Transcript 004 FORMULE D`AIRES DES SOLIDES

Formules d’aires des solides
Calculer l’aire totale d’un solide, c’est calculer l’aire de tous les polygones
ou cercles composant le solide.
Le calcul se fait en trois étapes:
- on calcule l’aire des bases ou de la base;
- on calcule l’aire des faces latérales;
- on additionne le tout.
Aire totale des prismes
Pour bien comprendre, faisons une
représentation en 2 dimensions de ce prisme.
largeur
hauteur
Longueur
Les bases
Les faces latérales
l
l
h
h
l
L
L
h
L
h
l
On peut donc calculer l’aire de chaque rectangle et
en faire la somme.
Cependant, il existe une formule plus rapide.
L
Aire totale des prismes
L
l
h
L
largeur
hauteur
Longueur
l
1) Calculer l’aire des bases : chaque base est un rectangle donc A = L X l ;
il y a 2 bases donc l’aire des deux bases : 2 X L X l .
2) Calculer l’aire latérale: l’ensemble des rectangles forment un grand rectangle.
La longueur de ce rectangle correspond au périmètre d’une base.
donc L + l + L + l ou 2 ( L + l ) ; on multiplie alors par la hauteur .
Aire latérale = 2 ( L + l ) X h
Aire totale d’un prisme : Aire des 2 bases + l’aire latérale
Aire totale d’un prisme : Aire des 2 bases + Périmètre d’une base X hauteur
Aire totale d’un prisme : Aire des 2 bases + Périmètre d’une base X hauteur
Aire totale d’un prisme :
h
Aire
bases
+
Pbase X h
Aire totale : 2 X L x l
+
2(L+l)h
Aire totale : 2 X n c a
+
nch
l
L
2
n : nombre de côtés ( ici 6 )
c : mesure d’un côté
h
a : mesure de l’apothème
Aire totale : 2 X b X h
+
( c1 + c2 + c3 ) h
2
c1
c3
c2
Remarque:
h
Attention : Il ne faut pas confondre
la hauteur du triangle et la hauteur du prisme.
La hauteur d’un prisme est le segment reliant les deux bases.
Exemple
Calcule l’aire totale de ce prisme.
3 cm
5 cm
4 cm
Aire totale d’un prisme :
Aire
bases
+
Pbase X h
Aire totale :
2XLXl
+
2(L+l)Xh
Aire totale :
2X4X5
+
2(4+5)X3
Aire totale :
40
+
Aire totale :
94 cm2
54
Remarque:
Certaines situations peuvent ne demander que l’aire latérale.
Prends le temps de lire et de comprendre la situation.
Exemple :
3 cm
Calcule l’aire latérale de ce prisme.
4 cm
Tu n’as pas besoin de toute la formule.
Aire totale d’un prisme :
Aire latérale
totale :
Aire latérale :
Aire
bases
2XLxl
5 cm
+
+
Pbase X h
2(L+l)Xh
2(4+5)X3
Aire latérale :
54
Aire latérale :
54 cm2
Aire totale du cube
c
Le cube est une figure régulière composée de 6 carrés.
La formule pour calculer son aire totale est simple.
Aire totale : 6 c2 car il est composé de 6 carrés
Aire latérale : 4 c2 car l’aire latérale est composée de 4 carrés.
Remarque : On peut aussi utiliser la formule des prismes puisque le cube est
un prisme.
Exemple
Calcule l’aire totale de ce prisme.
4m
5m
Aire totale d’un prisme :
Aire
bases
Aire totale : 2 X n c a
+
Pbase X h
+
nch
+
6 X 5 X 12
2
Aire totale : 2 X 6 X 5 X 4
2
Aire totale :
Aire totale :
120
+
480 m2
360
12 m
Exemple
10 cm
Calcule l’aire totale de ce prisme.
4,8 cm
8 cm
6 cm
9 cm
Aire totale d’un prisme :
Aire totale :
Aire
bases
2 X bXh
+
Pbase X h
+
( c1 + c2 + c3 ) h
+
( 6 + 8 + 10) X 9
2
Aire totale :
2 X 10 X 4,8
2
Aire totale :
Aire totale :
48
+
264 cm2
216
Exemple
Calcule l’aire totale de ce cube.
