Transcript images/naizmjenicni naponi i struje

NAIZMJENIČNE STRUJE I NAPONI
U praktičnoj primjeni, dominantni značaj imaju električne struje i
naponi čije se karakteristične veličine mjenjaju po sinosoidalnom
zakonu. Često se nazivaju i naizmjenične struje i naizmjenični
naponi. Od niza električnih uređaja istaknimo veliku upotrebu
onih koji proizvode ili pretvaraju naizmjeničnu električnu energiju
(generatori, elektromotori, transformatori i dr.)
OSNOVNI POJMOVI I KARAKTERISTIKE NAIZMJENIČNIH
STRUJA I NAPONA
Na slici je prikazan vremenski tok naizmjenične sinosoidalne
struje koja ima harmonijski karakter sa ciklusom T
Broj kompletnih promjena ili ciklusa (T) u jednoj sekundi definira
frekvenciju (učestalost) pojave koja se obilježava sa f.
Na osnovu navedene definicije može se uspostaviti veza između
1
f

.
frekvencije i periode naizmjenične električne struje
T
Jedinica za frekvenciju u SI sistemu je herz i obilježava se sa Hz. Ovo
je izvedena jedinica koja se dobije iz:  f    1    1   1s 1   Hz.
T  s
Jedan herz pretstavlja frekvenciju periodične struje, čija je perioda
jednaka jednoj sekundi.
Treba istaći da je opseg ovih frekvencija veoma širok:
-elektroenergetske mreže f = 50 Hz u Europi dok Amerika koristi
f = 60 Hz;
-akustika, f = 20-20 000 Hz;
-radio difuzno područje f  100 kHz – 1 000 MHz;
-područje televizijskih signala f = 47 MHz – 900 MHz;
-područje satelitskih veza (signala) f = 4,5 GHz do 25 GHz;
-postoji čitav niz frekvencijskih opsega kojima se koriste značajni
subjekti i djelatnosti (vazdušni saobraćaj, PTT veze, pomorski
saobraćaj, radarski uređaji i dr.)
Karakteristične vrijednosti sinusne veličine prikazane na slici su
trenutna vrijednost, npr. u tačkici, koja može poprimiti različite
vrijednosti po znaku i veličini, i maksimalna veličina (Im) koja se naziva
još i amplituda.
Matematički izraz za prikazanu naizmjeničku struju je:
i (t) = Im sin (t + i)
Vremenski tok struje i(t) a); ugaoni tok struje i(t) b)
Da bi pokazali vezu između vremenskog i ugaonog predstavljanja
naizmjenične veličine (t i t), pretpostavimo da je sinosodalna veličina
1
data jednadžbom. f  T .
Komprirajući dijagrame a) i b) sa slike može se uočiti:
- da je karakter promjene isti;
- da se jedina razlika odnosi na prirodu apscise (u slučaju a) je
vremenskog, a u slučaju b) je ugaonog karaktera);
- prelaz iz jednog u drugi dijagram je jednostavan i ostvaruje se
množenjem, odnosno dijeljenjem veličinom , dok se promjene duž
ordinate zadržavaju i u jednom i u drugom slučaju u istom obliku.
Iz izraza i (t) = Im sin (t + i) slijedi da je i(t) = t + i
koji pretstavlja trenutni fazni ugao naizmjenične struje.
Ovaj ugao (i(t)) naziva se i fazom naizmjenične veličine. Posebno je
interesantan trenutak kada faza naizmjenične veličine ima vrijednost
koja odgovara trenutku t = 0 (tačka a). Tada jei(t=0) =   o + i = i
gdje je i vrijednost faze u trenutku t = 0. Ovom trenutku odgovara
neka trenutna vrijednost naizmjenične struje
Brzina kojom će se obavljati prolaz kroz ove vrijednosti odgovara brzini
d (t )
promjene trenutne faze () u vremenu  
dt
gdje  pretstavlja ugaonu brzinu ili kružnu frekvenciju, čija je jedinica
radijan u sekundi (rad/sek).
Uspostavljanjem veze između definicije periodičnosti sinusne funkcije
(2) i funkcije koja definira trenutni oblik naizmjenične veličine (struje)
dolazi se do izraza T = 2, što onda daje vezu između kružne
2
frekvencije i periode  
. iz čega slijedi da je  = 2 f .
T
Na osnovu dosad uvedenih pojmova naizmjeničnih veličina, stvoreni su
uslovi za predstavljanje analitičkih oblika trenutnih vrijednosti napona i
struje: u(t) = Um sin (t + )
i(t) = Im sin (t + )
čiji su tokovi predstavljeni na slici
Tokovi u(t) i i(t) naizmjeničnih veličina
•
•
•
•
Grafičkim prikazom funkcija i(t) i u(t) za različite početne faze  i , brzo bi
se došlo do zaključka da su ove dvije krivulje pomaknute međusobno,
odnosno da su njihovi prolazi kroz karakteristične tačka (nula, maksimalna
vrijednost i dr.) uvijek fazno pomaknuti za isti ugao.
Ovo navodi na zaključak da dvije naizmjenične veličine istog ili različitog
karaktera, koje se mjenjaju istom frekvencijom, karakterizira razlika trenutnih
faza u svakom trenutku, koja je konstantnog iznosa, te u skladu s time
jednaka je iznosu razlike faza u trenutku t = 0. Dakle, za dvije naizmjenične
veličine iste frekvencije f, fazna razlika (razlika trenutnih faza) jednaka je
razlici početnih faza ovih veličina.
Fazna razlika između napona u(t) i struje i(t), datih izrazima može se izraziti
u obliku:(t) = u(t) -i(t) = (t + ) - = (t + ) .
Uređivanjem izraza dobije se da je fazna razlika ove dvije veličine (t) =   , odnosno =  -  .
• Očigledno je da je za navedeni primjer gdje je    ugao 
pozitivan, što je indikacija da napon u(t) fazno prednjači struji i(t).
Prednjačenje jedne naizmjenične veličine u odnosu na drugu
podrazumjeva da je ona veličina, koja prednjači, pomaknuta na lijevu
stranu u odnosu na onu veličinu s kojom se fazno komparira.
• Za slučaj kada je    , to jest kada je napon u(t) u odnosu na
struju i(t) pomaknut u desno, slijedi da napon fazno zaostaje za
posmatranom strujom, odnosno da struja prednjači naponu.
• Treći karakterisitčni slučaj koji može nastati je  =  . U tom slučaju
kažemo da su struja i(t) i napon u(t) u fazi ( = 0).
• U praksi se vrlo često javlja potreba faznog poređenja više
naizmjeničnih veličina. pri tome se može jedna veličina odabrati kao
referentna a fazni pomak ostalih naizmjeničnih veličina se prikazuje
prema njoj.
KARAKTERISTIČNE VRIJEDNOSTI NAIZMJENIČNIH
STRUJA I NAPONA
Za sinosoidalnu veličinu je karakteristično da u svakoj poluperiodi mora
nastupiti barem jedan trenutak u kojem je jedna trenutna vrijednost veća od
svih ostalih. Ta najveća trenutna vrijednost se naziva maksimalna vrijednost ili
amplituda i u prethodnom izrazu je označena sa Im.
Ta vrijednost naizmjenične veličine obično traje beskonačno kratko vrijeme tako
da ima praktičnu važnost samo za neke specijalne slučajeve.
Međutim, u svakodnevnom životu mnogo je važnije poznavati neku srednju
vrijednost naizmjenične veličine, dakle onu prosječnu vrijednost napona ili
struje koja bi u strujnom krugu izvršila jednaku radnju kao dotična naizmjenična
veličina. U praksi se pojavljuje potreba za dvije prosječne - ugrađene
vrijednosti: efektivna vrijednost i srednja vrijednost naizmjenične veličine.
Pod efektivnom vrijednošću I neke naizmjenične struje podrazumijeva se ona
ekvivalentna istosmjerna struja koja u jednoj periodi T stvara u otporu R istu
količinu topline kao i data naizmjenična struja. Matematski se to može prikazati
u obliku:
T
T
R I T  R  I (t ) dt  R  I m2 sin 2  t dt
2
2
o
gdje je I efektivna vrijednost struje
o
Iz prethodnog izraza slijedi da je efektivna vrijednost struje
I

