Transcript Презентации
Тригонометрические формулы и приемы их запоминания
Учитель математики: Слаткова О.М Первый Темиртауский Классический Лицей
Цель урока:
познакомить учащихся с мнемоническими правилами для запоминания формул приведения и значений тригонометрических функций некоторых углов; способствовать развитию логического мышления и устной математической речи при поиске решения поставленной проблемы; воспитывать внимательность, наблюдательность и самостоятельность
Входное тестирование:
1.
Укажите значение выражения
sin 60º A) ; B)
2 3 ;
С)
1;
D)
0.
Ответ: В
Входное тестирование:
2.
Упростите выражение
cos
2
A) cos α
;
C) sin α
;
B) cos
2 ;
D) tg α
.
Ответ: С
Входное тестирование:
3.
Найдите значение выражения сos 157º cos 97º + sin 157º sin 97º A)
;
C)
1;
B)
0;
D)
2 3 .
Ответ: А
Входное тестирование:
4.
Упростите выражение
2 sin 65º cos 65º A) cos130º
;
C) sin 50º
;
B) cos 50º
;
D) tg 65º
.
Ответ: С
Входное тестирование:
5.
Представьте в виде произведения cos 80º - cos 40º А)
-
C) -
2 3
sin 20º
; 3
sin 20º
;
B) cos 20º
;
D) -
3
cos20º
.
Ответ: С
Притча о трех дамах:
Пошли три дамы гулять. Первая дама, вторая дама и третья дама.
α sin cos 30º 1 45º 2 60º 3
Притча о трех дамах:
И неожиданно пошел дождь. Все дамы открыли зонтики, и одели по паре калош.
α sin cos 30º
2 1
45º
2 2
60º
2 3
Притча о трех дамах:
Прогулка была закончена. Первая дама, вторая дама и третья дама пошли домой.
α sin cos 30º
2 3
45º
2 2
60º
2 1
Значения синуса и косинуса для углов в 30º, 45º и 60º
α sin cos 30º
2 1 2 3
45º
2 2 2 2
60º
2 3 2 1
Чтобы указать значения тангенса и котангенса тех же углов достаточно вспомнить ОТТ, т.е tg α
=
sin cos
,
а котангенс взаимно обратная функция для тангенса.
Формулы приведения:
-Жил рассеянный математик, и каждый раз преобразовывая тригонометрические он спрашивал у своей лошади, жующей за окном сено, надо менять функцию на «кофункцию» или нет. А лошадь кивала головой по той оси, которой принадлежала
3 2 2 2
щая первому слагаемому аргумента.
у 2 3 2 х 2
Формулы приведения:
Математику оставалось лишь записывать ответ, указывая знак данной функции.
Например,
cos
2
сtg
3 2 =
sin α; sin
=
-tg α; tg
2
= sin α; = tg α
.
sin α
у + + Знаки тригонометрических функций: х
cos α
у + + х
tg α и сtg α
у + + х
Формулы сложения:
Формулы сложения – это та, группа формул которую нужно знать наизусть. Но для их запоминания можно тоже воспользоваться ассоциативным приемом. У
косинуса
функции
одноименные
:
cos ( α β ) = cos α cos β + sin α sin β ; cos ( α + β ) = cos α cos β - sin α sin β ; а у синуса разноименные: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β ; sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β .
Не все в нашей жизни бывает «гладко» за белой полосой идет черная, и наоборот. Так и у наших функций, если функции идут одноименные, то знаки не совпадают, а если разноименные, то совпадают.
Формулы сложения:
Для получения формулы тангенса суммы и тангенса разности достаточно применить ОТТ и разделить числитель и знаменатель полученной дроби на cos α cos β, где cos α ≠ 0 и cos β ≠ 0.
Например,
1
tg
tg
tg
tg (α + β) = ; tg (α - β) =
tg
1
tg
tg
tg
tg
сos 97º cos 67º + sin 97º sin 67º = сos (97º- 67º) = = сos 30º =… ; sin 25º сos 20º + cos 25º sin 20º = sin (25º + 20º)= = sin 45º =… .
Формулы двойного угла:
Чтобы получить тригонометрические формулы двойного аргумента достаточно в формулах сложения β заменить на α.
Например,
cos 2α = cos (α +α)= cos α cos α - sin α sinα = = cos²α - sin²α; sin 2α = sin (α + α) = sin α cos α + sin α cos α = =2sin α cos α
tg2α = tg (α + α ) = 1
tg
tg
tg
tg
2
tg
1
tg
2 Поэтому,
2 sin 65º cos 65º = sin (2∙
65
º) = =sin130º = sin (180º - 50º) = sin 50º
Формулы суммы и разности тригонометрических функций + cos (α β)=cos α cos β + sin α sin β; cos (α + β)=cos α cos β - sin α sin β; cos(αβ)+ cos (α + β)= 2 cos α cos β Пусть α β = х , а α + β = у , тогда: α = (х+у) и β = (х-у). 2 Следовательно , 1 2 1 2 1 cos х + cos у = 2 cos (х+у) cos (х-у). 2
Если обе части равенства cos(αβ)+ cos (α + β)=2 cos α cos β : 2, получим формулу, позволяющую представлять произведение косинусов двух углов в виде суммы: cos α cos β = (cos (α β) + cos (α + β)). 2 Чем нужно воспользоваться, что бы получить формулу, позволяющую представлять произведение синусов двух углов в виде суммы?
1.
Итоговое тестирование:
Укажите значение выражения
cos 60º
2.
A)
3 ;
B)
1; 2 Упростите выражение
C) cos
1 2 ;
D)
0.
3.
А)
cos α ;
B)
sin α ;
C)
- cos α ; Найдите значение выражения
D)
- sin α .
sin 57º cos 27º + сos 57º sin 27º A)
1 ;
B)
1;
C) 0
;
D)
2 3 .
4
.
Упростите выражение
2 sin 75º cos 75º A)
0;
B)
1;
C)
3 ;
D)
1 .
2 5.
Представьте в виде произведения
sin 80º + sin 40º A)
3
sin 20º; B) -
3
cos 20º
;
C)
3
cos20º
;
D) - sin 20º
.
Итоговое тестирование:
Ответы:
B, C, A, D, C.
Желаю сдать экзамены на «отлично»!!!