Transcript 1) Презентация Microsoft Power Point ~ 2,89 kB

Модели в виде системы
одновременных уравнений
1. Авторегрессия
Рассмотрим элементарную макроэкономическую модель
C t  a0  a1Y t  u t 

Y t  Ct  I t

M u t   0

2
2



σ ut
σu

(1.1)
В приведенной форме модель (1.1) имеет вид
2  a1 
a0
a1


Ct 
ut
1  a1 1  a1 I t 1  a1 


1
1
a0



ut 
Yt
It
1  a1 1  a1
1  a1

M u t   0

2
2

σ u t   σu

Из (1.2) видно, что COV(Yt,ut)≠0
(1.2)
2. Проблема идентификации уравнений
Пример. Имеем элементарную модель конкурентного
рынка
y dt
y st
y dt
a1
 a 0  a1  p t 
 b 0  b1  p t 

 y st ,

 0, b1  0 
(2.1)
По результатам наблюдений необходимо получить
оценки параметров a0, a1, b0, b1
Что доступно для наблюдений? Равновесная цена p*t и
соответствующие ей уровни спроса и предложения,
причем Yst=Ydt=Y*t
Графически это выглядит так
yt
yd
ys
E0
y*t
p*t
pt
Из приведенной формы уравнений модели видно

a0  b0
p 


b1  a1
a0 b1  b0 b1 
*

yt 
b1  a1 

*
t
Вопрос. Как преодолеть эту проблему?
Вспомним, что на спрос влияет располагаемый доход
y dt  a0  a1  p t  a2 x t 

y st  b0  b1  p t

y dt  y st ,

a1  0, b1  0

Что это дает?
yd2
yt
y*t(x1)
y*t(x2)
(2.2)
yd
E2
1
ys
E1
p*t(x1)
p*t(x2)
pt
Вывод. Введение в первое уравнение системы (2.1)
дополнительной экзогенной переменной xt привело к
тому, что второе уравнение стало идентифицируемо.
Правило. Для устранения проблемы идентификации
необходимо:
1. Дополнить уравнения системы
дополнительными предопределенными переменными
2. Дополнительные переменные включаются в
уравнения смежные с неидентифицируемыми
Идентифицируемая модель конкурентного рынка
y dt  a 0  a1  p t  a2 x t  ut 

y st  b 0  b1  p t -1  v t

y dt  y st ,

a1  0, b1  0

(2.3)
Остаются вопросы:
1. Как определить, какие уравнения в модели
являются неидентифицируемые
2. Как определить, какие уравнения в модели
идентифицируемые
Ответ на первый вопрос дает теорема, которая имеет
название «правило порядка» и формулирует
необходимое условие идентифицируемости i-го
уравнения модели
Общий вид каждого уравнение модели в структурной
форме можно записать как:
ai1  y1t    aii  y it    aiG  yGt 
 bi1  x1t    biK  xKt  uit
(2.4)
где: G – количество эндогенных переменных в модели
K – количество предопределенных переменных в
модели
Замечания.
1. В общем виде коэффициенты aij, стоящие перед
эндогенными переменными образуют матрицу A={aij}
размерностью GxG. Относительно матрицы А будем
предполагать, что она не вырождена
2. Дополнительно будем предполагать, что i-ое поведенческое уравнение модели (2.4) может быть разрешено
относительно переменной yit, т.е. предполагаем, что
aii=1
Последнее равенство называется условием
нормализации
Как правило, условие нормализации для поведенческих
уравнений модели (2.4) выполняется автоматически
Необходимое условие идентифицируемости
Теорема 1. Пусть i-ое поведенческое уравнение модели
(2.4) идентифицируемо. Тогда справедливо неравенство
Mi (пред)  G – Mi (энд) – 1.
(2.5)
В нём:
Mi (пред) – количество предопределённых
переменных модели, не включённых в i-ое уравнение;
Mi (энд) – количество эндогенных переменных
модели, не включённых в i-ое уравнение.
Замечание. Справедливость неравенства (2.5) является
необходимым условием идентифицируемости i-го
уравнения. Это значит, что, когда неравенство (2.5)
несправедливо, то i-ое уравнение заведомо
неидентифицируемо. Однако при выполнении неравенства
(2.5) ещё нельзя сделать вывод о идентифицируемости
данного уравнения
Условие (2.5), именуемое правилом порядка, позволяет
выявлять неидентифицируемые уравнения модели, но не
даёт возможности отмечать её идентифицируемые
уравнения
Определение неидентифицируемых уравнений
производится методом «от противного»: если условие (2.5)
не выполняется для i-го уравнения, то оно
неидентифицируемо
Задача. Показать, что оба уравнения модели (2.3) не
являются неидентифицируемыми
Здесь:
y dt  a0  a1  p t  a2 x t  ut 

y st  b0  b1  p t -1  v t

y dt  y st ,

a1  0,b1  0

(2.3)
(ydt, yst,pt) – эндогенные переменные (G=3)
(1, xt, pt-1) – предопределенные переменные (K=3)
Для первого уравнения: М(пред)=1, М(энд)=1,
М(пред)=G-М(энд)-1 (1=3-1-1)
Для второго уравнения: М(пред)=1, М(энд)=2, М(пред)>GМ(энд)-1 (1>3-2-1)
Введем еще несколько понятий, связанных с уравнением
(2.4) Пусть