1 T 2 2
1 T 2 2
I
sin

t
dt

I
sin
t dt 
m
m


o
o
T
T
T
Im
 0,707 I m
2
Analogno vrijedi da je efektivna vrijednost naizmjeničnog napona
U
Um
.
2
Koristeći izvedene odnose efektivnih i maksimalnih vrijednosti trenutne
vrijednosti naizmjeničnog napona i struje možemo izraziti i pomoću
efektivnih vrijednosti u obliku:
U (t ) 
I (t ) 
2 U sin  t
2 I sin ( t   )
gdje je U – efektivna vrijednost naizmjeničnog napona U(t), a Iefektivna vrijednost naizmjenične struje I(t).
Neke naizmjenične veličine kao što su npr. električni naboj ili magnetski
tok ne prikazujemo efektivnim nego u srednjim vrijednostima. Srednja
vrijednost naizmjeničnih sinosoidalnih veličina je jednaka nuli ako se
računa za čitavu periodu T. Stoga srednju vrijednost obično računamo
za interval T/2. Srednju vrijednost definiramo kao onu konstantnu
vrijednost koja u intervalu T/2 sa apscisnom osi određuje istu površinu
kao i naizmjenična veličina. Na primjeru sinosoidalne struje se to može
matematski prikazati u obliku
T /2
T
I s   I m sin  t dt
o
2
gdje je Is – srednja vrijednost.
Iz izraza slijedi da je
2 T /2
2Im T / 2
2
Is 
I m sin  t dt 
sin
t dt 

o
o
T
T
T
2
 I m  0,6366I m .

