo allora S<2R in tutti i triangoli.
Inoltre S varia con le dimensioni del
triangolo
K. F. GAUSS (1777-1855)



Riconosce la plausibilità delle nuove
ipotesi (a Bolyai, nel 1799)
Non pubblica mai nulla temendo “gli
strilli dei beoti” (a Bessel, 1829)
Si rivela profondamente kantiano: un
conto è la pura teoria, mentre “lo spazio
possiede una realtà anche al di fuori del
nostro spirito, alla quale noi non
possiamo prescrivere le sue leggi
completamente apriori” (a Bessel, 1830)
LOBAČEVSKIJ (1792-1856)
Assioma di Lobačevskij:
Per un punto esterno a una retta
passano almeno DUE rette che
NON l’incontrano
Lobačevskij




Nuova definizione di parallelismo
Semirette parallele
Triangoli aperti
Somma degli angoli interni di un
triangolo
Lobačevskij
Angolo di parallelismo Π
È il minimo angolo per cui la s non incontra più r
s
r
Lobačevskij
L’angolo di parallelismo dipende
dalla distanza del punto P dalla r
Se p1 < p2 allora Π(p1)< Π(p2)
Π(p2)
p2
p1
Π(p1)
Lobačevskij
Distanza tra rette parallele
La distanza di un punto della retta r dalla retta s, quando esso si
sposta nel verso del parallelismo, decresce indefinitamente
P
r
s
H
Lobačevskij
Rette iperparallele
Due rette iperparallele hanno una sola perpendicolare in comune
H
M
K
Lobačevskij
La somma degli angoli interni
Si riprende il teorema di Saccheri-Legendre
sul difetto angolare.
L’area nella geometria iperbolica
In geometria iperbolica non esiste alcuna
funzione A che abbia le seguenti proprietà:
•A(P)>0 per ogni regione poligonale
•A(P1 U P2)=A(P1)+A(P2) se P1 e P2 sono regioni
poligonali quasi disgiunte;
•A(T1)=A(T2) se i triangoli T1 e T2 hanno la stessa
base e la stessa altezza
L’area nella geometria iperbolica
Il DIFETTO ANGOLARE, a meno di una costante
moltiplicativa k, diventa l’unica possibile funzione
AREA nella geometria iperbolica
A(P) = k d
Ogni triangolo avrà un’area inferiore a kΠ
Ogni quadrilatero avrà un’area inferiore a 2kΠ
......
Sistemazione Hilbertiana
Consideriamo tre diversi sistemi di
oggetti:
 Chiamiamo punti gli oggetti del primo
sistema e li chiamiamo A, B, C, …
 Chiamiamo rette gli oggetti del primo
sistema e li chiamiamo a, b, c, …
 Chiamiamo piani gli oggetti del primo
sistema e li chiamiamo α, β, γ, …
(Cap I. dei Fondamenti della Geometria)
Sistemazione Hilbertiana


Gruppo I: Assiomi di collegamento
Gruppo II: Assiomi di ordinamento
(spiega lo stare tra, onde ammettere l’illimitatezza della
retta)

Gruppo III: Assiomi di congruenza
(per evitare la nozione di trasporto)


Gruppo IV: Assioma della parallela
Gruppo V: Assiomi di continuità
(assiomi di Archimede, di Cantor o di Dedekind)
Sistemazione Hilbertiana
QUESTIONI DI INDIPENDENZA E
DI COMPLETEZZA.
 Hilbert dimostra l’indipendenza
dell’assioma di Archimede rispetto ai
rimanenti della geometria Euclidea.
 Cosa succede allora negandolo?
 Si ottengono le geometrie non
euclidee
Modello di KLEIN
per la geometria iperbolica



Data una conica non
degenere, i punti della
conica sono i punti
all’infinito.
Il piano iperbolico è
costituito dai punti interni
alla conica.
Rette sono le corde della
conica
Modello di Klein


P
Un fascio di rette
parallele si incontra in un
punto all’infinito.
La perpendicolare a una
retta del fascio non è
perpendicolare alle altre
Il BIRAPPORTO
U
B
AU
AU BV
AV
( ABUV) 


BU
AV BU
BV
A

V




Se muoviamo B lungo VU otteniamo
che (ABUV) = 1 quando B è su A
(ABUV)  +∞ se B  U
(ABUV)  0
se B  V
ln(ABUV) è allora una ascissa di B sulla retta VU
Una funzione distanza(AB) è |ln(ABUV)|
Escher

I pippistrelli sono
tutti “congruenti”
tra loro
Modello di Poincarè (I)

Le rette sono gli archi
di cerchio interni al
piano di Poincarè (il
cerchio delimitato da γ)
e perpendicolari a γ,
nonché di diametri di γ
Ancora Escher

I pesci hanno tutti
le stesse dimensioni
Modello di Poincarè (II)
Il piano iperbolico è il semipiano
delimitato dalla retta r∞ dei punti
impropri. Le rette del piano iperbolico
sono i semicerchi con centro su r∞
oppure le semirette ad essa
perpendicolari
r∞
V postulato (ter)

Per un punto esterno a una retta NON
passa nessuna retta che NON l’incontri
P

È la geometria ELLITTICA
Geometria ellittica (Riemann)




È la geometria dell’angolo ottuso.
Per un punto esterno a una retta
non passa nessuna parallela
Si rinuncia all’assioma 2.
Il modello di piano ellittico è la
sfera
Geometria ellittica (Riemann)




Le rette sono le circonferenze
massime della superficie sferica
Due rette hanno sempre un
punto in comune…
… o due?
Necessità di identificare i punti
antipodali
Geometria ellittica (Riemann)

L’eccesso angolare determina la
superficie dei triangoli
Geometria ellittica (Riemann)
4 criteri di congruenza




I) …
II) …
III) …
IV) Due triangoli che abbiano i tre angoli congruenti
sono congruenti