T

(a
,

,
a
;
b
,

,
b
)
ai
1t
Gt
1t
Kt
(2.6)
набор коэффициентов i-го уравнения модели
Матрица A = (aij) является не вырожденной и будем
считать, что любое уравнение (2.4) может быть решено
относительно yi и приведено к нормализованному виду
(ai=1)
Определение. Ограничениями называется система из
Li линейных однородных алгебраических уравнений

Ri  ai  0
(2.7)
которым априорно удовлетворяет вектор набора
коэффициентов (2.6) коэффициентов i-го уравнения
Пример. Модель конкурентного рынка (2.3)
y td  a0  a1  pt  a2 x t  u t 

y ts  b0  b1  pt -1  v t

y td  y ts ,

a1  0, b1  0



d
s
y  yt , yt ,pt

(2.3)

X  1, xt ,pt 1
Коэффициенты её первого уравнения, такие:
a11 = 1, a12 = 0, a13 = -a1, b11 = -a0, b12 = -a2, b13=0
Следовательно, вектор этих коэффициентов
a1=(1, 0, -a1, -a0, -a2,0)T
(2.8)
Тогда, вектор (2.8) заведомо удовлетворяет двум (L = 2)
ограничениям, которые можно представить в форме
линейных однородных уравнений (2.7) относительно
компонентов вектора (2.6) с матрицей
a1=(1, 0, -a1, -a0, -a2,0)T
 0 1 0 0 0 0

R  
 0 0 0 0 0 1




T
 
r 1  a1  0,1,0,0,0,0   1,0, a1, a0, a2,0  0
T
 
r 2  a1  0,0,0,0,0,1  1,0, a1, a0, a2,0  0
Обозначим символом Ā расширенную матрицу
коэффициентов структурной формы модели (2.4)
A  (A | B)
(2.8)
Теорема. (Правило ранга) i-ое уравнение модели (2.4)
идентифицируемо тогда и только тогда, когда
справедливо равенство
rk(A  RiT )  G  1
(2.9)
В нём символом rk обозначен ранг произведения
матрицы (2.8) и RiT
Условие (2.9) является необходимым и достаточным
для идентифицируемости i-го уравнения модели
Пример. Проиллюстрируем процедуру использования
критерия (2.9) на примере уравнений модели (2.11).
y td  a0  a1  pt  a2 x t  u t 

y ts  b0  b1  pt  v t

y td  y ts ,

a1  0, b1  0

(2.11)
Ее расширенная матрица
 1 0  a1  a0  a2 


A  (A | B)   0 1  b1  b0 0 


1 1 0
0
0 

(2.10)
Отметим, что для третьего уравнения модели (2.11)
условие нормализации не выполняется. Однако это
уравнение является тождеством, к которому проблема
идентификации не имеет отношение.
Для первого уравнения модели (2.11) :
Вычисляем значение критерия (2.9)
 1 0  a1  a0

A  R1T   0 1  b1  b0

1 1 0
0

0
 
 a2  1   0 
   
0  0    1 
   
0  0    1
 
0
0
 
rk  1   1
 
  1
 
(2.12)
Проверяем условие (2.9): rk=G-1 1≠3-1=2, следовательно,
первое уравнение модели (2.11) неидентифицируемо
Для второго уравнения модели (2.11) имеем:
 1 0 0 0 0

R2  
 0 0 0 0 1
Вычисляем значение критерия (2.9)
1

 1 0  a1  a0  a2  0


T
A  R1   0 1  b1  b0 0  0
1 1 0
 0
0
0


0

0

0   1  a2 



0  0 0 
 
0   1 0 
1 
 1  a2 


rk  0 0   2
1 0 


Проверка условия (2.9): rk=G-1 2=3-1=2,
следовательно, второе уравнение модели (2.11)
идентифицируемо
Замечания.
1. Если условие (2.9) выполняется точно:
rk(ĀRTi)=G-1,
то уравнения модели точно идентифицированы
2. Если условие (2.9) выполняется не точно:
rk(ĀRTi)>G-1,
то уравнения модели сверхидентифицированы
Выводы.
1. При спецификации моделей в виде системы
одновременных уравнений возникают две основные
проблемы:
- авторегрессионность уравнений модели
- неидентифицируемость модели
2. Преодолеть проблему неидентифицируемости
уравнений модели можно путем введения дополнительных
предопределенных переменных в уравнения смежные с
неидентифицируемыми