Izrazimo li srednju vrijednost pomoću efektivne dobijemo da je
Is 
2

2 I  0,9 I .
Analogno prethodnom izrazu možemo prikazati srednju vrijednost
naizmjeničnog napona u obliku
2
Us  Um .

Srednje vrijednosti naizmjeničnog napona i struje se najviše koriste u
ispravljačkoj tehnici.
PREDSTAVLJANJE NAIZMJENIČNIH VELIČINA RADIJVEKTORIMA
U elektrotehničkoj praksi se često javlja potreba sabiranja i oduzimanja
sinsoidalnih veličina iste frekvencije ali često različitih amplituda i
faznog pomaka. Sabiranje i oduzimanje sinosoidalnih veličina kod
korištenja izraza za trenutne vrijednosti je veoma nezgodno i
nepregledno.
Vrlo praktičnom se pokazala metoda kod koje se sinosoidalne veličine
pretstavljaju rotirajućim radijvektorima. Sinosoidalnu veličinu možemo
grafički pretstaviti rotirajućim radijvektorom na način kako je to
prikazano na slici. Radijvektor se vrti konstantnom brzinom  u
smjeru suprotno vrtnji kazaljke na satu.
Prikaz pretstavljanja naizmjeničnog sinosoidalnog napona rotirajućim
radijvektorom
Fazni pomak  između dvije sinusne veličine može se odrediti iz
njihovog vektorskog dijagrama na načinu kako je to prikazano na slici
Vidimo da je fazni pomak  između dvije sinosoidalne
veličine I1 i I2 jednak uglu što ga zatvaraju radjvektori tih
veličina kod  t = 0. Pošto se radijvektori dviju
sinosoidalnih veličina iste frekvencije vrte istom kutnom brzinom ,
njihov međusobni položaj ostaje nepromjenjen i kod vrtnje
Dakle, ako se radi o veličinama, koje se vremenski mijenjaju po zakonu
sinusa, možemo ih zamijeniti radijvektorima koji miruju. U pravilu
crtamo vektorske dijagrame za trenutak  t = 0.
Prednosti korištenja vektorskog predstavljanja sinosoidalnih veličina
ilustrirat ćemo primjerom datim na slici
Prikaz postupka sabiranja naizmjeničnih veličina I1(t) i I2(t) koristeći
njihove vektorske dijagrame
Sabiranje dviju naizmjeničnih veličina I1 i I2 obavljamo tako da najprije
nacrtamo njihove radijvektore za  t = 0, a onda ih saberemo na način
kako se zbrajaju vektori. Ako bi sinusne veličine I1 i I2 sabirali koristeći
njihove vremenske dijagrame onda bi morali sabirati njihove trenutne
vrijednosti u svakom trenutku njihova perioda T.
Vidimo da je metoda vektorskog računa suma sinosoidalnih veličina
veoma jednostavna i pregledna, a omogućuje nam da izračunamo i
amplitudu i fazni pomak rezultujuće sinosoidalne veličine.
Radijvektore kod zbrajanja sinosoidalnih veličina ne moramo crtati tako
da imaju izhodište u početku koordinatnog sistema. Da bi sabrali struje
I1 i I2 možemo to grafički izvesti i na način kako je to prikazano na slici.
Na slikama su vektori nacrtani tako da vektor I1 prethodi vektoru I2.
Napomenimo još da su vremenski radijvektori sinusnih veličina napona
i struja jako slični vektorima fizikalnih veličina (brzine, sile itd.) pa ih
možemo rastavljati i na komponente. Pri tome vrijede svi zakoni kao
kod vektora fizikalnih veličina.
Poseban prikaz zbrajanja vektorskih veličina
U vektorskim dijagramima pretstavljene naizmjenične veličine su
vektori amplituda. U praksi nas interesuju efektivne vrijednosti. One se
razlikuju od amplitudnih vrijednosti samo sa puta manjim iznosima, pa
se može prikaz naizmjeničnih sinosoidalnih veličina pretstaviti i
vektorima efektivnih vrijednosti.
Položaj vektora efektivnih vrijednosti ostalih veličina određuje se u
odnosu na položaj referentnog vektora, a definiran je kutom faznog
pomaka .
PRETSTAVLJANJE SINOSOIDALNE VELIČINE KOMPLEKSNIM
BROJEM
Pored skupa realnih brojeva, uveden je i skup imaginarnih brojeva.
Pojam imaginarnog broja je uveden kao posljedica nemogućnoti
zadovoljenja rješenja neke jednadžbe raspoloživim jednadžbama
x2 = - 4 ima jedno rješenje x  2  1, koje očigledno nije realan broj,
jer 1  j predstavlja imaginarnu jedinicu, te na taj način rješenje
jednadžbe pretstavlja imaginarni broj. U opštem slučaju, imaginarni broj
može se pretstaviti u obliku jb, gdje b pretstavlja realni broj, a j  1
imaginarnu jedinicu.
Skup realnih brojeva a je raspoređen duž realne ose, dok je skup
imaginarnih brojeva raspoređen duž imaginarne ose.
Duž ovih se mogu vršiti sabiranja i oduzimanja realnih, odnosno
imaginarnih brojeva. Naravno, pri ovom se misli da se operacije sa
realnim brojevima vrše duž realne ose, a sa imaginarnim duž
imaginarne ose.
U slučaju kada se radi o broju a + jb, tada za grafička pretstavljanja
ovog broja nije dovoljna jedna osa već se zato mora koristiti ravan. U
tom smislu, svaki broj koji sadrži realni i imaginarni dio naziva se
kompleksnim brojem, a ravan u kojoj se ovi brojevi pretstavljaju naziva
se kompleksna ravan.
Kompleksni broj označavati crtom iznad slova. Tako, na primjer, neki
kompleksni broj Z može se izraziti kao
Z  a  jb
gdje su: a  Re Z , b  Im Z , j  1.
Kompleksni broj može se pretstaviti u kompleksnoj ravni tačkom kako
je to prikazano na slici
Kompleksni broj se može prikazati u eksponencijalnom obliku: Z  Z  e
Razvijanjem eksponencijalne funkcije ej, odnosno korištenjem
Ojlerovog obrasca ej = cos  + j sin  ,dobije se trigonometrijski
oblik kompleksnog broja Z  Z cos  j sin .
j
Ovaj prikaz se može dobiti korištenjem slike, jer je modul vektora Z  Z
dužina potega koji ide iz koordinatnog početka do tačke koja pripada
b
2
2


