Transcript Symetrie-1

Symétrie – le début
On peut dire qu’un objet géométrique possède une propriété de
symétrie, ou tout simplement une symétrie, si, en lui appliquant une
transformation, l’objet ne peut pas être distingué de celui de
départ.
benzène
2-chlorophénol
En science physique, comme en chimie, la notion de symétrie est
reliée à celle de transformations laissant invariant l’objet
considéré.
2
Nous entendons par invariant qu’une personne qui aurait
attentivement regardé cet objet avant de se cacher la vue, ne saurait
dire s’il a effectivement subi une transformation en le regardant à
nouveau.
Pour analyser si un objet est symétrique, il va donc falloir lui faire
subir différentes opérations (opérations géométriques pour des
objets dans l’espace, mathématiques pour des courbes ou des
équations...). On dit alors que l’objet est invariant sous certaines
opérations s’il n’est pas modifié par ces transformations.
O
O
rotation de 180°
H1
C2
H2
H2
H1
3
Une opération de symétrie est
caractérisée par un ou plusieurs
élément(s) de symétrie :
 identité
 axe de rotation propre
 plan de symétrie
 axe de rotation impropre
 centre d’inversion
Il faut se donner un repère fixe (choisi le plus judicieusement
possible) pour pouvoir appliquer ces différentes opérations.
Une opération de symétrie est donc entièrement caractérisée
par l’élément de symétrie que l’on considère et l’action qu’on
lui associe.
4
C2
C2
C2
C2
s
Plus une molécule est symétrique, plus
elle possède d’éléments de symétrie qui
la laisse invariante lorsque l’on applique
des opérations de symétrie
5
Élément de symétrie :
axe de rotation : Cn
O
O
rotation de 180°
La molécule d’eau :
H1
C2
H2
H2
H1
Un axe de rotation (axe de symétrie) est une droite traversant la molécule,
telle qu’une rotation de 2p/n produit une molécule qu’il est impossible de
distinguer de celle du départ (H1H2).
ATTENTION: la molécule après rotation n’est pas identique à celle avant
rotation, mais on ne peut pas les distinguer l’une de l’autre.
L’axe de symétrie d’ordre « n » est symbolisé par Cn.
Dans notre cas: 2p/n = p  n = 2
L’axe de rotation est un axe de deuxième ordre : C2 .
6
La rotation est toujours dans le sens des aiguilles d'une montre
(horaire ou clockwise).
L’application successive de deux opérations C2 sur la même molécule
d’eau résulte dans la molécule d’origine (identique): C1 ( 2p/1 = 2p).
O
O
rotation de 180°
H1
C2 H2
O
rotation de 180°
H2
C2 H1
H1
H2
La rotation de 2p est équivalent à l’élément identité : E .
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L’opération d’une rotation de p autour d’un axe C2 est symbolisée par C21.
L’opération correspondant à l’application de deux opérations C21 peut être
symbolisée par C22.
C22 est équivalent à E.
Cnn est équivalent à E (n: nombre entier, positif).
C  C  C C  C2  E
1
2
1
2
1
2
1
2
2
Cn  E
n
Exemple : l’ammoniac NH3
C3
L’ammoniac possède seulement
un axe de symétrie propre
8
C3
C31
C32
E
C33
9
Exemple : benzène C6H6
Si une molécule a plusieurs axes de symétrie, on appelle
l’axe d’ordre le plus élevé l’axe principal.
C6H6: L’axe principal du benzène est l’axe C6.
Il contient par définition un axe C3 et un axe C2 qui sont
coaxiaux à l’axe C6.
C6  C
2
1
3
C6  C
3
1
2
En général:
Un axe d’ordre pair (> 2) contient des axes d’ordre pair moins élevé.
Un axe C8 doit contenir des axes C4 et C2.
C6
C3
C2
De plus dans le benzène, il existe 6 axes
C2 perpendiculaires () à l’axe principal.
