Transcript i(t) = 0

Principles and applications
of
Electrical Engineering
Ch.5 Transient response
2007103850 문주윤25%
2009105167 이상원25%
2010105046 강수종25%
2011103787 허여름25%
1차회로
- 저항회로에 하나의 에너지 저장 소자를 추가한 회로
예) RL 회로, RC 회로
- 회로 방정식 : 1차 미분방정식
di(t)/dt + (1/)i(t) = b

i(t)= b (1-e-t/)
- 전원이 없는 1차 회로의 응답 (무입력응답)
회로 소자에 저장된 에너지에 의해 기인된 응답
- 전원이 있는 1차 회로의 완전응답
회로 자체의 본성에 의해 결정되는 응답인 고유응답과
회로에 인가된 독립 전원에 의해 결정되는 응답인 강제응답의 합
단순한 RC, RL회로
RC회로의 고유 응답 : v(t) = v(0)e-(t/RC)
t=0
t0
iC
V0
+
C v(t)
-
R

C

+
v(t)
-
iR
R

v(0-)= v(0+)= V0, wc(0)=1/2*CV02
- 회로 방정식 : iC + iR=0
Cdv/dt + v/R = 0  dv/dt + (1/RC)v = 0
- 방정식의 해 : v(t)=Kest 라 하고 위식에 대입하면
d(Kest)/dt + 1/RC(Kest) = (s+1/RC)(Kest) = 0
s=-1/RC
v(t) = Ke-(t/RC) 에서 v(0) = K = V0 이므로 v(t) = V0e-(t/RC) 이다.
단순한 RC, RL회로
V0
e-(t/RC)
Note: 저항과 커패시터가 클수록
전압은 천천히 0으로 수렴한다.
t
- 에너지 관계
wc(t) = 1/2Cv2(t) = 1/2C[V0e-(t/RC)]2 = 1/2CV02e-(2t/RC)
= wc(0)e-(2t/RC)
pR(t) = vR2/R = [V0e-(t/RC)]2/R = (V02/R)e-(2t/RC)
W
R(t)
= 1/2CV02(1-e-(2t/RC)) = wc(0) (1-e-(2t/RC)) = wc(0) - wc(0)e -(2t/RC))
= wc(0)- wc(t)

W
C(t)
=
W
C(0)
-
W
R(t)
- 커패시터에 저장된 에너지 감소분은 그 때까지 저항에서 소비한 에너지와 동일
- t = 이면 wc(t) = 0, wR(t) = wc(0)
단순한 RC, RL회로
RL회로의 고유 응답 : i(t) = i(0)e-(R/L)t
t=0
I0
L
t0
i(t)
R

L
i(t)
R
i(0-)= i(0+)= I0, wL(0)=1/2*LI02
- 회로 방정식 : vL + vR=0
Ldi/dt + Ri = 0  di/dt + (R/L)i = 0
- 방정식의 해 : i(t)=Kest 라 하고 위식에 대입하면
d(Kest)/dt + R/L(Kest) = (s+R/L)(Kest) = 0
s=-R/L
v(t) = Ke-(R/L)t 에서 i(0) = K = I0 이므로 i(t) = I0e-(R/L)t 이다.
단순한 RC, RL회로
I0
e-(R/L)t
t
- 에너지 관계
wL(t) = 1/2Li2(t) = 1/2L[I0e-(R/L)t]2 = 1/2LI02e-2(R/L)t
= wL(0)e-2(R/L)t
pR(t) = i2(t)R = [I0e-(R/L)t]2R = I02Re-2(R/L)t
W
R(t)
= 1/2LI02(1-e-2(R/L)t) = wL(0) (1-e-2(R/L)t)

W
L(t)
=
W
L(0)
-
W
R(t)
- 인덕터에 저장된 에너지 감소분은 그 때까지 저항에서 소비한
에너지와 동일
- t = 이면 wL(t) = 0, wR(t) = wL(0)
시상수
- 초기변화율에 따라 전류가 감소해서 0이 될 때까지의 시간
- RC, RL 회로의 시상수
v(t)/V0
i(t)/I0
1
1
e-(R/L)t
e-t/RC

t

v(t)/V0 = e-(t/RC)
i(t)/I0 = e-(R/L)t
(1/RC) = 1   = RC
(R/L) = 1   = L/R
v(t) = V0e-(t/)
i(t) = I0e-(t/)
t
- 시상수값이 크면 응답 곡선이 더 천천히 감소하고 저항을 통해
소비하는데 더 많은 시간이 걸린다.
일반적인 1차회로
R3
R1
R2
i1
i2
i(t)
L
R4