arctg
.
kompleksnom broju Z  a  b , a argument
a
Prelaz iz jednog u drugi oblik kompleksnog broja je vrlo jednostavan, te
se pri računanju koristi onaj oblik koji je datu operaciju najpogodniji.
Karakteristične osobine kompleksnih brojeva su:
1. Kompleksni broj Z  a  jb je konjugovano kompleksan broju
Z  a  jb
Za neku naizmjeničnu veličinu, na primjer, struju kroz granu kruga, čiji
je trenutni oblik i(t )  I m sin t   
uvodi se kompleksna predstava
j
u obliku kompleksnog broja I m e jt
gdje je I m  I  e
Dakle, za svaku sinosoidalnu veličinu moguće je naći kompleksnog
predstavnika na način na koji je to prikazano za struju u prethodnom
primjeru
Često se umjesto kompleksne amplitude sinusne veličine uvodi
kompleksna efektivna vrijednost veličine I  I  e j .
Iz datog kompleksnog prikaza neke sinosoidalne veličine moguće je
odrediti trenutni oblik veličine. Tako, na primjer, iz kompleksnog prikaza
jt
električne struje I e trenutni oblik može se odrediti nalaženjem
njegovog imaginarnog dijela i(t )  Imag  dio I m  e jt .
Razvijanjem izraza u zagradi dobije se da je
I m e jt  I m e j (t  )  I m cost    j I m sin t   .
Imaginarni dio kompleksnog broja I m cost     j I m sin t   
je jednak tenutnoj vrijednosti struje i(t )  I m sin t   .
Na sličan način se daje kompleksna predstava za naizmjenične
naponske veličine.
Napon između dvije tačke u električnom krugu može se pretstaviti u
trenutnom obliku: u(t )  Um sin t  O
jO
jt
U

U

e
U
e
m
m
Kompleksna pretstava ove veličine je oblika m
gdje
predstavlja kompleksnu amplitudu napona


KARAKTERISTIKE OTPORA POTROŠAČA U NAIZMJENIČNIM
STRUJNIM KRUGOVIMA
Potrošači u krugovima naizmjenične struje mogu imati karakteristiku
radnog otpora R, induktivnog otpora XL, kapacititnog otpora Xc i njihove
različite kombinacije.
POTROŠAČ SA RADNIM OTPOROM U NAIZMJENIČNOM
STRUJNOM KRUGU
Poznato je da svaki vodič određenih dimenzija i izrađen od nekog
određenog materijala posjeduje električni otpor R koji je dat izrazom

 . To je tzv. omski otpor vodiča. Ako kroz vodič teče
R
S
istosmjerna struja, ona će se raspodjeliti potpuno jednoliko po
njegovom čitavom presjeku S. Međutim, ako kroz vodič protiče
naizmjenična struja, usljed pojave skin-efekta (pojava potiskivanja
struje prema površini vodiča), doći će do neravnomjerne raspodjele
struje po presjeku vodiča. Ta raspodjela struje je takva da će struja teći
uglavnom njegovim površinskim dijelom. Djelovanjem skin-efekta je
takvo kao da se smanjio aktivni presjek vodiča.
Pretpostavimo da smo na izvor sinosoidalnog naizmjeničnog napona
U(t) = Um sin  t priključili potrošač, koji posjeduje jedino radni otpor
R. Kroz otpor R će poteći struja čija je trenutna vrijednost data izrazom
U
U
U (t ) U m
I (t ) 

sin  t  I m sin  t gdje je I m  m ili I 
R
R
R
R
Iz izraza se može zaključiti da sinosoidalni narinuti napon U(t)
potjera kroz radni otpor R struju I(t) koja je također sinosoidalna.
Efektivna vrijednost struje I koja teče kroz potrošač je data odnosom
efektivne vrijednosti napona potrošača i njegovog radnog otpora. Izraz
ima oblik Ohmova zakona jednostavnog strujnog kruga. To je još jedna
prednost uvođenja efektivne veličine naizmjeničnog napona i struje.
Iz vremenskih tokova U(t) i I(t) datih na slici se vidi da su napon i struja
u fazi ( = 0). Može se dakle zaključiti da se pri opterećenju radnim
otporom R naizmjenični strujni krug vlada kao i istosmjerni. Znači za
takav naizmjenični strujni krug vrijede Ohmov i II Kirchhoffov zakon u
istom obliku kao kod istosmjernog kruga tj. UR = I R;U = UR = I R
gdje UR – znači pad napona na otporu R.
Veličine I, U i UR se mogu prikazati vektorski na način dat na slici
Naizmjenični strujni krug sa potrošačem karaktera radnog otpora R a);
Vremenski tokovi U(t) i I(t) b); Vektorski dijagram napona i struje c)
POTROŠAČ SA INDUKTIVNIM OTPOROM U NAIZMJENIČNOM STRUJNOM
KRUGU
Neka je sinosoidalni naizmjenični napon U(t) = Um sin  t narinut na
idealnu zavojnicu konstantnog induktiviteta L, kroz zavojnicu će proteći
struja I(t).
Naizmjenični strujni krug sa idealnom zavojnicom induktiviteta L a):
Vremenski tokovi U(t) i I(t) strujnog kruga induktiviteta L b):
Vektorski dijagrami U i I navedenog strujnog kruga c)
Da bi odredili zakonitost promjene struje I(t) pođimo od poznatog
dI (t )
izraza o indukovanom naponu U (t )  L
dt
1
1
I
(
t
)

