презентацяи к лекции - Кафедра прикладной и компьютерной
Download
Report
Transcript презентацяи к лекции - Кафедра прикладной и компьютерной
Аппроксимация
Численные методы в оптике
кафедра
прикладной и компьютерной оптики
2
Система линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ)
Система m линейных алгебраических уравнений с n
неизвестными (СЛАУ):
a11 x1 a12 x 2 ... a1 n x n b1
a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n b 2
...
a m 1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n b m
m - количество уравнений
n - количество неизвестных
x1, x2, …, xn - неизвестные, которые надо определить
a11, a12, …, amn - коэффициенты системы
b1, b2, … bm - свободные члены (известны)
3
СЛАУ в матричной форме
A X B
a11
a 21
A m n
...
a
m1
a12
...
a 22
...
...
...
am 2
...
a1 n
a2n
...
a mn
b1
b2
B m
...
b
m
x1
x2
X n
...
x
n
A - матрица системы
X - столбец неизвестных
B - столбец свободных членов
Система СЛАУ называется:
квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных
однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1=b2= … =bm=0)
неоднородной если не все свободные члены равны нулю
совместной, если она имеет хотя бы одно решение
несовместной, если у неё нет ни одного решения
определённой, если она имеет единственное решение
неопределённой, если у неё есть хотя бы два различных решения
переопределённой, если уравнений больше, чем неизвестных
4
Методы решений СЛАУ
Если матрица системы квадратная, и ее определитель ≠0:
Метод Крамера – вычисление определителей матрицы
Метод Гаусса – последовательное исключение переменных
Матричный метод – метод решения через обратную матрицу
X A
1
B
Для переопределенных СЛАУ (количество уравнений
больше количества неизвестных, т.е. m > n)
система не имеет единственного точного решения, но можно найти
«оптимальный» вектор X
Метод наименьших квадратов (МНК)
5
Аппроксимация данных
Имеется набор экспериментальных данных yi , xi
Задача: аппроксимировать экспериментальные
данные некоторой функцией f (xi)
например f ( x i ) a1 a 2 x i a 3
2
xi
A X B
x1
...
xi
...
xm
2
x1
...
2
xi
...
2
xm
B m
y1
...
yi
...
ym
x1
f2
x2
… …
fi
xi
… …
Составим систему линейных уравнений:
1
...
A m n 1
...
1
f1
a1
X n a 2
a
3
fn
xn
6
Метод наименьших квадратов
(МНК)
Коэффициенты аппроксимирующей функции
вычисляются таким образом, чтобы среднеквадратичное
отклонение экспериментальных данных от найденной
аппроксимирующей функции было наименьшим
2
i min
i y i f ( xi )
i
В матричной форме:
A X B T A X B
min
Метод наименьших квадратов:
X A
T
A
1
A
T
B
7
Аппроксимация зависимости n(λ)
Дисперсионная формула - это аппроксимация,
позволяющая описывать зависимость показателя
преломления от длины волны n(λ)
Пример графика дисперсии для стекла К8
Для каждой оптической среды
определяется набор
коэффициентов, значения
которых позволяют
восстанавливать показатель
преломления
8
Дисперсионные формулы
Формула Герцбергера
n ( ) 1 2 3 4 L 5 L 6 L
2
4
2
3
2 1
L 0
2
0 0 , 028 мкм
2
2
Формула Зелмейера
n ( )
1
c1
c2
2
c4
2
c3
2
c5
2
2
c6
2
Формула Шотта
n ( )
c1 c 2
2
c3
2
c4
4
c5
6
c6
8
Формула Резника
n ( ) c 2 c 4 c 6
L La
L
a
2
L
c 8
a
3
c10
1
La
c1
2
max min
2
2
2
4
c3 c5
L max L min
3
max min
2
2
4
L min L max
2
2
c7 c9
L
2
2
2
2
c11
5
L max
1
2
max
c1
L min
1
2
min
c1
9
Аппроксимация по формуле
Герцбергера
Система уравнений в матричном виде
Λ M N
1
1
Λ m 6
...
1
n
i
1
2
1
L1
L1
i
2
i
4
Li
Li
...
...
...
...
m
m
Lm
Lm
2
4
4
2
2
2
3
L1
3
Li
...
3
L m
1
2
M 6
...
6
n 1
n
N m i
...
n
m
– известные показатели преломления для длин волн i
для вычислений достаточно шести известных значений n, но для повышения
точности вычисления можно взять больше
m – количество известных показателей преломления (m ≥ 6)
1 ,..., 6 – параметры уравнения Герцбергера
10
Матрица весов
Для учета погрешности умножаем обе части уравнения на
диагональную матрицу весов:
Q Λ M Q N
элементы матрицы пропорциональны корню квадратному из погрешностей
соответствующих показателей
q1
Q m m
0
...
Длины волн
...
0
q m
qi
ni
Спектральные линии
365,01 нм, 404,66 нм
434,05 - 656,28 нм
1
i
G g
F
1
h
e
Весовой коэффициент
d
D C
10
0.7 - 1,4 мкм
1
1,5 - 2,6 мкм
0,1
11
Метод наименьших квадратов
Решение системы уравнений при помощи метода
наименьших квадратов:
M Λ
T
Q Λ
2
1
Λ
T
Q N
2
12
Лабораторная работа №4
По формуле Герцбергера рассчитать показатель
преломления стекла nλ для трех длин волн
Реализовать возможность расчета произвольного
показателя преломления для длин волн от 0.3 до 2 мкм
результат расчета для стандартных длин волн можно проверить в
каталоге стекла GlassBank (http://glassbank.ifmo.ru/rus/)
вследствие округления точные значения рассчитанных показателей
преломления могут варьироваться в пределах 4-5 знака после запятой
Для работы с матрицами воспользоваться библиотекой
Boost::uBLAS
Задание оценивается в баллах:
8 баллов - выполнение работы
+ 1 балл - выполнение работы в срок
+ 2 балла - первому кто сдаст отчет