L
i(t)
- 인덕터에서 본 등가 저항 : Req = R3 + R4 + R1 R2/(R1+R2)
- i(t) = I(0)e-(Req/L)t = I(0)e-t/, i2(t) = - R1/(R1+R2) I(0)e-t/
R1
i1
C
R2
+
v(t)
-
R3

+
C
v(t)
-
Req
- Req = R2 + R1 R3/(R1+R3), v(t) = v(0)e-t/(ReqC) = v(0)e-t/
Req
일반적인 1차회로
예) 다음 회로에서 iL과 i1을 구하라.
1mH
t=0
18V +
-
iL
90
50
2mH
180
3mH
i1
iL
50
18V +
-
90
180
i1
i) t<0, 인덕터는 모두 단락회로
iL(0-) = 18/50 = 0.36A, i1(0-) = 18/90 = 0.2A
일반적인 1차회로
iL
1mH
90
180
50
2mH

3mH
Leq
Req
iL
i1
ii) t0, iL(0-) = iL(0+) = 0.36A,
i1(0+) = -iL(0+)  180/(90+180) = -0.36  180/270 = -0.24A
Req = (90//180) + 50 = 110, Leq = 1 + (2//3) = 2.2mH
 = Leq/Req = 2.2  10-3/110 = 20 us
iL = 0.36A,
t<0
0.36e-50000t A, t0
i1 = 0.2A,
t<0
-0.24e-50000t A, t0
직류전원이 있는 1차회로
1) RC 회로의 완전 응답 : v(t) = v() + (v(0)-v())e-(t/RC)
t=0
R
E
i(t)
+
C
v(t)
v(0) = V0
- 회로 방정식 : i(t) = Cdv/dt
RCdv(t)/dt + v(t) = E  dv/dt + (1/RC)v = E/(RC)
- 완전응답 = 고유 응답 + 강제 응답 (t = 에서의 응답)
v(t) = vn(t) + vf(t)라고 위식에 대입하면
d(vn(t)+vf(t))/dt + (1/RC)(vn(t)+vf(t)) = E/(RC)
[dvn(t)/dt+(1/RC)(vn(t))] + [dvf(t)/dt+(1/RC)(vf(t))] = [0]+[E/RC]
직류전원이 있는 1차회로
- 고유 응답 (natural response)
dvn(t)/dt + (1/RC)(vn(t)) = 0  vn(t) = Ke-(t/RC)
- 강제 응답 (forced response)
dvf(t)/dt + (1/RC)(vf(t)) = E/RC  vf(t) = E
초기값의 영향이 없는 t = 에서는 커패시터는 DC 전압에
대해 개방 회로이므로 강제 응답은 인가한 전원값과 동일
- 완전 응답
v(t) = vn(t) + vf(t) = E + Ke-(t/RC)
v(0) = V0이므로 K= V0-E,
 v(t) = E + (V0-E)e-(t/RC)
v(t) = final value(t =) +
E
E + (V0-E)e-(t/RC)
(initial value-final value)e-t/
V0
t
v() = E, v(0) = V0
직류전원이 있는 1차회로
2) RL 회로의 완전 응답 : i(t) = i() + (i(0)-i())e-(R/L)t
t=0
E
R
i(t)
L
i(0) = I0
- 회로 방정식
Ri(t) + Ldi(t)/dt = E  di/dt + (R/L)i = E/L
- 완전응답 = 고유 응답 + 강제 응답 (t = 에서의 응답)
i(t) = in(t) + if(t)라고 위식에 대입하면
d(in(t)+if(t))/dt + (R/L)(in(t)+if(t)) = E/L
[din(t)/dt + (R/L)in(t)] + [dif(t)/dt+(R/L)if(t)] = [0]+[E/L]
직류전원이 있는 1차회로
- 고유 응답 (natural response)
din(t)/dt + (R/L)in(t) = 0  in(t) = Ke-(R/L)t
- 강제 응답 (forced response)
dif(t)/dt + (R/L)(if(t)) = E/L  if(t) = E/R
초기값의 영향이 없는 t = 에서는 인덕터는 DC 전압에 대해
단락 회로이므로 강제 응답은 인가한 (전원값/저항값)과 동일
- 완전 응답
i(t) = in(t) + if(t) = E/R + Ke-(R/L)t
i(0) = I0이므로 K= I0-E/R,
 i(t) = E/R + (I0-E/R)e-(R/L)t
i(t) = final value(t =) +
E/R
E/R + (V0-E/R)e-(R/L)t
(initial value-final value)e-t/
I0
t
i() = E/R, i(0) = I0
직류전원이 있는 1차회로
예) 다음 회로의 전류 i(t)를 구하라.
t=0
i(t)
2
100V +
-
6
50V
i(t)
2
i(0-) = 50/2 = 25A,
i(t)
2
-
i) t<0, 인덕터는 단락회로
6
50V
100V +
3H
6
3H
i(t)
1.5