U
(
t
)
dt

U m sin  tdt .
Iz izraza uz uslov da je I(o)= 0, slijedi da je
L
L
Provedbom integracije gornjeg izraza dobije se da je:
I (t )  
Um


cos  t   I m cos  t   I m sin t  .
L
2

Uočava se da je i u ovom slučaju struja I(t) opet sinosoidalnog
karaktera toka, ali sa kašnjenjem u odnosu na napon za 90º
U
U
Maksimalna Im i efektivna I vrijednost struje I(t) su: I m  m I   L .
L
U izrazima  L je veličina, koja pretstavlja otpor toku struje. Taj otpor je
tzv. induktivni otpor. Označimo li ga sa XL, onda se može pisati da je
XL =  L = 2 f L
Induktivni otpor često se naziva i indktivnom reaktancijom. Njegova
veličina je ovisna o frekvenciji narinutog napona. Što je veća
frekvencija narinutog napona, idealna zavojnica određenog
induktivniteta L suprostavlja se većim otporom toku struje.
Za istosmjernu struju idealna zavojnica ne pretstavlja nikakav otpor.
Kod realnih zavojnica, koje pored induktiviteta imaju i radni otpor R.
Efektivna vrijednost pada napona na induktivitetu L je dat izrazom
UL = I X
gdje je I efektivna vrijednost naizmjenične struje koja teče kroz
zavojnicu induktiviteta L.
Primjenom II Kirchhoffova zakona dobije se odnos između napona
U i pada napona na induktivitetu UL u obliku U  U L  j I  L  j I X .
POTROŠAČ U VIDU KONDENZATORA U NAIZMJENIČNOM
STRUJNOM KRUGU
Često u naizmjeničnim strujnim krugovima imamo kondenzatore. Kod
istosmjernog izvora napona u strujnom krugu ne bi tekla struja I. To
znači da kondenzator pruža istosmjernoj struji beskonačno veliki otpor.
Kod naizmjeničnog napona bi u strujnom krugu potekla struja I(t).
U bilo kojem trenutku vrijedi da je:
dQ(t )
dU (t )
d (U m sin  t )
C
C

dt
dt
dt


  C U m cos  t  I m cos  t  I m sin   t   .
2

I (t ) 
Uočava se da je i u ovom slučaju struja I(t) sinosoidalnog karaktera
toka, ali sa prednjačenjem u odnosu na napon za 90º .
Maksimalna Im i efektivna I vrijednost struje
I(t) su:Im = Um  C ;I = U  C
Recipročna vrijednost  C je veličina koja pretstavlja otpor toku struje
kroz kondenzator. Taj otpor se naziva kapacitivni otpor. Označimo li ga
1
1
sa Xc , onda se može pisati da je X c   C  2 f C .
Pad napona na ondenzatoru UC je dat izrazom:
UC  j I X C  j
I
I
 j
.
C
2 f C
Prema II Kirchhoffovom zakonu dobije se da je: U  U C  j I X C ,
gdje je U napon naizmjenične mreže na koju je priključen kondenzator
kapaciteta C.
Naizmjenični strujni krug sa kapacitetom C a); Vremenski tokoviU(t) i
I(t) b); vektorski dijagrami U(t) i I(t) predstavljenog strujnog kruga c)
STRUJNI KRUG SA POTROŠAČEM KOJI JE REALIZIRAN
SERIJSKIM SPOJEM R i L
Strujni krug sa potrošačem realiziranim serijskim spojem R i L imamo
kod realne zavojnice. Pad napona UR ima smjer vektora struje i veličinu
I R, pa ga možemo nacrtati kao što je to prikazano na slici . Pad
napona na induktivitetu UL ima veličinu I X = I  L i prethodi prema
struji za 90º što u kompleksnom obliku znači množenje sa j. Primjenom


II Kirchhoffova zakona dobije se da je U  U R  U L .
Naizmjenični strujni krug sa potrošačem izvedenim sa serijskim spojem R i L
a); vektorski dijagram datog kruga b)
Prikažu li se vektori UR i UL izraza u kompleksnom obliku dobije se da

je U  I R  j I X . Vidimo da je napon U geometrijska suma UR i UL i
da je njegova brojčana vrijednost data izrazom: U  U R2  U L2  I R 2  X 2  I Z .
Veličina Z u izrazu je tzv. ukupna ili prividna impedancija kruga, a
određena je izrazom: Z  R 2  X 2  R 2  2 f L 2 .
Izraz U = I Z predstavlja opći oblik Ohmovog zakona za naizmjenični
strujni krug.
Iz vektorskog dijagrama datog na slici se vidi da struja I kasni za
naponom U. Mjera njenog kašnjenja je veličina .
UL
UL


arctg
.
. Odatle slijedi da je
Pri tome vrijedi da je tg  
UR
UR
Vektorski dijagram otpora strujnog kruga sa potrošačem realiziranim od
serijskog spoja R i L
Ukupan otpor Z možemo prikazati i u kompleksnom obliku Z  R  j  L  R  j X .
Fazni pomak  između napona i struje može se prikazati, koristeći vektorski
dijagram prikazan na slici i u ovom obliku tg   X . odnosno
X
L
R

arctg
.
 = arctg R
R
Vidimo da je  ovisan, kod  = konst., od odnosa L i R strujnog kruga.
STRUJNI KRUG SA POTROŠAČEM KOJI JE REALIZIRAN SERIJSKIM
SPOJEM R i C
Naizmjenični strujni krug sa potrošačem realiziranim serijskim spojem R i C
prikazan je na slici
Primjenom II Kirchhoffova zakona na zadani strujni krug dobije se da je


