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Supersymmetry non-renormalization
theorem from a computer
and the AdS/CFT correspondence
総研大D2 本多正純
Ref : arXiv:1011.3904 [hep-lat]
1106.xxxx [hep-th]
伊敷吾郎氏 ( CQUeST ) , Sang-Woo Kim氏 ( 大阪大 ) ,
西村淳氏 ( KEK＆総研大 ) , 土屋麻人氏 ( 静岡大 )
との共同研究に基づく。
KEK String Advanced Lecture 2011.5.25
導入・動機
4d
SYM のシミュレーション
Motivation①: N=4 SYMの非摂動的な正則化
格子正則化
並進対称性
格子上でオリジナルのSUSYを全て保つのは不可能
しかし 連続極限でSUSYが回復する可能性がある
SYMの場合、最低３コのパラメータのfine-tuningが必要
[Giedt ‘09, Catterall-Dzienkowski-Giedt-Joseph-Wells’11 ]
ここでは、
格子正則化の代わりにLarge N reductionを用いる
格子正則化で（実用上）シミュレーション可能な場の理論
※時空はflatかつEuclideanで、符号問題はないものとする
Nonsupersymmetric supersymmetric
supersymmetric
(finite N)
(Large N)
１次元
２次元
３次元
４次元
○
○
○
○
○
○
?
○
○
?
×
×
(N=1 pure SYM 以外）
(N=1 pure SYM 以外）
導入・動機（続き）
Motivation②: AdS/CFT対応の検証
― 応用面、超弦理論の非摂動的側面を探る上で重要
ここで考える対応はD3ブレーンの場合：
[ J.Maldacena ’97]
AdS5
/
CFT4
dual
Chiral Primary Op.の相関関数を数値的に解析
講演の流れ
1. 導入・動機
2. Chiral Primary Op.の相関関数(4slides)
3. どうやってＳＹＭを計算機に乗せるか？(11slides)
4. 結果～２点関数と３点関数～ (9slides)
5. 結果～４点関数～ (4slides)
6. まとめと展望
5
Chiral Primary Operator (CPO)
定義：
(Half BPS) CPO :
: 6 adj. scalars in SYM
: symmetric traceless
tensor
Ex.)
BPS 条件:
Half BPS!
CPOと非くりこみ定理
共形対称性が相関関数の形を決定：
・2点 :
・3点 :
・4点 :
非くりこみ（定理？）
[ Eden-Howe-Sokatchev-West ‘00 ]
or
※ nonzeroの2点関数は常にextremal
7
AdS/CFT & CPO
dual
コンパクト化＆球面調和関数展開
GKP-Witten関係式
[ Gubser-Klebanov-Polyakov’98, Witten’98 ]
dual
Massスペクトルを比較
[cf. Kim-Romans-Nieuwenhuizen ’85 ]
dual
8
重力側の多点関数
[ Lee-Minwalla-Rangamani-Seiberg’98 ]
Bulk場－boundary op.の相互作用の大きさが未知
・・・相関関数の“絶対的”な値が未定
2点関数で多点関数を規格化
AdS/CFT対応の予言
・3点 :
(※extremal or next-to-extremalに関しては、
非くりこみ定理よりも弱い主張)
・4点 :
講演の流れ
1. 導入・動機
2. Chiral Primary Op.の相関関数(4slides)
3. どうやってＳＹＭを計算機に乗せるか？(11slides)
4. 結果～２点関数と３点関数～ (9slides)
5. 結果～４点関数～ (4slides)
6. まとめと展望
10
Large N reductionの一般的な概念
[ Eguchi-Kawai, Bhanot-Heller-Neuberger,
Gonzalez-Arroyo-Okawa, Gross-Kitazawa ]
“１点”につぶす
(=Dimensional reduction)
オリジナルの理論
Reduced model
真空の周りの揺らぎが
安定なら、等価！
ある特定の真空の
& 行列サイズ →∞
周りで展開
Ex.) Large N reduction on R
Original Model:
Propagator:
Reduced Model:
Propagator:
これらのモデルは以下の極限で互いに等価:
12
ゲージ理論のLarge N reduction
[ Gross-Kitazawa’82, Bhanot-Heller-Neuberger ‘82]
処方箋をゲージ理論にそのまま適用すると、
しかし、この作用は
の下で不変
flat directions
バックグラウンドが不安定
13
4
3
共形変換 : R → R×S
※
equivalent
3
S ～正曲率 → Reduced modelに質量項
No flat direction
3
ここでは、 S 上のLarge N reductionを考える
14
どうやってＳＹＭを計算機に乗せるか？
[ Cf. “finite N” version: Hanada-Matsuura-Sugino’10 ]
① 共形変換
出発点：
(32 SUSY)
t=[ 0,β ]として、
② Large N reduction on S3
（＝ S3 を単に“つぶす”）
(32 SUSY)
[ Ishii-Ishiki-Shimasaki-Tsuchiya ’08 ]
同等な1次元行列模型(PWMM,BMN)
③ フーリエモード正則化
(16 SUSY)
[ Hanada-Nishimura-Takeuchi ’07 ]
モンテカルロ・シミュレーション
（Rational Hybrid Monte Carlo algorithm）
15
S3上のLarge N reduction
[ Ishii-Ishiki-Shimasaki-Tsuchiya ’08 ]
[ cf. 一般的な時空への拡張:
Kawai-Shimasaki-Tsuchiya ]
S3 を“１点”につぶす
(S3 方向の微分を落とす)
×
×
オリジナルの理論
1d reduced model
SU(2,2|4)⊃32 SUSY
真空の周りの揺らぎが
安定なら、等価！
(16/32 SUSYをあらわに保つ!)
