Transcript Dos números inteiros aos decimais: um percurso complexo

Desenvolvimento do sentido de número
racional no 1º ciclo
Cecília Monteiro --2006
ESE de Lisboa
O que é um Número Racional?


Inteiros
Racionais
Reais
Irracionais
Fraccionários
Representações dos números
racionais fraccionários
• Numeral decimal
• Fracção

1
2
1
4
0,5;
3
4
0,25; 0,75,
O que é um Número Decimal?
• É um número racional fraccionário que
se pode representar por uma dízima
finita
1 = 0,25
1 = 0,5
2

4
1 = 0,3333... NÂO é um número
decimal
 3
Como apareceram os números
racionais não inteiros?
• Pela necessidade de partilhar em
partes iguais
• Pela necessidade de MEDIR
comprimentos

As fracções egípcias
1
3
1
10

1
100

1
201

Os racionais não inteiros e os
programas nacionais
1
• 2º ano - fracções como operadores 
4
• 3º ano - decimais somente na
representação decimal
• 4º ano - decimais somente 
na
representação decimal
• Não há conexão com as fracções
Dificuldades inerentes aos
próprios números
Diferenças conceptuais entre os
números fraccionários e os
números inteiros
Mal entendidos dos alunos

2,29 é maior que 2,5

3,156 é maior do que 4,5

2,3+4,5= 6,8 mas 1,7+2=1,9
Mal entendidos dos alunos
 Se adicionarmos uma centésima
ao número 49,09 obtém-se :
49,010 ou mesmo 50.
 Entre 0,1 e 0,2 não há nenhum
número
Mal entendidos dos alunos
Esta figura representa uma unidade
Erro: 20,3
Mal entendidos dos alunos
Erro: 14,3
Erro: 1,7
Fazer o menor número
3, — —
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
Resposta errada
3, 1 0
Justificação dada:
Porque não tem centésimas e só tem
uma décima
Dificuldades inerentes aos
próprios números
• Unidade que é fraccionada
Diferença entre números racionais
inteiros e racionais não inteiros
Um número fraccionário (seja
decimal ou não) indica sempre uma
quantidade, mas também uma
relação com a unidade
subjacente.
Dificuldades inerentes aos
próprios números
• Os números decimais não têm um
número que sucede a outro.
0,1 0,2
A multiplicação e a divisão de
números menores que 1
10 : 0,5 = 20
•A divisão aumenta
0,1 x 40 = 4
•A multiplicação diminui
Outras possíveis razões para os
malentendidos
 Ensino dos decimais não tem
suporte nas fracções
 Ênfase nas regras e nos
algoritmos
Ensino baseado na memorização e na
repetição de procedimentos sem sentido para
o aluno
Poucas tarefas em contextos significativos
para as crianças e com recurso a materiais
O ensino não enraíza nos métodos dos
alunos, nas suas tentativas de resolução de
problemas
Abordagem usual aos decimais
0, 1

Regra vs sentido do número
2,25 + 1,75 = 2 + 1 + 0,25 +0,75 = 4
1
2,25
+ 1,75
4,00
Proposta para o ensino dos
decimais
•
•
•
•
A partir de tarefas com sentido
Ligação à fracções
Usar os métodos informais dos alunos
Usar diferentes representações do
mesmo número
• Recurso a materiais
Diferentes representações para a
metade de uma figura
Diferentes representações para a
quarta parte
25
100
25%
1
4

Um
 quarto
0,25
Problemas de partilha equitativa
Tarefa1: Os alunos da turma da Joana foram
a um passeio. A Joana e quatro dos seus
colegas decidiram levar para o lanche 3
sandes para partilharem igualmente entre
elas. Que porção de sandes coube a cada
uma das 5 crianças?
Problemas de partilha equitativa
Tarefa 2: No mesmo passeio outro
grupo de 10 crianças partilhou 6
sandes tendo cada uma ficado com a
mesma quantidade de sandes. Com
que porção ficou cada uma?
Problemas de partilha equitativa
Tarefa 3: Em qual das duas situações
cada criança comeu mais sandes
3 sandes para 5 crianças
6 sandes para 10 crianças?
3 sandes para 5 pessoas
6 sandes para 10 pessoas
3 sandes para 5 pessoas
3 sandes para 5 pessoas
6 sandes para 10 pessoas
3 sandes para 5 crianças
1 1
22
33
44
5
1 2 3 4 5
1
10
1
1