U izrazu je:
U  U R  UC  I R  j I X C .
UR = IR – pad napona na otporu R;
I
UC = I XC =  C - pad napona na kondenzatoru kapaciteta C;
U = I Z – efektivna vrijednost napona izvora naizmjeničnog napona.
Brojčana vrijednost napona U je jednaka U  U R2  U C2  I R 2  X C2  I Z
Veličina Z je data izrazom Z  R 2  X C2 i predstavlja tzv. ukupni otpor
zadanog strujnog kruga.
UC
 XC
1


arctg

arctg

arctg
.
Fazni pomak između napona U i struje I je jednak
UR
R
R C
Iz provedenog razmatranja je vidljivo da u slučaju serijskog spoja R i C napon
fazno zaostaje za strujom za ugao .
.
STRUJNI KRUG SA POTROŠAČEM KOJI JE REALIZIRAN SERIJSKIM
SPOJEM R, L i C
Za opći primjer kada u strujnom krugu imamo serijski spojene omski,
induktivni i kapacitivni otpor, prema II Kirchhoffovom zakonu dobije se da



je U  U R  U L  UC
gdje je: U – efektivna vrijednost napona U(t);
UR = I R – pad napona na otporu R;
UL = I X – pad napona na induktivitetu L;
UC = I XC – pad napona na kondenzatoru C.
Strujni krug sa potrošačem koji je realiziran serijskim spojem R, L i C
Na osnovu vektorskog dijagrama datog na slici dobije se da je:
U  U R2  U L  U C   I R 2   X L  X C   I Z .
2
2
U izrazu je Z  R 2   X L  X C 2 i ima značenje ukupnog otpora strujnog
kruga. Izraz predstavlja Ohmov zakon za promatrani naizmjenični strujni
krug. Fazni pomak između napona U i struje I je dat izrazom
  arctg
X L  XC
.
R
Vektorski dijagrami napona i otpora naizmjeničnog strujnog kruga sa potrošačem koji je
realiziran serijskim spojem R, L i C kod realno mogućih vrijednosti odnosa otpora
induktiviteta XL i kapaciteta XC
Kod različitih odnosa otpora induktiviteta i kapaciteta XL i XC moguće je
ostvariti tri karakteristična stanja datog strujnog kruga prikazana
vektorskim dijagramima:
• U slučaju kada je XL > XC razlika UL-UC, odnosno X-XC biti će veća
od nule, Z će imati induktivan karakter, a struja I će kasniti za
naponom mreže U za ugao .
• U slučaju kada je XL < XC tada je razlika UL-UC negativna, strujni
krug će imati kapacitivan karakter tj. struja I će predhoditi vremenski
naponu U.
• U slučaju kada je XL = XC, odnosno UL = UC, nastaje tzv. serijska ili
naponska rezonancija. Serijska rezonancija se naziva zbog serijskog
spoja induktiviteta L i kapaciteta C, a naponska rezonancija zbog
jednakosti padova napona UL i UC.
Rezonantna ili vlastita frekvencija kruga je: f o 
1
.
2 L C
SNAGA POTROŠAČA JEDNOFAZNE NAIZMJENIČNE STRUJE
Poznato je da je snaga P potrošača napajanog iz istosmjernog izvora
napona data izrazom P = U I
gdje je: U – veličina istosmjernog napona na potrošaču,
I – jačina istosmjerne struje koja protiče kroz potrošač.
S obzirom da se naizmjenični napon i naizmjenična struja vremenski
mijenjaju, trenutna vrijednost snage potrošača naizmjenične struje može
se definirati izrazom S(t) = U (t) I(t)
gdje je: S(t) – trenutna snaga potrošača,
U(t) – trenutna vrijednost napona na potrošaču,
I(t) – trenutna vrijednost struje koja protiče kroz potrošač.
Trenutne vrijednosti napona i struje su date
izrazima:
U(t) = Um sin  t
I(t) = Im sin ( t - ) .
Ako se izraze uvrstimo u izraz za snagu dobije se da je
S(t) = Um Im sin  t sin ( t - )
Primjeni li se na ovu jednadžbu trigonometrijska zakonitost da je
sin  sin  
1
1
cos      cos    
2
2
1
1
S

U
I
cos


U m I m cos 2 t    
dobije se da je: (t ) 2 m m
2
1
1
 U m I m cos   U m I m cos  cos 2 t 
2
2
1
 U m I m sin  sin 2 t.
2
Izraz se može prikazati u obliku:
1
1
S( t )  U m I m cos  1  cos 2 t   U m I m sin  sin 2 t .
2
2
Vidimo da snaga jednofaznog potrošača naizmjenične struje sadrži dva
1
člana. Prvi član je P( t )  U m I m cos  1  cos 2 t 
2
koji pretstavlja radnu snagu što je uzima jednofazni potrošač iz izvora.
1
Q