( = Plane Wave Matrix Model )
SU(2|4)⊃16 SUSY
ある特定の真空の
& 行列サイズ →∞
周りで展開
PWMMの真空は何か?
SYM from PWMM（outline）
[ cf.Kim-Klose-Plefka’03 ]
Locally,
×
S1をつぶす
S1上のLarge N reduction
×
S2 をつぶす
2/μ
Fuzzy sphereの可換極限
×
2/μ
4 gauge
fields
3 gauge
fields
＋
1 scalar
1 gauge
field
＋
3 scalars
PWMMの真空：
（S3上のゲージ場だった ） ３つのスカラー場に対して、
0
(
：SU(2) representation )
Fuzzy sphere !
SYM from PWMM（処方箋）
SYMはPWMMの以下の極限で再現される：
[ Ishii-Ishiki-Shimasaki-Tsuchiya ’08 ]
３つのスカラー場を“ある”真空解の周りで展開：
2/μ
真空の安定性（時間に余裕があったら）
真空：
測定量：
19
異なる真空間の転移
20
現時点で（実用上）シミュレーション可能な場の理論
※時空はflatかつEuclideanで、符号問題はないものとする
Nonsupersymmetric
１次元
２次元
３次元
４次元
supersymmetric
(finite N)
supersymmetric
(Large N)
○
○
○
(Lattice, or Fourier mode ）
(Lattice, or Fourier mode ）
(Lattice, or Fourier mode ）
○
○
○
(Lattice)
(Lattice)
(Lattice)
○
?
○
(Lattice)
○
(Lattice)
・N=1 pure SYM ：
Latticeで○
・N=4 SYM:
Hanada-MatsuuraSugino formulation
格子正則化と相補的
(Large N reduction)
○
(Large N reduction
+ Fourier mode)
講演の流れ
1. 導入・動機
2. Chiral Primary Op.の相関関数(4slides)
3. どうやってＳＹＭを計算機に乗せるか？(11slides)
4. 結果～２点関数と３点関数～ (9slides)
5. 結果～４点関数～ (4slides)
6. まとめと展望
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計算する相関関数（２点・３点）
・2-pt. :
・3-pt. :
非くりこみ定理
AdS/CFT 対応
(extremal)
(next-to-extremal)
相関関数に対応するPWMMの演算子
共形変換
×
2/μ
Large N reduction
24
シミュレーションのセットアップ
×
0
ここでは、
2点関数のフーリエ変換
対応する正則化パラメータ
におけるfree
intermediate
weak
strong
しかし、繰り込み補正は受けている
片logプロットで関数形が同じ
→今の行列サイズでは非繰り込み定理を
→ 繰り込みはオーバーオールのみ
検証するのに不十分？（今後の課題）
（∵BPS op.のmassは繰り込まれない）
2点関数の繰りこみ
weak
intermediate
strong
Extract c2
2点関数のフーリエ変換
intermediate
weak
strong
3点関数のフーリエ変換
free
strong
weak
intermediate
3点関数の繰りこみ
weak
intermediate
(c2)3/2
strong
(c2)3/2と比較
3点関数のフーリエ変換
strong
weak
intermediate
重力側の予言とconsistent
講演の流れ
1. 導入・動機
2. Chiral Primary Op.の相関関数(4slides)
3. どうやってＳＹＭを計算機に乗せるか？(11slides)
4. 結果～２点関数と３点関数～ (9slides)
5. 結果～４点関数～ (4slides)
6. まとめと展望
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計算する相関関数（４点）
(non-extremal)
AdS/CFT 対応
GKP-Witten関係式から、
繰りこみ：
を使って書くと、
Cf. 重力側の4点関数
[ Arutyunov-Frolov’00 ]
4点関数の繰り込みの運動量依存性
(c2)2
各運動量配位で定数からの有意な差は見られないが、
値が配位ごとに異なっている→運動量依存性？
重力側の予言との比較
(c2)2
重力側の値で割ったことによって、
ＧＫＰ-Witten関係式とconsistentな結果に近づく
講演の流れ
1. 導入・動機
2. Chiral Primary Op.の相関関数(4slides)
3. どうやってＳＹＭを計算機に乗せるか？(11slides)
4. 結果～２点関数と３点関数～ (9slides)
5. 結果～４点関数～ (4slides)
6. まとめと展望
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まとめと展望
・
SYMにおいて、
Chiral Primary Operatorの２・３・４点関数
を１６ SUSYを尊重しつつモンテカルロシミュレーションで計算
・AdS/CFT対応の予言：
&
とconsistentな結果
Work in progress
・Wilsonループ [ M.H.-Ishiki-Nishimura-Tsuchiya ]
円形－厳密な計算結果が存在 [Cf. Erickson-Semenoff-Zarembo, Drukker-Gross, Pestun ]