Aire totale d’un cube : 6c2
Aire totale du cube : 6 X 102
Aire totale du cube : 6 X 100
Aire totale du cube : 600 dm2
10 dm
Attention
Priorité d’opérations
Calcule l’aire latérale de ce cube.
Aire latérale d’un cube :
4c2
Aire latérale du cube : 4 X 102
Aire latérale du cube : 400 dm2
On doit calculer l’exposant
avant de multiplier par le
coefficient.
Aire totale des pyramides
Avant de calculer l’aire, il faut connaître 3 segments très importants.
La hauteur d’une pyramide droite
arrive perpendiculairement
au centre de la base.
L’apothème de la pyramide:
L’apothème est une ligne joignant
le sommet d’une pyramide au
milieu d’un des côtés de la base.
Hauteur
3
Exemple
6
Demi-côté
Comme la hauteur arrive au centre de la base,
la mesure du demi-côté vaut la moitié de la
mesure du côté.
La relation de Pythagore nous sera donc très utile.
a
c
b
c2 = a2 + b2
Aire totale des pyramides
Pour bien comprendre, faisons une représentation en 2
dimensions de cette pyramide.
L’apothème de la pyramide correspond à la hauteur du triangle.
1) Calculer l’aire de la base : ici, la base est un carré donc c2
2) Calculer l’aire latérale: la longueur totale des bases de ces triangles
correspond au périmètre de la base.
On calcule le périmètre de la base ; ici, c’est un carré donc 4 c
on multiplie par l’apothème et on divise par 2 car ce sont des triangles.
Aire latérale = 4 X c X a
2
Aire totale d’une pyramide : Aire de la base + Périmètre de la base X apothème
2
Aire totale d’une pyramide : Aire de la base + Périmètre de la base X apothème
2
Aire totale d’une pyramide : Aire
base
+ P
base
X apothème
2
Aire totale de la pyramide : c2
2
droite à base carrée
Aire totale de la pyramide : nca
a
2
droite à base hexagonale
Attention:
+ 4c X apothème
+ nc X apothème
2
n : nombre de côtés
c : mesure d’un côté
Il ne faut pas confondre l’apothème du polygone et l’apothème de la pyramide.
Exemple
Calcule l’aire totale de cette pyramide.
5 cm
6 cm
Aire totale de la pyramide : Aire
base
+ P
base
X apothème
2
Aire totale de la pyramide : c2 + 4c X apothème
2
Aire totale de la pyramide : 62 + 4 X 6 X 5
2
36 +
60
=
96 cm2
6 cm
Exemple
Calcule l’aire totale de cette pyramide.
On ne connaît pas l’apothème donc
a
8m
1) Déterminer le demi-côté: 6 m
2) Déterminer l’apothème:
c2 = a2 + b2
c2 = 82 + 62
c2 = 100
c = 10 m
12 m
b
6m
c
?
12 m
Exemple
Calcule l’aire totale de cette pyramide.
10 m
8m
12 m
Aire totale de la pyramide : Aire
base
+ P
base
X apothème
2
Aire totale de la pyramide :
c2
+
4ca
2
Aire totale de la pyramide :
122
+
4 X 12 X 10
2
144
+
240
=
384 m2
12 m
Exemple
Calcule l’aire totale de cette pyramide.
c=7m
Aire totale de la pyramide : Aire
base
a
hexagone
=4m
a
pyramide
= 12 m
+ P
base
Xa
2
Aire totale de la pyramide :
nca
+
ncap
apothème de la pyramide
2
apothème de l’hexagone
6 X 7 X 12
Aire totale de la pyramide : 6 X 7 X 4 +
2
2
h
Aire totale de la pyramide :
2
84 m2
+
252 m2
= 336 m2
Aire totale d’un cylindre
Pour bien comprendre, faisons une
représentation en 2 dimensions de ce cylindre.
h
En déroulant la face latérale d’un cylindre, nous obtenons un rectangle.
