Transcript Изтегли

ТРИГОНОМЕТРИЧНИ
ФУНКЦИИ НА ОБОБЩЕН
ЪГЪЛ
Определения. Свойства.
Основни тригонометрични
тъждества
Функциите синус и косинус
Определения:
О1
Функция, която съпоставя
на всеки обобщен ъгъл ординатата на
точката, в която второто му рамо
пресича тригонометричната окръжност,
се нарича синус.
О2
Функция, която съпоставя на всеки
обобщен ъгъл абсцисата на точката, в
която второто му рамо пресича
тригонометричната окръжност, се нарича
косинус.
На чертежа:
sin   y P cos  x P
От определенията следва изводът за
знака на стойностите на функциите
синус и косинус в зависимост от това, в
кой квадрант на координатната система
е второто рамо на ъгъла:
І квадрант: sin α > 0; cos α > 0
ІІ квадрант: sin α > 0; cos α < 0
III квадрант: sin α < 0; cos α < 0
IV квадрант: sin α < 0; cos α > 0
y
Py
sin
O
P

cos Px x
P
y
Py
sin

Px cos O
x
y
Px cos
P

O
sin
Py
x
y

Px
O cos
sin
Py
x
P
Свойства на функциите синус
и косинус
Периодичност
Тъй като т. Р е пресечна точка на второто
рамо не само на ъгъл α, но и на ъглите: α +
360°, α +2.360°, …, α + к.360°, то нейните
координати са стойности на функциите синус и
косинус за безброй ъгли, чиято мярка е
α + к.360°.

sinα = sin(α+360°) = sin(α+2.360°) = … =
sin(α+k.360°)

cosα = cos(α+360°) = cos(α+2.360°) = … =
cos(α+k.360°)
к = ± 1; ± 2; ± 3 …
Извод: Функциите синус и косинус повтарят
стойностите си през интервал от 360°. Те са
периодични функции с период Т = 360°.
Четност и нечетност
Определение 1: Ако за две противоположни
стойности
на
аргумента,
принадлежащи
на
дефиниционното множество, една функция приема
противоположни съответни стойности, т.е. f(-x) = - f(x),
тя се нарича нечетна.
Пример: f(x)= ax3 ;
f(-x) = a(-x)3 = a.(-1)3.x3 = -ax3 = - f(x)
Определение 2: Ако за две противоположни
стойности
на
аргумента,
принадлежащи
на
дефиниционното множество, една функция приема
равни съответни стойности, т.е. f(-x) = f(x), тя се
нарича четна.
Пример: f(x) = ax4;
f(-x) = a(-x)4 = a.(-1)4.x4 =ax4 = f(x)



  P Px   sin      sin 



sin   y P  PPx
sin     y P
PPx  P Px
Извод: Функцията синус е нечетна .



  O Px   cos    cos



cos  x P   OPx
cos    x P
OPx  O Px
Извод: Функцията косинус е четна.
Изменение на функциите синус и
косинус в интервала [ 0°; 360° ]
α
0°
90°
180°
270°
360°
sin α
0
1
0
-1
0
cos α
1
0
-1
0
1
max (sinα) = 1
max (cosα) = 1
min (sinα) = -1
min (cosα) = -1
Пример:
Определете максималната и минималната
стойност на изразите:
2 + sinα;
4 – cosα;
2 sinα – 3;
-3 cosα + 1.
ЗАДАЧИ:
Задача 1. Определете какви са по знак стойностите на:
а) sin 290°; sin 395°; sin 820°; sin 560°; sin 1380°.
б) cos 347°; cos 460°; cos 930°; cos 640°; cos 1020°.
Упътване: Използвайте свойството периодичност на функциите синус и косинус и определяне знаците
на стойностите им в зависимост от квадранта, в който е второто рамо на ъгъла. Примери:
395° = 35° + 360°
sin 395° = sin(35° + 360°) = sin 35° > 0 ( I кв. )
930° = 210° +2. 360°
cos 930° = cos(210° + 2. 360°) = cos 210° < 0 ( III кв. )
Задача 2. Пресметнете:
а) sin 390°; sin 780°; sin 510°. б) cos 405°; cos 780°; cos 480°.
в) sin (-120°); sin (-90°).
г) cos (-60°); cos (-150°).
д) sin (-750°); sin (-450°); cos (-540°); cos (-1110°).
Упътване: Използвайте свойствата периодичност, четност, нечетност.
Примери: sin 390°= sin (30°+360°) = sin 30° = ½
cos 405° = cos (45°+360°) = cos 45° = √2/2
sin (-120°) = - sin 120° = -√3/2
cos (-60°) = cos 60° = ½
sin (-750°) = - sin 750° = - sin (30°+2.360°) = - sin 30° = - ½
Функциите тангенс и котангенс
Определение 1:
Функцията, която съпоставя на всеки ъгъл α ≠ 90° + к.180° числото
sin  , се нарича тангенс и се означава tg α.
cos 
sin 
, α ≠ 90° + k.180°, защото
tg 
cos 
cos(90°+k.180°) = 0
Определение 2:
Функцията, която съпоставя на всеки ъгъл α ≠ к.180° числото
cos  , се нарича котангенс и се означава cotg α.
sin 
cos 
, α ≠ k.180°, защото
cot g 
sin 
sin k.180° = 0
k = 0, ±1, ±2 …
Представяне
на
стойностите
на
функциите тангенс и котангенс с помощта на
тангенсовата и котангенсовата ос
За произволен обобщен ъгъл α ( α ≠ 90° + к.180°) тангенсът на ъгъл α е
равен на ординатата yT на пресечната точка на правата, определена от
второто рамо на ъгъл α и оста A t→ . Оста A t→ се нарича тангенсова
ос.
В зависимост от квадранта, в който се намира второто рамо на
ъгъла, е знакът на стойността на tg α:
І квадрант:
ІІ квадрант:
ІІІ квадрант:
ІV квадрант:
tg α > 0
tg α < 0
tg α > 0
tg α < 0
t
y
P
P