+ 75V
(테브냉 정리) -
3H
직류전원이 있는 1차회로
i(t)
1.5
+ 75V
-
3H
ii) t>0, i(0+) = i(0-) = 25A
i() = 75/1.5 = 50A
 = L/R = 3/1.5 = 2s
in(t) = Ke-0.5t , if(t) = i() = 50A
i(t) = in(t) + if(t) = 50 + Ke-0.5t 에서 i(0) = 25이므로 K=-25
 i(t) = 50-25e-0.5t
i(t) = i() + (i(0)- i())e-t/ = 50 + (25-50)e-0.5t = 50-25e-0.5t
i(t) = 25A,
50-25e-0.5t A,
t<0
t>0
단위 스텝함수
- 단위스텝함수 : 그 함수의 인수가 음일 때는 0이고 양일 때는 1인 함수
u(t-t0)
u(t)
1
1
t
t0
u(t-t0) =
0,
t<t0
1,
t>t0
t
u(t) =
0,
t<0
1,
t>0
t = t0
+ V u(t-t )
- 0
0
Circuit

V0 +
-
Circuit
단위 스텝함수
- 직사각형 펄스(rectangular pulse)
v(t)
v(t) =
V0
t
t0
0,
t<t0
V0,
t0<t< t1
0,
t1<t
t1
v(t)
V0u(t-t0)
V0
+ V u(t-t )
0
- 0
t
t0
t1
-V0u(t-t1)
- V u(t-t )
1
+ 0
스텝응답과 펄스응답
- 스텝 함수가 인가되면 t<0 동안 회로에 전압이 인가되지 않기 때문에
스텝 응답은 초기 에너지 축적이 없는 DC입력에 대한 응답
예) RC 회로에 스텝 함수가 인가될 때 스텝 응답을 구하라.
t=0
R
vs= u(t)[V] +
-
v(0) = 0
C
+
v(t)
-
R
1V +
-
C
+
-
v() = 1
i) t<0, v(0) = 0
v(t) = 0,
ii) t>0, v(t) = 1-e-t/RC
1-e-t/RC,
∴v(t) = (1-e-t/RC)u(t)
t<0
t>0
v(t)
스텝응답과 펄스응답
예) RL 회로에 직사각형 펄스를 인가할 때의 전류를 구하라.
R
v(t)
+ V u(t)
- 0
V0
0
t0
t
+
- -V0u(t-t0)
L
i(t)
i(0) = 0
- 중첩의 원리 이용
i(t) = i1(t) + i2(t)
i1(t) = V0/R(1-e-(R/L)t)u(t),
i2(t) = -V0/R(1-e-(R/L)(t- to))u(t-t0)
i(t) = V0/R(1-e-(R/L)t)u(t) - V0/R(1-e-(R/L)(t- to))u(t-t0)
 2차회로
 2차회로의 고유응답
 RLC 직렬회로
RLC회로의 완전응답
2차회로
- 에너지 저장소자가 있는 회로의 회로방정식은 미분방정식
RC 회로 : dv/dt + av = f(t)
RL 회로 : di/dt + ai = f(t)
RLC 직렬 회로 : d2i/dt2 + a1di/dt + a0i = f(t)
RLC 병렬 회로 : d2v/dt2 + a1dv/dt + a0v = f(t)
- 2차 시스템 : RLC 회로, Mass-Damper-Spring 시스템
- RLC 회로의 완전응답 = 고유 응답 + 강제 응답
고유응답 형태 : K1es1t + K2es2t
- RLC 회로에서는 R, L, C값에 따라 응답 특성이 많이 달라진다.
Over damping, Critical damping, Under damping
2차회로
예 6.1) 다음 회로의 전류 i2를 구하라.
8
Vs
2H
+
-
4
i1
1H
i2
-Vs + 8i1 + 2di1/dt + 4(i1-i2) = 0  2di1/dt + 12i1 - 4i2 = Vs
4(i2 - i1) + di2/dt = 0  -4i1 + di2/dt + 4i2 = 0
  i1 = (di2/dt + 4i2 )/4
위의 식을 미분하면 di1/dt = (d2i2/dt2 + 4di2 /dt)/4
i1과 + di1/dt에 대한 식을 첫번째 식에 대입하면
2di1/dt + 12i1 - 4i2 = Vs  d2i2/dt2 + 10di2 /dt + 16i2 = 2Vs
2차회로의 고유응답
 RLC 직렬 회로의 고유응답
R
L
i(0)
i(t)
+
C
- 회로방정식 (KVL) : Ri (t )  L
위식을 미분하면
v(t)
v(0)
di 1