C2’
C2’’
10
Exemple d’axe propre
C4
C4
11
Exemple d’axe propre (suite)
C2
C2
12
Exemple d’axe propre (suite)
C6
C6
13
Élément de symétrie :
plan de réflexion : s
s
s’
14
C2
Plan de réflexion : s
Ces deux plans de réflexion contiennent
l’axe principal (vertical) de la molécule,
nous parlerons donc de sv.
sv’
sv
15
NH3 possède 3 plans de réflexion sv, sv’, sv’’:
- ils passent tous par le N
- ils contiennent tous un H
- ils ont un angle de 120° (2p/3) entre eux.
16
Autres types de plan de réflexion:
Molécule plane [AuBr4]–
C4
- axe principal: C4 (360°/n=90°, n=4)
- axes C2  à l’axe principal
C2
Combien de plans de réflexion
dispose cette molécule ?
C2
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Quatre plans contenant l’axe principal, donc quatre plans verticaux :
sv
- deux qui contiennent chacun deux liaisons Au-Br (sv  sv’)
sd
- et deux autre ne contenant aucune liaison Au-Br (sd  sd’)
(d: angle dièdre “dihedral”)
sv – contient une liaison Au-Br,
sd – bissecteur des angles Br-Au-Br
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Il existe un autre plan de réflexion (à part de sv et sd) :
sh
Ce plan est  à l’axe principal et la molécule se
trouve complètement dans le plan. L’opération de
symétrie laisse tous les atomes invariés.
Plan de réflexion sh (h : horizontal)
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Réflexion selon un plan (suite)
sd
20
Exemple: CF2H2
C2
sV’ : Dans le plan F-C-F
sv  sv’
sV: Dans le plan H-C-H
21
Exemple: C6H6
C6,…
sh
sd
C2
C2
C2
sv
22
Élément de symétrie :
centre d’inversion : i
Un autre élément de symétrie d’une molécule est le centre d’inversion i.
Une molécule donnée peut seulement posséder un seul centre
d’inversion (ou aucun).
Comment trouver un centre d’inversion ?
par examen
i centre d’inversion
i
inversion
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Le Pd ne change pas de position, mais tous les Cl s’interchangent
avec leurs atomes opposés. Si la molécule est équivalente après
l’opération de symétrie, oui le PdCl4 possède un centre d’inversion
comme élément de symétrie.
Une deuxième manière de trouver un centre d’inversion:
- description mathématique
Si le centre d’inversion est placé à l’origine d’un repère cartésien
(x,y,z) et que les positions des atomes de la molécule sont données
par les coordonnées (xi,yi,zi), le centre d’inversion est un élément
de symétrie pour une molécule si en remplaçant tous les
coordonnées des atomes (xi,yi,zi) par (-xi,-yi,-zi) résulte dans une
molécule équivalente (qui se voit invariante).
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z
y
x
i centre d’inversion
i
inversion
(xc, yc, zc)
(x-a, y-a, z-a) = (xc, yc, zc)
i
 x,  y, z 
 x, y, z  
25
Exemple d’inversion (suite)
i
i
26
Exemple d’inversion (suite)
i
i
27
Exemple d’inversion (suite)
i
i
28
Éléments de symétrie:
axes de rotation-réflexion (rotation impropre) : S
C4
on peut distinguer les molécules !
On peut symboliser le CF4 par une croix comme celle-ci
2
1
1
3
4
C4
4
2
3
29
Si nous appliquons maintenant une réflexion dans un plan  à l’axe de rotation
(plan de l’écran) nous obtenons une molécule semblable:
2
1
1
3
C4
4
4
1
2
3
s
4
2
3
La combinaison rotation – réflexion dans un plan perpendiculaire est un élément
de symétrie nommé “axe de rotation impropre”, notation Sn.
Dans notre cas il s’agit de S4 où n = 4.
