Fractais I

José Garcia Vivas Miranda

 Era uma vez...  Que são Fractais; 1º Dia  Conceitos;  Fractais e a Natureza;  Monstros Matemáticos;  Como construir-los;   Como caracteriza-los; Índices Fractais;

Histórico

... final século XIX e inicio do XX, Henrí Poincaré abre um caminho comum entre o

simples

(previsível) e o

complexo

(caótico)...

Dinâmicas simples poderiam gerar formas complexas.

... em paralelo, matemáticos como, Cantor, Peano, Hilbert iniciaram mudanças profundas nos conceitos de topologia, os “

Monstros matemáticos

”...

... Richardson em 1961 se pergunta: “

Quanto mede um costa litorânea

”... (exemplo da fronteira ES-PT).

... 1975 Mandelbrot junta tudo ecunha o termo

FRACTAL

 TÓPICOS Era uma vez...  Que são Fractais;  Conceitos;  Fractais e a Natureza;  Monstros Matemáticos;  Como construir-los;   Como caracteriza-los; Índices Fractais;

Que são fractais

CONCEITOS Definições formais:

“Um objeto é considerado fractal quando sua dimensão de medida é maior que sua dimensão topológica e menor que sua dimensão de imersão”

Hausdorff

“Um fractal é uma figura feita de partes similares ao todo de alguma forma”

Mandelbrot

Que são fractais

Idéia de autosemelhança

Que são fractais

Semelhança entre escalas (autosemelhança) Cada tipo de árvore tem um padrão de autosemelhança próprio.

Que são fractais

Autosemelhança em estruturas naturais 10 5 0 -5 -10 -15 0 -1 -2 3 2 1 400 300 200 100 0 -100 600 602 604 Tiempo 606 608 610

Que são fractais

Autosemelhança em estruturas naturais 10 5 0 -5 -10 -15 0 -1 -2 3 2 1 400 300 200 100 0 -100 600 602 604 Tiempo 606 608 610

Fractais e a Natureza

NATUREZA

Fractais e a Natureza

 Exemplo de autosemelhança

Fractais e a Natureza

 Fractais estão por todas as partes.

 Nuvens;  Chuvas;  Montanhas;  Música;  Árvores;  Estrelas;  Pulmões;  Passag. do Ferry;  Rochas;  Ruídos;  Coração;  etc..

Fractais e a Natureza

Porque a Natureza escolheu esta forma de estruturar-se ?

Para responder temos que conhecer os

Monstros Matemáticos.

 TÓPICOS Era uma vez...  Que são Fractais;  Conceitos;  Fractais e a Natureza;  Monstros Matemáticos;  Como construir-los;   Como caracteriza-los; Índices Fractais;

Monstros Matemáticos

 O Conjunto de Cantor

Monstros Matemáticos

 A Curva de Koch

Monstros Matemáticos

 A Curva de Peano

Monstros Matemáticos

COMO CONSTRUIR  Técnica da substituição de strings.

‘F’ == Passo a frente ‘+’ == Gira a direita de um ângulo A ‘-’ == Gira a esquerda de um ângulo A

Exemplo da curva de Koch

Gerador

‘F’  “F-F++F-F”

Ângulo de 60º.

F (F – F ++ F – F) (F-F++F-F)- (F-F++F-F)++ (F-F++F-F)- (F-F++F-F) ...

Monstros Matemáticos

COMO CONSTRUIR  Técnica da substituição de strings.

F F F ++ F F FractalStr

Monstros Matemáticos

 COMO CONSTRUIR Técnica da substituição de strings parte II ‘F’ ‘+’ ‘-’ ‘X’ ‘Y’ (Os fantasmas) == Passo a frente == Gira a direita de um ângulo A == Gira a esquerda de um ângulo A == Não faz nada == Não faz nada

Exemplo do dragão

‘F’ 

Gerador

‘F’ ‘X’  ‘Y’  “X+YF+” “-FX-Y”

Ângulo de 90º.

