Transcript Monstros Matemáticos
Fractais I
José Garcia Vivas Miranda
Era uma vez... Que são Fractais; 1º Dia Conceitos; Fractais e a Natureza; Monstros Matemáticos; Como construir-los; Como caracteriza-los; Índices Fractais;
Histórico
... final século XIX e inicio do XX, Henrí Poincaré abre um caminho comum entre o
simples
(previsível) e o
complexo
(caótico)...
Dinâmicas simples poderiam gerar formas complexas.
... em paralelo, matemáticos como, Cantor, Peano, Hilbert iniciaram mudanças profundas nos conceitos de topologia, os “
Monstros matemáticos
”...
... Richardson em 1961 se pergunta: “
Quanto mede um costa litorânea
”... (exemplo da fronteira ES-PT).
... 1975 Mandelbrot junta tudo ecunha o termo
FRACTAL
TÓPICOS Era uma vez... Que são Fractais; Conceitos; Fractais e a Natureza; Monstros Matemáticos; Como construir-los; Como caracteriza-los; Índices Fractais;
Que são fractais
CONCEITOS Definições formais:
“Um objeto é considerado fractal quando sua dimensão de medida é maior que sua dimensão topológica e menor que sua dimensão de imersão”
Hausdorff
“Um fractal é uma figura feita de partes similares ao todo de alguma forma”
Mandelbrot
Que são fractais
Idéia de autosemelhança
Que são fractais
Semelhança entre escalas (autosemelhança) Cada tipo de árvore tem um padrão de autosemelhança próprio.
Que são fractais
Autosemelhança em estruturas naturais 10 5 0 -5 -10 -15 0 -1 -2 3 2 1 400 300 200 100 0 -100 600 602 604 Tiempo 606 608 610
Que são fractais
Autosemelhança em estruturas naturais 10 5 0 -5 -10 -15 0 -1 -2 3 2 1 400 300 200 100 0 -100 600 602 604 Tiempo 606 608 610
Fractais e a Natureza
NATUREZA
Fractais e a Natureza
Exemplo de autosemelhança
Fractais e a Natureza
Fractais estão por todas as partes.
Nuvens; Chuvas; Montanhas; Música; Árvores; Estrelas; Pulmões; Passag. do Ferry; Rochas; Ruídos; Coração; etc..
Fractais e a Natureza
Porque a Natureza escolheu esta forma de estruturar-se ?
Para responder temos que conhecer os
Monstros Matemáticos.
TÓPICOS Era uma vez... Que são Fractais; Conceitos; Fractais e a Natureza; Monstros Matemáticos; Como construir-los; Como caracteriza-los; Índices Fractais;
Monstros Matemáticos
O Conjunto de Cantor
Monstros Matemáticos
A Curva de Koch
Monstros Matemáticos
A Curva de Peano
Monstros Matemáticos
COMO CONSTRUIR Técnica da substituição de strings.
‘F’ == Passo a frente ‘+’ == Gira a direita de um ângulo A ‘-’ == Gira a esquerda de um ângulo A
Exemplo da curva de Koch
Gerador
‘F’ “F-F++F-F”
Ângulo de 60º.
F (F – F ++ F – F) (F-F++F-F)- (F-F++F-F)++ (F-F++F-F)- (F-F++F-F) ...
Monstros Matemáticos
COMO CONSTRUIR Técnica da substituição de strings.
F F F ++ F F FractalStr
Monstros Matemáticos
COMO CONSTRUIR Técnica da substituição de strings parte II ‘F’ ‘+’ ‘-’ ‘X’ ‘Y’ (Os fantasmas) == Passo a frente == Gira a direita de um ângulo A == Gira a esquerda de um ângulo A == Não faz nada == Não faz nada
Exemplo do dragão
‘F’
Gerador
‘F’ ‘X’ ‘Y’ “X+YF+” “-FX-Y”
Ângulo de 90º.
