Transcript DERET TAK HINGGA

DERET TAK HINGGA
RETNO ANGGRAINI
BARISAN
Barisan adalah fungsi yg domainya
himpunan bilangan asli
Contoh : a1,a2,……,an ditulis {an}
 Barisan dikatakan konvergen jika :
- Limit an = ada
n ~
 Barisan yang divergen jika
Limit an = ~
n ~

DERET
Deret adalah jumlah dari barisan
~
∑ an
disebut deret
n=1
 Jumlah parsial ke n dari deret (Sn)
merupakan jumlah deret hingga suku ke n
Sn = a1 + a2 +a3+……+an

DERET TAK BERHINGGA

Deret tak berhingga adalah jumlah dari
suatu barisan dengan suku ke n adalah
sampai pada batas yang tak terhingga
~
∑ an
disebut deret tak berhingga
n=1
karena suku ke n yang
diinginkan sampai batas tidak
terhingga
Deret konvergen dan divergen
Deret konvergen jika barisan {Sn} dari
jumlah parsial ke n adalah konvergen
 Deret divergen jika barisan {Sn} dari
jumlah parsial ke n adalah divergen
 a1 + a2 + …+ an = S
jika {Sn} divergen ke ~ maka deret
divergen ke ~
jika {Sn} konvergen ke S maka deret
konvergen ke S atau jumlahnya sama
dengan S

DERET GEOMETRI

Deret Geometri = a + ar + ar2+….+arn
konvergen jika a=0 atau jika lrl < 1
jika a = 0 dan lrl < 1 maka
~
∑ ar n-1 = 1 / (1-r)
n=1
jika a = 0 dan lrl > 1 maka DERET ADALAH
DIVERGEN
DERET “P”
DERET P ADALAH
1 + 1/2P + 1/3P + ….+1/NP

Deret akan konvergen jika p > 1

dan deret akan divergen ke ~ jika p < 1

jika p =1 deret menjadi
1+1/2+1/3+1/4+…+1/n maka deret
disebut sebagai deret harmonis dan
akan divergen ke ~

DERET EKSPONEN

Deret eksponen adalah
1+ r/1! +r2/2!+…+ r n-1/(n-1)!
Dimana deret akan konvergen untuk
setiap nilai r
 Jika r = 1 deret menjadi
1+1/1!+1/2!+1/3!+….+ 1/(n-1)!