FX F X + Y F + F (X + Y F +) + (- F X - Y) F + ...

Monstros Matemáticos

 COMO CONSTRUIR Técnica da substituição de strings parte II (Os fantasmas) FractalStr

Exemplo do dragão

‘F’ ‘+’ ‘-’ ‘X’ ‘Y’ ‘[‘ ‘]‘

Monstros Matemáticos

 COMO CONSTRUIR Técnica da substituição de strings parte III (As Arvores) == Passo a frente == Gira a direita de um ângulo A == Gira a esquerda de um ângulo A == Não faz nada == Não faz nada == Salva posição corrente.

== Recupera posição corrente.

Exemplo da Arvore

‘F’ 

Gerador

“FF-[-F+F+F+F]+[+F-F-F]

Ângulo de 22º.

Monstros Matemáticos

COMO CONSTRUIR

Exemplo da Arvore

FractalStr

Monstros Matemáticos

COMO CONSTRUIR

OBSERVAÇÃO

Não sei se deu para perceber, mas até aqui todos as figuras são, perfeitamente

DETERMINÍSTICAS!!!!

Conceito de simples



complexo de Poincaré

Monstros Matemáticos

 COMO CONSTRUIR Incluindo aleatoriedade.

A curva de Koch aleatória Ângulos aleatórios.

Monstros Matemáticos

 COMO CONSTRUIR Incluindo aleatoriedade.

Arvore aleatória Ângulos aleatórios.

FractalStr

 TÓPICOS Era uma vez...  Que são Fractais;  Conceitos;  Fractais e a Natureza;  Monstros Matemáticos;  Como construir-los;   Como caracteriza-los; Índices Fractais;

Monstros Matemáticos

CARACTERIZANDO  Qual o comprimento da curva de Koch ?

 Mas antes, o que é comprimento ?

L = N(



)

  Se medimos o

N(



)

para diferentes escalas: 50 40 30 20 10 0 0,0 0,5

N(



) = 1/

  1,0 1,5 1  0,5

N(



) L

1 1 2 1 0,25 2,0 0,125 4 8 1 1

Dimensão Fractal

 Fazendo o mesmo para áreas...

L = N(



)

 2 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 -200 0,0

N(



) = 1/

0,5  1,0  2 1,5

Dimensão Fractal

 E para a Curva de Koch ?

Que utilizar? Segmentos ou ladrilhos?

Se utilizamos segmentos  = 1,

N(



) = 1

 = 1/3,

N(



) = 4

 = 1/9,

N(



) = 16

 = 1/27,

N(



) = 64

70 60 50 40 30 20 10 0

N(



) = 1/

 1.26

0,0 1  0,333 1,0 0,5 

N(



) L

1 1 4 1,3 0,111 0,037 16 64  lim  0

L

=  1,8 2,4

Dimensão Fractal

 Juntando tudo...

50 40 30 20 10 0 -10 0,0 0,2 Reta Plano Koch

Topologicamente a curva de Koch esta entre uma reta e um plano.

Generalizando...

0,4 

N(



) = 1/



D

0,6 0,8 1,0

onde

D

é a dimensão Fractal do objeto Este método é conhecido como contagem de caixas. (box counting)

Dimensão Fractal

 Método de contagem de caixas •Calcular a dimensão fractal de sua assinatura!!!

•Calcular a dimensão fractal de uma imagem (programa Robson).

Dimensão Fractal

Porque a Natureza escolheu esta forma de estruturar-se ?

Resp.: Uma questão de economia!!

Dimensão Fractal

Conceito topológico de Dimensão

“Um objeto é considerado fractal quando sua dimensão de medida é maior que sua dimensão topológica e menor que sua dimensão de imersão”

Hausdorff

Dimensão Fractal

 Prática, Calcular a dimensão fractal de uma bolinha de papel!!!

Dimensão Fractal

 Dever de casa, Construir um novo Fractal!

Pensar em um método para calcular D para papeis rasgados.