U m I m sin  sin 2 t
Drugi član je
(t )
2
koji pretstavlja jalovu snagu što je uzima jednofazni potrošač iz izvora
naizmjenične struje.
Obje komponente snage S(t) se vremenski mijenjaju sa dvostrukom
frekvencijom izvora naizmjeničnog napona.
Ako se umjesto maksimalnih uvrste u izrazima efektivne vrijednosti
napona i struje dobije se da je:
P(t )  U I cos  1  cos 2 t 
Q(t )  U I sin  sin 2 t
Srednja vrijednost radne snage P(t) date izrazom je P = U I cos 
U praksi je uobičajeno prikazivati jalovu snagu sa veličinomQ = U I sin 
Množenjem kompleksne vrijednosti napona i konjugirano kompleksne
vrijednosti struje, dobije se da je U  I *  U I e j (O )  U I j  U I cos  j U I sin 
Izraz U I cos  = S cos  = P, predstavlja radnu snagu potrošača, dok
Izraz U I sin  = S sin  = Q, predstavlja jalovu (reaktivnu) snagu
potrošača.
Na osnovu relacije, može se zaključiti da produkt kompleksne efektivne
vrijednosti napona i konjugirano kompleksne efektivne vrijednosti struje
daje kompleksni prikaz ukupne snage potrošača, poznate pod nazivom
kompleksna snaga, koja se može prikazati u obliku S  U I *  P  jQ.
Prikaz kompleksne snage Ŝ u kompleksnoj ravni
Radna snaga je jednaka realnom dijelu kompleksne snage:
P  Re S   U I cos .
Jalova snaga je jednaka imaginarnom dijelu kompleksne snage:
Q  I m S   U I sin  ,
dok je ukupna (prividna) snaga jednaka modulu kompleksne snage
S
P2  Q2  U I
Radna snaga je predana snaga izvora naizmjeničnog napona (mreže)
potrošaču. To je snaga koja može obaviti određeni rad. Ona se pri tome
pretvara u neki drugi oblik energije.
Vidljivo je da jalova snaga stalno mijenja svoj smjer toka pa je njen
rezultirajući rad jednak nuli. Stoga je i opravdano uvođenje naziva za
ovu snagu jalova snaga.
TROFAZNI NAPONI I STRUJE
Danas se većina električne energije proizvodi pomoću trofaznih izvora
napona. Da bi objasnili način dobijanja trofaznog napona, odaberimo tri
iste zavojnice, kao na slici.
Sistem prostorno pomaknutih triju zavojnica u stalnom magnetskom polju a);
vektorski prikaz indukovanih napona u zavojnicama b)
Zavojnice se nalaze u stalnom magnetskom polju. U zavojnicama (sa
počecima 1', 2' i 3' i završecima 1, 2 i 3), koje su prostorno pomaknute
jedna prema drugoj za 1200, indukuju se naponi ako se vrte kružnom
brzinom : U1(t) = Um sin  t
U2(t) = Um sin ( t-1200)
U3(t) = Um sin ( t-2400)
gdje je U1(t) – indukovani napon u prvoj, U2(t) – indukovani napon u
drugoj i U3(t) – indukovani napon u trećoj zavojnici.
Budući da smo pretpostvili da su sve tri zavojnice jednake, amplitude
indukovanih napona u njima biće iste. Jednadžbe se mogu prikazati i u
vektorskom obliku:
U1  U m e j  t
U 2  U m e j ( t 120
0
)
U 3  U m e j ( t  240
0
)
 1
3  j t
e
 U m    j
2 
 2
 1
3  j t
e .
 U m    j
2 
 2
Vektori su prikazani na slici i kada bi se sve tri zavojnice spojile u seriju
dobili bi između krajeva zbir sva tri napona, a zbir je jednak nuli.
Ta tri napona, dati jednadžbama čine trofazni sistem napona kada ih
spojimo na određeni način.U praksi se najčešće koriste dva načina
spoja, a to su spoj zavojnica u "zvjezdu" i "trokut".
Shematski prikaz spoja "zvijezda" a); uobičajeni način shematskog i slovnog
prikaza spoja "zvijezda" b); vektorski prikaz faznih i linijskih napona kod spoja
"zvijezda" c)
Naponi U1 , U2 i U3 označeni na slici su fazni naponi. Za označavanje
faznih napona općenito se koristi oznaka Uf . Osim faznih napona
postoje i tzv. linijski naponi. Linijski naponi su naponi između slobodnih
rajeva zavojnica odnosno slobodnih krajeva namota ostalih trofaznih
uređaja. Koristeći vektorski dijagram faznih i linijskih napona za spoj
"zvjezda", mogu se dobiti njihovi odnosi u obliku:
U12 ( t )  U1(t )  U 2 ( t )  U m 3 sin  t  300 