SIFAT DASAR DERET
~
~
n=1
n=1
Jika ∑ an dan ∑ bn merupakan dua deret
yg konvergen dan k konstanta maka:
1.
2.
~
∑ (an + bn ) konvergen
n=1
~
∑ k an konvergen
n=1
TES KONVERGENSI
1.
Test Deret
∑ an
akan divergen jika lim an = 0
akan konvergen jika lim an=0
n=1
2. Test Leibnitz
Deret berayun : a1–a2+a3-…+(-1)n-1 a + ….
dgn an semuanya pos / neg konvergen jika :
i. an ≥ a n+1 utk setiap n
ii. Lim an = 0
n
~
Test Perbandingan
Deret Positif :
∑ an konvergen jika ada
Konvergen positif
∑ bn
sedemikian hingga an ≤ bn
Divergen positif sede,ikiam hingga an ≥ bn
Test rasio utk deret positif
Pada deret positif
∑ an
Jika :
Lim
an+1
< 1, konvergen
an
> 1, divergen
= 1 test gagal
Test Rasio Umum
Pada sembarang deret tk berhingga :
∑ an dgn an ≠ 0, utk setiap n
Maka jika
Lim an+1 < 1, deret konvergen mutlak
~
an
> 1, deret divergen
= 1 , atau tdk ada, test gagal
Test Integral
Andaikan :
f(x) continu,
tdk negatif dan
turun utk 1≤x≤~
Maka deret:
∑ f(n)
Jika
konvergen
∫ f(x) dx konvergen
Test akar ke n
Jika:
n
Lim √ lunl = A
Maka :
∑ un
1.
2.
3.
Konvergen mutlak kalau A < 1
Divergen kalau A> 1
Tak dpt disimpulkan kalau A=1
Konvergensi mutlak
Deret : a1+a2+…+an+…
disebut konvergen mutlak jika
Deret : a1 + a2 + …. + an
konvergen
Theorama :
Jika suatu deret konvergen mutlak maka
deret tersebut juga konvergen. Suatu deret
yg konvergen tetapi tdk konvergen mutlak
disebut konvergen bersyarat
DERET FUNGSI
Deret fungsi adalah deret yang suku sukunya
adalah suatu fungsi yaitu :
∑ fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) +…….
Himpunan nilai x utk deret ini konvergensi ke lim L(x)
dinamakan daerah konvergensi deret fungsi, dan limit
L(x) dinamakan jumlah deret fungsi
Sn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) +…….
Utk x dlm daerah konvergensi L(x) =Lim Sn (x)
N
Selisih L & Sn dinamakan sisa
~
Rn (x) = L(x) – Sn(x)
DERET PANGKAT/deret kuasa
•
Adalah deret fungsi yang sukunya fungsi
pangkat cnxn
∑
•
•
= c0 + c1x + c2x2 + ….
Nilai x utk mana deret ini konvergen dpt
diperoleh dgn test rasio umum.
Deret pangkat juga dapat dlm bentuk (x-a)
yaitu :
co + c1(x-a)+c2(x-a)2+….
Daerah konvergensi
Daerah konvergensi utk deret pangkat dlm
(x-a) dpt diperoleh dgn :
-R < x-a < R atau a-R < x < a+R
Dimana Lim cn = R
~
Cn+1
Titik x=a adalah pusat konvergensi yg radiusnya R.
Dipinggir daerah konvergensi mk deret dpt konvergen
atau divergen. Diluar daerah konvergen nilainya dalah
Divergen.
THEORAMA TAYLOR DAN SUKU
SISA LAGRANGE
Jika suatu f(x) adalah sedemikian hingga :
1. f(x),f’(x),f’’(x),…f(n-1)(x) adalah kontinu dlm
selang {a,a+h}
2. f(n)(x) ada dlm selang {a,a+h} maka
f(a+h)=f(a)+hf’(a)+h2 f’’(a)+…h(n-1)f(n-1)(a)+Rn
2!
(n-1)!
Dimana
Rn = hn/n! f(n) (a+θh) :
0< θ <1
Bentuk sisa Rn ini disebut sisa suku lagrange
DERET TAYLOR
•
Jika f(x) dpt dikembangkan (diekspansikan) menurut
deret pangkat dari (x-a) maka :
f(x)=f(a)+(x-a)f’(a)+(x-a)2 f’’(a)+(x-a)3f’’’(a)+(x-a)4f’’’’+…
2!
•
•
3!
4!
Jika Polinomial f(x) dibagi (x-a) maka sisa :
S = f(a)
jika polinomial f(x) dibagi (x-a)2 maka sisa :
S = f(a)+(x-a) f’(a)
Syarat perlu dan cukup bahwa a adalah akar rangkap k
dari persm polinomial f(x) = 0 adalah:
f(a)=f’(a)=f’’(a)=f’’’(a)=f(k-1)(a) = 0
dan fk(a) ≠ 0
DERET MC LAURIN
Merupakan deret khusus dari deret taylor
dengan nilai a = 0,
Maka :
f(x)=f(a)+(x-a)f’(a)+(x-a)2 f’’(a)+(x-a)3f’’’(a)+(x-a)4f’’’’+..
2!
2
2
3!
4!
Shg dgn a = 0 maka:
f(x)=f(0)+(x-0) f’(0)+(x-0)2/2! f’’(0)+ (x-0)3 /3! f’’’(0)+..
=f(0)+xf’(0)+x2/2! f’’(0)+ x3/3! f’’’(0)+..
DERET BINOMIAL
Merupakan deret Mclaurin yang khusus dimana untuk
f(x) =(1+x)m, dgn m bil riil,
shg :
: f(0) =1
f(x) =(1+x)m
f(x)’ = m(1+x)m-1 : f’(0) = m
f(x)’’=m(m-1)(1+x)m-2 : f’’(0) = m(m-1)
f(x)’’’=m(m-1)(m-2)(1+x)m-3 : f’’’(0) = m(m-1)(m-2)
Maka :
(1+x)m = 1+mx+m(m-1)/2! x2+m(m-1)(m-2)/3! x3+..
Dengan x < 1 disebut deret binomial
Contoh