2
10

3 sandes para cinco meninos
1
5
1
5

1 + 1+ 1 = 3
5
5
5 5

1
5
Resolução com a divisão
3 : 5 = 0,6
3
5
6 sandes para 10 crianças
1 1

2 10
ou
6
10
6 sandes para 10 meninos
• 60 pedaços a dividir por 10
• Cada pedaço são 0,6 de sandes
A centésima
Medição de comprimentos dada
uma unidade de medida (por
exemplo o metro)
O Modelo rectangular para a
centésima
O círculo das centésimas
1
0,01 =
100

Material Cuisenaire
Q u ic k T im e ™ a n d a
TI FF ( L Z W ) d e c o m p r e s s o r
a r e n e e d e d t o s e e t h is p ic t u r e .
Os materiais
A reconstrução da unidade
• Se
representa a quarta parte
de um chocolate, representa o chocolate
inteiro (usa o papel quadriculado do teu
caderno)
A unidade
Reconstrução da unidade
Tarefa 1: Constr—
i as unidades (as figuras inteiras) a partir das por› es indicadas.
0,1
0,5
0,2
MAB
O Metro cúbico
A Linha numérica
1
1
10

0
0,5
1
Representação de decimais na
linha numérica
6
5
6
5
EST E NòMERO ƒ...
Que número é?
A dupla linha numérica
0
1/2
1h
0
30m
60m
1m
0
0,25
0,5 m
0
2,5 dm
5 dm
0
0
10 dm
0,1
1 e ur o
10
100ce nts
789 x 0,51 = ?
2 500 : 0,5
Cálculo mental
0,25 x 4
0,5 x2
1 : 0,1
0,25 x 8
0,5 x 4
2 : 0,1
0,25 x 16
0,5 x 16
4 : 0,1
O Cálculo mental e a propriedade
distributiva da multiplicação
2,5 x 12 = 2,5 x (10+2) = 25 + 5 = 30
2,5
x12
50
25
30,0
Estimativas
•Números próximos de números
de referência
•Coloca estes números em 3
envelopes:
Próximo de 0
1
Próximo de
2
Próximo de 1
•0,98; 0,49; 1,02;
0,01; 0,52; 0,12

Estimativas
• 23 x 0,97
• 45,6 x 9,98
• 23 : 0,98
Preciso de comprar 27 bilhetes para ir
com uma turma ao teatro, será que 260
euros chegam se cada bilhete custa
9,50 euros
O modelo 10X10 para a
multiplicação de decimais
0,2 x 0,1 = 0,02
Duas décimas de uma décima
O Modelo 10x10 e a multiplicação
de decimais: 0,8 x 0,5
0,5
0,8
Divisão
1 : 0,01=100
O Contexto do dinheiro
1 euro = 100 cêntimos
1 cêntimo = 0,01 euro
1 : 0,01 = 100
Quanto falta para ter um euro?
1 - 0,55 = ?
1 - 0,75 = ?
Um euro equivale a quantos
cêntimos?
1 : 0,10 =
10
1 : 0,50 = 2
Recomendações
• Trabalhar os decimais a partir e/ou a par com
as fracções
• Partir de situações em contextos
significativos para dar sentido a estes novos
números
• Apresentar várias maneiras de representar
os números racionais não inteiros
• Variar a unidade de referência - o todo
Recomendações
• Formalizar a partir das resoluções informais
dos alunos na resolução de problemas
• Fazer conexões com as grandezas e
medidas
• Ênfase no sentido do número
• Estimativas e cálculo mental
• Representação na linha numérica
• Usar materiais
essencial que o aluno consiga, ele
próprio, sem ajuda, resolver
exercícios pela primeira vez. Todo o
problema novo, com interesse, tem
uma ideia chave, um “abre-te
Sésamo” que ilumina o espírito de
súbita alegria: a clássica ideia
luminosa que faz gritar “Eureka”.
“…É
Ora é esse momento áureo de
alegria que o aluno precisa de
conhecer alguma vez: só por essa
porta se entra no segredo da
Matemática, se descobrem os seus
tesouros, se aprendem as suas
recônditas harmonias.
Visto por este mágico prisma, todos
os assuntos, desde os mais modestos,
se transformam, como por encanto,
ganhando vida e beleza. Diga-se a
verdade é de vida, é de alma, que o
ensino da Matemática está
necessitando…”
Professor Sebastião e Silva
• [email protected]