3 sin  t  210  .
U 23( t )  U 2 ( t )  U 3(t )  U m 3 sin  t  900
U 31(t )  U 3(t )  U1(t )  U m
0
Koristeći vektorski dijagram prikazan na slici, može se doći za
spoj u zvjezdu do odnosa između linijskog UL i faznog napona Uf:
UL  3 U f .
Uvedu li se po analogiji trofaznih izvora napona i pojmovi fazne struje If i
linijske struje IL dobije se druga karakteristika spoja zvjezda IL = If .
Spoji li se početak jedne zavojnice sa krajem druge zavojnice dobije se
spoj "trokut". Taj spoj je shematski prikazan na slici.
Sa te slike je uočljivo da je fazni napon U1 jednak linijskom naponu
U31, odnosno U2 = U12 , U3 = U23 . Općenito, dakle, vrijedi da je kod
spoja trokut UL = Uf .
Odnos linijske i fazne struje kod spoja trokut je I L  3 I f .
Shematski prikaz spoja "trokut" a); uobičajeni načini shematskog ili slovnog
prikaza spoja "trokut" b); vektorski prikaz faznih i linijsih napona kod spoja
"trokut" c)
Za razvod trofaznog napona potrebna su tri ili četiri voda. Kod spoja
trofaznog izvora električne energije (tj. generatora ili sekundara
trofaznog transformatora) u spoju zvjezda nekada se izvodi i nultačka 0
U tom slučaju se razvod trofaznog napona izvodi sa četiri voda. Tri
voda su tzv. "fazni vodovi", a četvrti tzv. "nula" odnosno "nulti vod".
Zvjezdište odnosno nultačka se izvodi uglavnom onda kada se na
razvod odnosno mrežu želi priključiti potrošače sa nominalnim
naponom jednakim linijskom i faznom naponu. Ako trofazni sistem
napona ima izvedenu nultačku, onda se obično označava u vidu
razlomka UL/Uf . Tako npr. 3x380/220 V označava trofazni sistem čiji je
linijski napon 380 V, a fazni 220 V.
SPAJANJE POTROŠAČA NA TROFAZNI SISTEM NAPONA
Na trofazni sistem napona (trofaznu mrežu) mogu se priključivati kako
trofazni tako i jednofazni potrošači. Trofazni potrošači mogu biti u spoju
“zvjezda ili trokut. Oni u većini slučajeva opterećuju mrežu "simetrično",
tj. svaki fazni vod sa istom jačinom struje, pri čemu svaka fazna struja
ima isti fazni pomak prema svom faznom naponu.
Na slikama je prikazan način spajanja jednofaznog i trofaznog
potrošača na mrežu 3x380/220 V, dok je na slici prikazan
odgovarajući vektorski dijagram napona i struja trofazne simetrično
opterećene mreže.
Shematski prikaz priključka jednofaznog i trofaznog potrošača na trofaznu
mrežu sa četiri voda a); vektorski prikaz napona i struja trofazne simetrično
opterećene mreže b)
Kod trofazne simetrično opterećene mreže kroz nulti vod ne teče
nikakva struja.
Shematski prikaz priključka potrošača na trofaznu mrežu sa tri
vodiča a); vektorski prikaz napona i struje date trofazne mreže b)
SNAGA TROFAZNOG IZVORA ODNOSNO POTROŠAČA
Snaga trofaznog izvora odnosno trofaznog potrošača je jednaka zbiru
snaga pojedinih faza. Izraz za snagu trofaznog izvora napona, odnosno
trofaznog potrošača, je jednostavno izvesti ukoliko se radi o
simetričnom opterećenju. Pokažimo to na primjeru trofaznog potrošača
prikazanog na slici. Snage svake faze P = Uf If cos  , Q = Uf If sinφ ,
i S = Uf If su jednake. Odgovarajuće snage sve tri faze potrošača su tri
puta veće pa se može pisati da je:
P = 3 Uf If cos 
Q = 3 Uf If sin 
S = 3 Uf If
gdje je P radna, Q jalova i S prividna snaga trofaznog potrošača.
Snage P, Q i S se izražavaju pomoću linijskih veličina napona i struje. Ti
izrazi su:
P  3 U L I L cos 
Q  3 U L I L sin 
S  3 UL IL .
Ovi izrazi za P, Q i S su univerzalniji, a vrijede i za sistem mreže sa tri
vodiča te spoja izvora odnosno potrošača u trokut ili zvjezdu.
UTICAJ SPOJA ZVJEZDA I TROKUT NA SNAGU TROFAZNOG
POTROŠAČA
Priključi li se trofazni potrošač sa spojem zvjezda na trofaznu mrežu,
njegova radna snaga je data izrazom P  3 U L I Lz cos  ,
gdje je: ILz – linijska struja potrošača kod spoja zvjezda,
UL – linijski napon mreže odnosno potrošača,
P - radna snaga trofaznog potrošača kod spoja u zvjezdu.
Radna snaga tog istog potrošača sa spojem u trokut i priključka na istu
mrežu, data je izrazom P  3 U L I Lt cos  ,
gdje je: ILt – linijska struja kod spoja trofaznog potrošača u trokut;
UL – linijski napon mreže odnosno potrošača;
P - radna snaga trofaznog potrošača kod spoja u trokut.
Odnos snaga istog trofaznog potrošača kod spoja trokut i zvjezda je
P I Lt

.
P I Lz
To znači da se snaga P i P odnose kao linijske struje ILt i ILz . Da bi
dobili nihov odnos izrazimo ILt pomoću ILz .Karakteristika spoja trokut
je I Lt  3 I ft
da je
gdje je Ift – fazna struja kod spoja potrošača i trokut
Obzirom da je fazni napon kod spoja potrošača u trokut veći puta od
faznog napona kod spoja potrošača u zvjezdu, očito je da vrijedi odnos
da je
I ft  3 I f z  3 I Lz .
Proizilazi da je I Lt  3 .
I Lz
Supstituirajući ovaj odnos ILt/ILz u izrazu za odnos snaga dobije se da je
P = 3 P .
Iz izraza slijedi da je radna snaga P, koju trofazni potrošač uzima iz
mreže kod spoja u trokut tri puta veća od snage P tog istog trofaznog
potrošača spojenog u zvjezdu i priključenog na istu mrežu. Ova
mogućnost promjene snage trofaznog potrošača spajanjem u trokut i
zvjezdu koristi se često u praksi, a kao primjer navodimo transformatore
za elektrolučne peći i trofazne asinhrone motore nekih velikih pogona.