FX F X + Y F + F (X + Y F +) + (- F X - Y) F + ...
Monstros Matemáticos
COMO CONSTRUIR Técnica da substituição de strings parte II (Os fantasmas) FractalStr
Exemplo do dragão
‘F’ ‘+’ ‘-’ ‘X’ ‘Y’ ‘[‘ ‘]‘
Monstros Matemáticos
COMO CONSTRUIR Técnica da substituição de strings parte III (As Arvores) == Passo a frente == Gira a direita de um ângulo A == Gira a esquerda de um ângulo A == Não faz nada == Não faz nada == Salva posição corrente.
== Recupera posição corrente.
Exemplo da Arvore
‘F’
Gerador
“FF-[-F+F+F+F]+[+F-F-F]
Ângulo de 22º.
Monstros Matemáticos
COMO CONSTRUIR
Exemplo da Arvore
FractalStr
Monstros Matemáticos
COMO CONSTRUIR
OBSERVAÇÃO
Não sei se deu para perceber, mas até aqui todos as figuras são, perfeitamente
DETERMINÍSTICAS!!!!
Conceito de simples
complexo de Poincaré
Monstros Matemáticos
COMO CONSTRUIR Incluindo aleatoriedade.
A curva de Koch aleatória Ângulos aleatórios.
Monstros Matemáticos
COMO CONSTRUIR Incluindo aleatoriedade.
Arvore aleatória Ângulos aleatórios.
FractalStr
TÓPICOS Era uma vez... Que são Fractais; Conceitos; Fractais e a Natureza; Monstros Matemáticos; Como construir-los; Como caracteriza-los; Índices Fractais;
Monstros Matemáticos
CARACTERIZANDO Qual o comprimento da curva de Koch ?
Mas antes, o que é comprimento ?
L = N(
)
Se medimos o
N(
)
para diferentes escalas: 50 40 30 20 10 0 0,0 0,5
N(
) = 1/
1,0 1,5 1 0,5
N(
) L
1 1 2 1 0,25 2,0 0,125 4 8 1 1
Dimensão Fractal
Fazendo o mesmo para áreas...
L = N(
)
2 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 -200 0,0
N(
) = 1/
0,5 1,0 2 1,5
Dimensão Fractal
E para a Curva de Koch ?
Que utilizar? Segmentos ou ladrilhos?
Se utilizamos segmentos = 1,
N(
) = 1
= 1/3,
N(
) = 4
= 1/9,
N(
) = 16
= 1/27,
N(
) = 64
70 60 50 40 30 20 10 0
N(
) = 1/
1.26
0,0 1 0,333 1,0 0,5
N(
) L
1 1 4 1,3 0,111 0,037 16 64 lim 0
L
= 1,8 2,4
Dimensão Fractal
Juntando tudo...
50 40 30 20 10 0 -10 0,0 0,2 Reta Plano Koch
Topologicamente a curva de Koch esta entre uma reta e um plano.
Generalizando...
0,4
N(
) = 1/
D
0,6 0,8 1,0
onde
D
é a dimensão Fractal do objeto Este método é conhecido como contagem de caixas. (box counting)
Dimensão Fractal
Método de contagem de caixas •Calcular a dimensão fractal de sua assinatura!!!
•Calcular a dimensão fractal de uma imagem (programa Robson).
Dimensão Fractal
Porque a Natureza escolheu esta forma de estruturar-se ?
Resp.: Uma questão de economia!!
Dimensão Fractal
Conceito topológico de Dimensão
“Um objeto é considerado fractal quando sua dimensão de medida é maior que sua dimensão topológica e menor que sua dimensão de imersão”
Hausdorff
Dimensão Fractal
Prática, Calcular a dimensão fractal de uma bolinha de papel!!!
Dimensão Fractal
Dever de casa, Construir um novo Fractal!
Pensar em um método para calcular D para papeis rasgados.