idt  v (0)  0
dt C 
 Rdi/dt + Ld2i/dt2 + i(t)/C = 0
 d2i/dt2 + (R/L)di/dt + (1/LC)i(t) = 0
- Assume i(t) = Kest, 위 식에 대입하면
Ks2est + (R/L)Ksest + (1/LC)Kest = K(s2+(R/L)s+(1/LC))est=0
 s2+(R/L)s+(1/LC) = 0  s1,2 = -(R/2L)  (R/2L)2-(1/LC)
2차회로의 고유응답
- i(t) = K1es1t + K2es2t
s1 = -(R/2L) + (R/2L)2-(1/LC)
s2 = -(R/2L) - (R/2L)2-(1/LC)
- K1과 K2는 초기 전류 i(0)과 인덕턴스의 초기 전압 vL(0)에 의해
결정된다.
vL(t) = Ldi/dt = L(K1s1es1t + K2s2es2t)
i(0) = K1 + K2,
vL(0) = L(K1s1 + K2s2) = -(Ri(0)+v(0))
- (R/2L)2  (1/LC)이면 i(t)는 실수근을 가진다.
- (R/2L)2 < (1/LC)이면 i(t)는 복소수근을 가진다.
i(t)
i(0)
(1)
(2)
(3)
(1)
(R/2L)2 > (1/LC) : over damping
(2)
(R/2L)2 = (1/LC) : critical damping
(3)
(R/2L)2 < (1/LC) : under damping
2차회로의 고유응답
 RLC 병렬 회로의 고유 응답
i
R
C
L
i(0)
- 회로방정식 (KCL) :
+
-
v(t)
v(0)
v (t ) 1
dv
  vdt  v (0)  C
0
R
L
dt
위식을 미분하면  (1/R)dv/dt + (1/L)v(t) + Cd2v/dt2 = 0
 d2v/dt2 + (1/RC)dv/dt + (1/LC)v(t) = 0
- Assume v(t) = Kest, 위 식에 대입하면
Ks2est + (1/RC)Ksest + (1/LC)Kest = K(s2+(1/RC)s+(1/LC))est
 s2+(1/RC)s+(1/LC) = 0
 s1,2 = -(1/2RC)  (1/2RC)2-(1/LC)
2차회로의 고유응답
- v(t) = K1es1t + K2es2t
s1 = -(1/2RC) + (1/2RC)2-(1/LC)
s2 = -(1/2RC) - (1/2RC)2-(1/LC)
- K1과 K2는 초기 전압 v(0)와 커패시터 초기 전류 iC(0)에 의해
결정된다.
iC(t) = Cdv/dt = C(K1s1es1t + K2s2es2t)
v(0) = K1 + K2,
iC(0) = C(K1s1 + K2s2) = -(v(0)/R+i(0))
- (1/2RC)2  (1/LC)이면 v(t)는 실수근을 가진다.
- (1/2RC)2 < (1/LC)이면 v(t)는 복소수근을 가진다.
v(t)
v(0)
(1)
(2)
(3)
(1)
(1/2RC)2 > (1/LC) : over damping
(2)
(1/2RC)2 = (1/LC) : critical damping
(3)
(1/2RC)2 < (1/LC) : under damping
2차회로의 고유응답
예) 다음 회로의 커패시터 전압 v(t)를 구하라.
i
10/7 
1H
0.1F
+
-
i(0) = 1.5A
v(t)
v(0) = 0
s2 + (1/RC)s + (1/LC) = s2 + 7s +10
= (s+2)(s+5) = 0
 s = -2, -5
v(t) = K1e-2t + K2e-5t, iC(t) = Cdv/dt = -0.2K1e-2t – 0.5K2e-5t
v(0) = K1 + K2 = 0, iC(0) = -(v(0)/R+i(0)) = -1.5 = -0.2K1 -0.5K2
 K1 = -5, K2 = 5  v(t) = -5e-2t + 5e-5t
RLC 직렬회로의 완전응답
L
R
i(0)
i(t)
E
+
C
v(t)
v(0)
- 회로 방정식 (KVL) : Ri(t) + Ldi/dt + v(t) = E
i(t) = Cdv/dt