O
T
tg
P A x
t
y
P
P

O
P
Ax
tg
T
t
y
T
tg

P
O
P
P
Ax
t
y
O
P

Ax
tg
P
P
T
За произволен обобщен ъгъл α ( α ≠ к.180°) котангенсът на ъгъл α
е равен на абсцисата xc на пресечната точка на правата, определена от
второто рамо на ъгъл α
и оста B c→ . Оста B c→ се нарича
котангенсова ос.
В зависимост от квадранта, в който се намира второто рамо на
ъгъла, е знакът на стойностите на функцията котангенс:
І квадрант:
cotg α > 0
ІІ квадрант:
cotg α < 0
ІІІ квадрант: cotg α > 0
ІV квадрант: cotg α < 0
y
c
B cotg C
P
P

O
P
x
C cotg
y
B
c
P
P

P
O
x
y
c
B
cotg
C

P
O
P
P
x
C cotg
y
B
O
c
P

x
P
P
Периодичност на функциите
тангенс и котангенс
Нека tg α = yT и cotg α = x c
Ако ъгъл β = α + 180° , то второто му рамо е лъч OP'→, противоположен
на лъча OP→ , т.е. двата лъча лежат на една права p (фиг. 17). Оттук
следва, че:
tg α = tg ( α ± k.180° ) и cotg α = cotg ( α ± k.180° ) ,
където k е произволно цяло число.
Оттук е ясно, че стойностите на tg α
и cotg α се повтарят за всички ъгли,
които се различават с кратно на 180°.
Извод: Функциите тангенс и
котангенс са периодични функции
с период 180°
Нечетност на функциите
тангенс и котангенс
sin     sin 
sin 
tg    


 tg
cos   cos
cos

tg     tg
cot g    
(1)
cos   cos
cos


  cot g
sin     sin 
sin 

cot g      cot g
(2)
Извод: От (1) и (2) следва, че функциите тангенс и котангенс са нечетни функции.
Изменение на функциите тангенс и
котангенс
α
-90°
-45°
0°
45°
tgα

-1
0
1

α
0°
45°
90°
135°
180°
cotgα

1
0
-1
90°

Основни тъждества на един и същ
ъгъл
sin 2   cos2   1
sin 
tg 
;
cos 
cos 
cot g 
;
sin 
tg . cot g  1;
  90  k.180
  k.180
  k.90
k ≠ 0, ±1, ±2 …
Стойности на тригонометричните функции
на някои често използвани ъгли
Задачи:
Задача 1. Намерете стойностите на tgα и cotgα, ако:
α = 210°; α = 315°; α = 420°; α = 570°; α = - 240°; α = - 585°.
Упътване: Използвайте свойствата периодичност и нечетност на
котангенс.
Пример: tg 210° = tg (30° + 180°) = tg 30° = √3/3
cotg(-585°) = -cotg 585° = -cotg(45°+ 3. 180°) = -cotg 45° = -1
функциите тангенс и
Задача 2. Пресметнете:
sin 150° + cos 780° + tg 1125°;
sin 420° - cos 870° + tg 960°;
sin2 489° + cos2489° - 3.tg 190°. cotg 190°.
Задача 3. Ако α є (270°; 360°) и cosα = 0,8, намерете sinα; tgα и cotgα.
Задача 4. Ако α є (180°; 270°) и tgα = 2, намерете sinα; cosα и cotgα.
Задача 5. Опростете изразите:
sin   cos 2  2 sin .cos;
tg  cot g .2 sin  cos ;
1  sin 2 
;
2
sin 
1  cos  . 1  cos   .
cos 2 
Задача 6. Докажете тъждествата:
1  tg  .sin
2
2
sin 4   cos4   sin 2   cos2  ;
  tg 2 ;
1  cos  .cot g   cos ;
2
2
2




cos 90  
 tg  0.

cos 180  
Още по темата може да прочетете и
на следния Интернет адрес:
http://www1.znam.bg/zmonres/edu/matematika
%2011%20klas_Anubis/MAT6/page_05.htm