1) Calculer l’aire des bases : chaque base est un cercle donc πr2.
il y a 2 bases donc 2 πr2.
2) Calculer l’aire latérale :
la largeur du rectangle correspond à la hauteur du
cylindre;
la longueur du rectangle correspond à la circonférence du cercle.
Aire latérale : 2πr X h
Aire totale d’un cylindre : Aire des bases + aire latérale
Aire totale d’un cylindre :
2πr2
+
2πrh
Exemple
Calcule l’aire totale de ce cylindre.
10 cm
5 cm
Aire totale d’un cylindre : Aire des bases + aire latérale
Aire totale d’un cylindre :
2πr2
Aire totale d’un cylindre :
2 X π X 52
Aire totale d’un cylindre ≈
157,08
+
2πrh
+ 2 X π X 5 X 10
+
314,16
≈ 471,24 cm2
L’aire totale d’un cône
Avant de calculer l’aire, il faut connaître 3 segments très importants.
La hauteur d’un cône droit
arrive perpendiculairement
au centre du cercle.
L’apothème est une ligne joignant
le sommet d’un cône à un point de
la circonférence de la base.
Hauteur
Rayon
Remarque: On fait correspondre l’apothème avec le côté du cône.
La relation de Pythagore nous sera donc très utile.
a
c
b
c2 = a2 + b2
Aire totale d’un cône
On pourrait comparer un cône à une pyramide dont la base serait composée d’une
infinité de segments avec une infinité de faces latérales.
La formule pour trouver l’aire totale d’un cône ressemble donc légèrement à
celle de la pyramide.
Aire totale d’un cône
Aire totale d’un cône : Aire de la base +
Aire latérale
Aire totale d’un cône : Aire de la base + Circonférence de la base X apothème
2
Aire totale d’un cône : Aire
base
+ C
base
X apothème
2
Aire totale d’un cône
:
π X r2
Aire totale d’un cône
:
π r2
+
2XπXrXa
2
+
2πra
2
Exemple :
Calcule l’aire totale de ce cône.
5 cm
3 cm
Aire totale d’un cône
:
π r2
Aire totale de ce cône : π X 32
+
2πra
2
+
2XπX3X5
2
Aire totale de ce cône ≈ 28,27
+
47,12
≈ 75,39 cm2
Exemple
Calcule l’aire totale de ce cône.
c
?
On ne connaît pas l’apothème donc
1) Rayon : 9 m
2) Déterminer l’apothème:
a
12 m
c2 = a2 + b2
c2 = 122 + 92
c2 = 144 + 81
c2 = 225
c = 15 m
b
9m
Calcule l’aire totale de ce cône.
15 m
12 m
9m
Aire totale d’un cône
:
π r2
Aire totale de ce cône : π X 92
+
2πra
2
+
2 X π X 9 X 15
2
Aire totale de ce cône ≈ 254,47 +
424,12
≈ 678,59 m2
Aire d’une sphère
Une sphère n’a pas de développement.
Cependant, si on défaisait sa surface, on obtiendrait 4
cercles.
Comme l’aire d’un cercle se calcule avec la formule :
et que la sphère est composée de 4 cercles, alors
Aire d’une sphère = 4 π r2
A = πr2
Exemple :
Calcule l’aire de la sphère suivante :
A
sphère
= 4 π r2
A
sphère
= 4 X π X 52
A
sphère
≈ 314,16 dm2
r = 5 dm
En résumé
Aire totale d’un prisme :
Aire
Aire totale d’une pyramide : Aire
bases
base
+
Pbase X h
+ P
base
X apothème
2
Ces deux formules dépendent de la forme des bases.
Aire totale d’un cylindre : Aire des bases + aire latérale
2πr2
Aire totale d’un cône : Aire
base
+ C
+
base
2πrh
X apothème
2
π r2
+
2πra
2
Aire d’une sphère = 4 π r2
Aire totale du cube : 6 c2
Aire latérale du cube : 4 c2