RCdv/dt + LCd2v/dt2 + v(t) = E/LC

d2v/dt2 + (R/L)dv/dt + (1/LC)v(t) = E/LC
- 완전 응답 v(t) = 고유 응답 vn(t) + 강제 응답 vf(t)
- 고유 응답 : d2vn/dt2 + (R/L)dvn/dt + (1/LC)vn(t) = 0
 vn(t) = K1es1t + K2es2t
s1 = -(R/2L) + (R/2L)2-(1/LC)
s2 = -(R/2L) - (R/2L)2-(1/LC)
RLC 직렬회로의 완전응답
- 강제 응답 : d2vf/dt2 + (R/L)dvf/dt + (1/LC)vf(t) = E/LC
 vf(t) = v() = E
- 완전 응답 : v(t) = vn(t) + vf(t) = E + K1es1t + K2es2t
- K1과 K2는 초기 전압 v(0)와 초기 전류 i(0)에 의해 결정된다.
i(t) = Cdv/dt = C(K1s1es1t + K2s2es2t)
v(0) = K1 + K2,
i(0) = C(K1s1 + K2s2)
- R, L, C 값에 따라 응답이 달라진다.
v(t)
(3)
E
(2)
(1)
(1)
(R/2L)2 > (1/LC) : over damping
(2)
(R/2L)2 = (1/LC) : critical damping
(3)
(R/2L)2 < (1/LC) : under damping
RLC 직렬회로의 완전응답
예) 다음 RLC 직렬회로의 커패시터 전압 v(t)를 구하라.
5
u(t) +
-
1H
i(t)
+
1/4F
t<0, u(t) =0 이므로
v(t)
-
i(0) = 0, v(0) = 0
고유 응답 : s2 + (R/L)s + (1/LC) = s2 + 5s +4 = (s+1)(s+4) = 0
 s = -1, -4  vn(t) = K1e-t + K2e-4t
강제 응답 : vf(t) = E = 1, 완전 응답 : v(t) = 1 + K1e-t + K2e-4t
커패시터 전류 : i(t) = Cdv/dt = (-K1e-2t – 4K2e-5t)/4
초기 전류, 전압 : v(0) = 1 + K1 + K2 = 0,
 K1 = -4/3, K2 = 1/3
i(0) = (-K1 - 4K2)/4 = 0
 v(t) = 1 - 4/3e-2t + 1/3e-5t
- 저항 회로 : 강제 응답만이 존재
- 에너지 저장 소자를 포함한 회로 : 강제 응답 + 고유 응답
- 강제 응답 : 인가되는 강제 함수와 동일한 형태를 가짐
예) 직류 전원 : 일정한 DC값, 정현파 강제 함수 : 정현파 응답
- 정현파 함수는 일정한 주파수와 위상을 가짐
예) v(t) = Vmsin(ωt + ) = Vmsin(2ft + )
- 모든 시간 함수는 특정 주파수를 가지는 정현파 함수의 조합으로
표현 가능

u(t) = k Vksin(2fkt + k)
- 시간 영역 해석 방법 : 미분방정식을 이용한 해석 방법
- 주파수 영역 해석 방법 : 퓨리에, 라플라스 변환을 이용한 해석 방법
예) 대역폭, 필터(LPF, HPF, BPF), 영상 및 음성 신호처리 분야