方法論のチェック
長方形－Non-BPS op.でもAdS/CFTは成り立つのか??
・S3上のLarge N等価性の精密な検証 [ M.H.-Nishimura-Tsuchiya ]
・現象論的に興味あるモデルへの応用
[ SQCDへの応用: M.H.-Nishimura ]
ありがとうございました。
39
3
Gauge fields on S ～SU(2)
mass term
40
R×S3 → R×S2
[ cf.Kim-Klose-Plefka ]
Dimensional reduction
(dropping S^1 derivative)
41
41
R×S2 → PWMM
[ cf.Kim-Klose-Plefka ]
Dimensional reduction
(dropping S^2 derivative)
42
Ex.) Large N reduction on R
Original Model:
Propagator:
Reduced Model:
Propagator:
These models are equivalent with each other in the limit:
43
Check of Equivalence (Planar)
Original Model
Reduced Model
※ trace→Integration：
44
Check of Equivalence (non-Planar)
Original Model
Reduced Model
Suppressed by O(N-2) !!
Original model = Reduced model
in planar limit
45
1
Large N reduction on S
Matrix QM on S1
[ Kawai-Sato,Ishii-Ishiki-Shimasaki-Tsuchiya ]
Reduced Model :
46
Check of equivalence
Original Model
Reduced Model
・Planar
・Non-planar
Suppressed !
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SYM on R×S3 ← SYM on R×S2
Action(Gauge part)
Vacua
Appropreately choose monopole charge and their degeneracy
48
Fuzzy sphere harmonics
Expand (2j+1)×(2j’+1) “rectangular” matrix：
Fuzzy sphere harmonics：
49
Commutative limit of Fuzzy sphere
：monopole charge q のmonopole harmonics
SYM on R×S2 ← PWMM
Commutative limit of fuzzy sphere → Theory on S2
Action(Gauge part)
Vacua：
Appropreately choose dim. of rep. and their degeneracy
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Plane Wave (BMN) Matrix Model
The action of PWMM:
[ Berenstein-Maldacena-Nastase ’02 ]
1 dimension
infinite degrees of freedom
We need additional reguralization .
52
Fourier Mode reguralization
① Impose IR cutoff by taking t=[ 0,β ] ：
[ Hanada-Nishimura-Takeuchi ’07 ]
[ cf. Lattice : Catterall-Anders ’10 ]
Fourier Mode cutoff
② Impose UV cutoff by restricting the mode number.
This reguralization break gauge symmetry in general dimension.
BUT in 1 dimension, we can take static diagonal gauge :
We can respect the gauge symmetry .
We can simulate SYM now !
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Gauge fixing
Static diagonal gauge
Residual gauge symmetry
We can take
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55
三者若手夏の学校2009
55
List of fields
[ D’Hoker-Freedman ]
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Stability of background
Measure
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Stability of background (Cont’d)
58
Stability of background (Cont’d)
59
Transition
60
Violation of non-renormalization?
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