Transcript презентацяи к лекции - Кафедра прикладной и компьютерной

Аппроксимация
Численные методы в оптике
кафедра
прикладной и компьютерной оптики
2
Система линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ)
Система m линейных алгебраических уравнений с n
неизвестными (СЛАУ):
 a11 x1  a12 x 2  ...  a1 n x n  b1

 a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n  b 2

 ...
 a m 1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  b m





m - количество уравнений
n - количество неизвестных
x1, x2, …, xn - неизвестные, которые надо определить
a11, a12, …, amn - коэффициенты системы
b1, b2, … bm - свободные члены (известны)
3
СЛАУ в матричной форме
A X  B



 a11

 a 21
A m  n   
...

a
 m1
a12
...
a 22
...
...
...
am 2
...
a1 n 

a2n 
... 

a mn 
 b1

 b2
B m   
...

b
 m







 x1 
 
 x2 
X n    
...
 
x 
 n
A - матрица системы
X - столбец неизвестных
B - столбец свободных членов
Система СЛАУ называется:
 квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных
 однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1=b2= … =bm=0)
неоднородной если не все свободные члены равны нулю
 совместной, если она имеет хотя бы одно решение
несовместной, если у неё нет ни одного решения
 определённой, если она имеет единственное решение
неопределённой, если у неё есть хотя бы два различных решения
 переопределённой, если уравнений больше, чем неизвестных
4
Методы решений СЛАУ
Если матрица системы квадратная, и ее определитель ≠0:



Метод Крамера – вычисление определителей матрицы
Метод Гаусса – последовательное исключение переменных
Матричный метод – метод решения через обратную матрицу
X A
1
B
Для переопределенных СЛАУ (количество уравнений
больше количества неизвестных, т.е. m > n)
 система не имеет единственного точного решения, но можно найти
«оптимальный» вектор X

Метод наименьших квадратов (МНК)
5
Аппроксимация данных
Имеется набор экспериментальных данных yi , xi
Задача: аппроксимировать экспериментальные
данные некоторой функцией f (xi)

например f ( x i )  a1  a 2  x i  a 3 
2
xi
A X  B
x1
...
xi
...
xm
2
x1 

... 
2 
xi 
... 
2 
xm 



B m   




y1 

... 
yi 

... 

ym 
x1
f2
x2
… …
fi
xi
… …
Составим систему линейных уравнений:
1

 ...

A m  n   1

 ...

1
f1
 a1 
 
X n    a 2 
a 
 3
fn
xn
6
Метод наименьших квадратов
(МНК)
Коэффициенты аппроксимирующей функции
вычисляются таким образом, чтобы среднеквадратичное
отклонение экспериментальных данных от найденной
аппроксимирующей функции было наименьшим

 



2
  i   min
 i  y i  f ( xi )

i
В матричной форме:
 A  X  B T  A  X  B  
min
Метод наименьших квадратов:

X  A
T
A

1
A
T
B
7
Аппроксимация зависимости n(λ)
Дисперсионная формула - это аппроксимация,
позволяющая описывать зависимость показателя
преломления от длины волны n(λ)

Пример графика дисперсии для стекла К8
Для каждой оптической среды
определяется набор
коэффициентов, значения
которых позволяют
восстанавливать показатель
преломления
8
Дисперсионные формулы
Формула Герцбергера
n ( )  1   2    3   4 L   5 L   6 L
2
4
2
3


2 1
L    0
2
 0  0 , 028 мкм
2
2
Формула Зелмейера
n ( ) 
1
c1
c2
2
  c4
2

c3
2
  c5
2

2
  c6
2
Формула Шотта
n ( ) 
c1  c 2  
2
c3

2
c4



4
c5

6

c6

8
Формула Резника
n (  )  c 2  c 4  c 6
 
L  La 
L
  a
2
 
L 
 c 8
a 
3
 c10
1
La 
  c1
2
 max   min
2
2

2
4
 c3   c5 
L max  L min
3
 max   min
2
2
4
L min  L max
2
2
 
 c7   c9 
L 
2
2
2
2
 c11 
5
L max 
1
2
 max
 c1
L min 
1
2
 min
 c1
9
Аппроксимация по формуле
Герцбергера
Система уравнений в матричном виде
Λ M  N
1

1
Λ m  6   
 ...
1


n
i
1
2
1
L1
L1
i
2
i
4
Li
Li
...
...
...
...
m
m
Lm
Lm
2
4
4
2
2
2
3
L1 

3
Li 

... 
3
L m 
 1 



 2
M 6   
... 


 
 6
 n 1

 n
N m    i
...

n
 m







– известные показатели преломления для длин волн  i
 для вычислений достаточно шести известных значений n, но для повышения
точности вычисления можно взять больше


m – количество известных показателей преломления (m ≥ 6)
 1 ,...,  6 – параметры уравнения Герцбергера
10
Матрица весов
Для учета погрешности умножаем обе части уравнения на
диагональную матрицу весов:
Q Λ M  Q N
 элементы матрицы пропорциональны корню квадратному из погрешностей
соответствующих показателей
 q1


Q m  m   

0

...
Длины волн
...
0 




q m 
qi 
ni
Спектральные линии
365,01 нм, 404,66 нм
434,05 - 656,28 нм
1
i
G g
F
1
h
e
Весовой коэффициент
d
D C
10
0.7 - 1,4 мкм
1
1,5 - 2,6 мкм
0,1
11
Метод наименьших квадратов
Решение системы уравнений при помощи метода
наименьших квадратов:

M  Λ
T
Q  Λ
2

1
Λ
T
Q N
2
12
Лабораторная работа №4
По формуле Герцбергера рассчитать показатель
преломления стекла nλ для трех длин волн
Реализовать возможность расчета произвольного
показателя преломления для длин волн от 0.3 до 2 мкм


результат расчета для стандартных длин волн можно проверить в
каталоге стекла GlassBank (http://glassbank.ifmo.ru/rus/)
вследствие округления точные значения рассчитанных показателей
преломления могут варьироваться в пределах 4-5 знака после запятой
Для работы с матрицами воспользоваться библиотекой
Boost::uBLAS
Задание оценивается в баллах:



8 баллов - выполнение работы
+ 1 балл - выполнение работы в срок
+ 2 балла - первому кто сдаст отчет