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Application successive de S4:
2
1
4
1
3
S4
4
4
2
S4
3
3
1
S4
2
2
3
2
4
S4
1
1
3
4
2
S4
S43
S44
• Les seules opérations de symétrie uniques à partir d’un axe S4
sont S41 et S43.
S44 = C22 = E • Un axe S4 doit posséder un axe C2 coaxial (lui-même élément
de symétrie de la molécule).
• En général: pour chaque axe Sn d’ordre pair il existe un axe
coaxial Cn/2.
S42 = C21
Axe S6: opérations successives
S62 = C31
S6 3 = i
S64 = C32
S6 6 = E
seulement S61 et S65 sont uniques.
S2 est unique:
une rotation C2 suivi d’une réflexion est aussi une inversion.
En chimie on considère le cas du S2 comme une inversion : i .
31
Sn avec n= impair (3, 5, …) est plus problématique:
S33 par exemple n’est pas équivalent à E: S33 correspond à une opération s.
L’application d’une rotation impropre d’un nombre impair signifie un nombre impair
de réflexions: le résultat de S33 correspond à une réflexion dans un plan  à l’axe de la
rotation impropre.
Par contre, l’opération S36 correspond à E.
S32 = C32
S3 3 = s
S34 = C3
S3 6 = E
seulement S31 et S35 sont uniques.
PF5
C3, S3
Fa
 Plusieurs opérations de rotation impropre
impaire peuvent être décrites par d’autres
opération de symétrie
Fb
Fc
Fe
S3
P
Fd
P
Fd
Fc
Fb
Fb
Fe
S3
P
P
Fe
Fa
Fc
Fd
P
Fd
Fa
Fd
Fa
Fb
Fe
S3
Fc
Fb
 Sn2n = E
Fa
Fe
Fd
S3
Fc
P
Fe
Fc
Fb
Fa
32
Exemple d’un axe impropre
S2
Décomposition du mouvement page suivante
33
Exemple d’un axe impropre (suite)
s
C2
S2
s perpendiculaire à l’axe C2
34
Exemple d’un axe impropre (suite)
i
Si 2
s perpendiculaire à l’axe C2
35
Exemple d’un axe impropre (suite)
Vue du coté
Vue du haut
36
Exemple d’un axe impropre (suite)
s
C4
S4
s perpendiculaire à l’axe C4
37
Exemple d’un axe impropre (suite)
38
Exemple d’un axe impropre (suite)
En résumé :
S4
39
Exemple d’un axe impropre (suite)
2
1
3
4
40
Exemple d’un axe impropre (suite)
S4
s
C4
2
1
1
3
1
C4
4
4
2
3
s
4
2
3
S4
s perpendiculaire à l’axe C4
41
Exemple d’un axe impropre (suite)
Dans un octaèdre comme le SF6, on observe un axe impropre
du type S6. Bien qu’il soit difficilement observable, on peut
représenter la molécule par une étoile à 6 pointes. On considère
que le blanc est en avant-plan et que le gris en arrière-plan
1
3
4
6
5
2
42
Exemple d’un axe impropre (suite)
1
3
4
C6
6
s
5
2
S6
s perpendiculaire à l’axe C4
43
Exemple d’un axe impropre (suite)
s
C6
S6
44
Exemple d’un axe impropre (suite)
Vue du haut
Vue de coté
45
Exemple d’un axe impropre (suite)
1
6
7
5
2
10
8
4
3
9
46
Exemple d’un axe impropre (suite)
1
6
7
2
5
C10
s
8
10
4
3
9
S10
s perpendiculaire à l’axe C4
47
Exemple d’un axe impropre (suite)
s
C10
S10
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Bibliographie
P. H. Walton: “CHIMIE ET THÉORIE DES GROUPES”
DeBoeck Université, 2001
F. A. Cotton:
“APPLICATION DE LA THÉORIE DES GROUPES À
LA CHIMIE” Dunod Université, 1968
J. Hladik :
“LA THÉORIE DES GROUPES EN PHYSIQUE ET
CHIMIE QUANTIQUE ” Masson , 1995
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