Transcript Lineaire Verbanden

H3 Tweedegraads Verbanden
Case Duurzaam hout
Hbo student Jim de Bont loopt stage bij het adviesbureau
ZZConsult, Hij krijgt de opdracht om het verband tussen
de afzet en de prijs van een duurzame houtsoort uit
Scandinavië vast te stellen.
Met de hulp van diverse meetgegevens en statistiek
wordt het volgende lineair verband opgesteld:
p = -q + 45
waarbij q uitgedrukt is in 1000 ton per jaar,
p in 1000 euro per ton.
Case Duurzaam hout
Daarnaast stelt hij tegelijkertijd een bijbehorende totale
kosten functie op. Deze luidt:
TK = 120 + 5q
waarbij TK uitgedrukt is in 1.000.000 euro per jaar.
Met deze informatie moet hij de totale winstfunctie
opstellen en berekenen bij welke prijs de totale winst
zo groot als mogelijk is. Maar ja, hoe moet hij dat
doen?
Ontbinden in factoren
Voorbeeld:
2*3+2*5=3+3+5+5=
(3 + 5) + (3 + 5) = 2 * (3 + 5)
De 2 is buiten haakjes gehaald.
Ontbinden in factoren
Voorbeeld:
5x + 5y = 5 * (x + y)
De 5 is buiten haakjes gehaald.
Dit heet ontbinden in factoren.
Ontbinden in factoren
Regel 1
ax + ay = a * (x + y)
Ontbinden in factoren
Voorbeeld:
5x + 5y + 6xz + 6yz = 5 * (x + y) + 6z * (x + y) =
(5 + 6z) * (x + y)
Regel 2
(x + a)(x + b) = xy + bx + ay + ab
Ontbinden in factoren
Voorbeeld:
(x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6
Regel 3
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
Ontbinden in factoren
Voorbeeld:
Ontbind in lineaire factoren: x² + 13x + 30
Zoek twee getallen a en b waarvoor geldt:
a × b = 30 en a + b = 13
1 * 30
2 * 15
3 * 10
5*6
1 + 30 = 31
2 + 15 = 17
3 + 10 = 13
5 + 6 = 11
De enige juiste combinatie is 3 en 10
Ontbinden in factoren
Vervolg voorbeeld
Daarmee krijgen we de ontbinding:
x² + 13x + 30 = (x + 3) (x + 10)
Oplossen van een tweedegraads
vergelijking
Voorbeeld met ontbinden in factoren:
x² + 3x + 2 = 0  (x + 1)(x + 2) = 0
Het product van twee getallen kan alleen gelijk zijn
aan 0 wanneer één van die getallen gelijk is aan 0.
Dus x + 1 = 0 of x + 2 = 0  x = -1 of x = -2
Oplossen van een tweedegraads
vergelijking
Voorbeeld met de abc-formule:
x² + 3x + 1 = 0
Definitie:
Oplossen van ax² + bx + c = 0 kan met de abc-formule:
x1,2 =
- b±
b 2 - 4ac
2a
Oplossen van een tweedegraads
vergelijking
Vervolg voorbeeld
x1,2 =
Dus
x1 = -
- 3±
3 1
+
5
2 2
32 - 4.1.1 - 3 ± 5
=
2.1
2
en
x2 = -
3 1
5
2 2
Oplossen van een tweedegraads
vergelijking
De uitdrukking D = b² – 4ac heet de discriminant
Regel 4
Als
D > 0 dan heeft ax² + bx + c = 0 2 oplossingen
D = 0 dan heeft ax² + bx + c = 0 1 oplossing
D < 0 dan heeft ax² + bx + c = 0 geen oplossingen.
Snijpunten tweedegraads en
eerstegraads verband
Voorbeeld:
y = -2x² + 10x – 10
en
y = -4x + 10
-2x² + 10x – 10 = -4x + 10 
-2x² + 10x – 10 + 4x – 10 = 0 
-2x² + 14x – 20 = 0
Snijpunten tweedegraads en
eerstegraads verband
Vervolg voorbeeld
-2x² + 14x – 20 = 0
Beide kanten delen door -2 geeft
x² – 7x + 10 = 0 
x² – 7x + 10 = (x – 2)(x – 5) = 0
Dus x = 2 of x = 5
De symmetrieas
De grafiek van een tweedegraads verband is
symmetrisch. Dat kun je goed gebruiken om
eenvoudig het minimum of het maximum te vinden.
Voorbeeld:
Bekijk: y = x² – 6x + 5
Bij welke waarde van x is er sprake van een
minimum of een maximum?
De symmetrieas
Regel 5
Bij y = ax² + bx + c is de symmetrieas:
-b
x=
2a
Vervolg voorbeeld:
De symmetrieas x = - -6/ 2.1 = 6/2 = 3
Invullen geeft y = 3² – 6.3 + 5 = -4
Dit geeft het punt (3 , -4)
De symmetrieas
De bijbehorende grafiek ziet er als volgt uit:
Deze grafiek heeft de vorm van een dal en heet
daarom een dalparabool.
De symmetrieas
Als er een negatief teken voor q² staat, dan is er sprake
van een bergparabool. Zo ziet y = -x² + 6x – 5 er als
volgt uit:
Bij een bergparabool
hoort een maximum.
De symmetrieas
Regel 6
Bij y = ax² + bx + c vinden we een
-
-
dalparabool met een minimum als a > 0
bergparabool met een maximum als a < 0
Oplossen case Duurzaam hout
Het oplossen van de case gaat in vier stappen:
I Bepaal de totale winst
II Bepaal de prijs waarbij de totale winst maximaal
is
III Bepaal de maximale winst
IVTeken TO en TK in 1 grafiek met je grafische
rekenmachine
Oplossen case Duurzaam hout
I
Bepaal de totale winst
Gegeven is: p = -q + 45
TO = p × q = (-q + 45) . q = -q² + 45q
in € 1.000.000 per jaar.
Oplossen case Duurzaam hout
Verder is gegeven: TK = 120 + 5q
Voor de totale winst geldt: TW = TO – TK
TW = -q² + 45q –(120 + 5q) =
-q² + 45q – 120 – 5q =
-q² + 40q – 120
waarbij q uitgedrukt in 1000 ton per jaar en
TW uitgedrukt in € 1000000 per jaar.
Oplossen case Duurzaam hout
II Bepaal de prijs waarbij de totale winst maximaal is
a = -1 en b = 40
Dit is een bergparabool met de symmetrieas bij:
- 40
q=
= 20
2. - 1
Invullen in p = -q + 45 levert:
p = -20 + 45 = 25
De winst is maximaal bij een prijs van € 25.000 per ton.
Oplossen case Duurzaam hout
III Bepaal de maximale winst
q = 20 invullen in TW = -q² + 40q – 120 levert:
TW = -20² + 40.20 – 120 = 280
De maximale winst is € 280.000.000 per jaar bij een
prijs van € 25.000 per ton.
Oplossen case Duurzaam hout
IV Teken TO en TK in één grafiek met je grafische
rekenmachine