Transcript Ruch układu o zmiennej masie

Fizyka 2
Ruch układu o zmiennej masie
Ciało o masie M porusza się z prędkością v. W
przedziale czasu t wyrzuca masę M z prędkością u
w pokazanym układzie współrzędnych.
y
v
u
x
Zgodnie z prawami Newtona
Siły
zewnętrzne


dP
Fzewn 
dt
Zmiana pędu w
czasie
Wyznaczmy zmianę pędu obiektu wyrzucającego
masę M w czasie t
Różnica pędów:

  
pk końcowego –
dP P Pk  Pp
początkowy pp


dt
t
t










M   M  v  V   MU  M v
Fzewn 

t

v    M
 M  u  v  v 
t
t
t → 0 wtedy v → 0, a v/ t należy zastąpić
przez
dv , a M /t przez  dM
dt
dt
„- „ bo ubytek


d v  dM  dM
Fzewn  M  v
u
dt
dt
dt
Pochodna iloczynu

  dM
d
Fzewn  M v   u
dt
dt


 dM  dM
dv
 M   Fzewn  v
u
dt
dt
dt
 
dv
  dM
M  Fzewn  u  v 
dt
dt
Prędkość
względna vwzgl
 

 dM 
dv
M  Fzewn  vwzgl
 Fzewn  Freakcji
dt
dt
Równanie sił działających na układ o zmiennej
masie sprowadza się w tym przypadku do
sumy sił zewnętrznych i siły reakcji, jaką
wywiera substancja wyrzucana na
poruszające się ciało.
Siłę reakcji nazywamy też siłą ciągu.
 dM 
vwzgl
 Freakcji
dt
Przykłady
1. Na gładkim stole leży sznur, ¼ jego długości zwisa
pionowo w dół. Znaleźć czas po którym cały sznur
spadnie ze stołu, jeżeli w chwili t = 0 jego prędkość jest
równa zeru, a całkowita długość sznura wynosi l.
y

my g
m– masa sznura, my masa części zwisającej
y(0) = ¼ l
y(tk ) = l, tk - czas
końcowy
2
d y
m 2  my g
dt
m
l

my
y
2
d y y
 g
2
dt
l
y t   e rt
y ' t   re rt
y ' ' t   r e
2 rt
Rozwiązaniem takiego równania jest
funkcja czasu i ma ogólną postać ert
gdzie t jest czasem, r – pewną stałą.
Funkcje te wstawiamy do równania
sił działających na sznur,
działających wzdłuż osi y. Siły
działające wzdłuż osi x równoważą
się.
g rt
r e  e 0
l
g
rt  2
e r    0
l

2 rt
g
r
l
g
g 

t
t

l

l
y  A1e  A2e 




1
y 0  l  A1  A2
4
Otrzymaliśmy wartość stałej r,
która może być dodatnia i
ujemna, z tego wynika że
rozwiązanie jest sumą rozwiązań
zaproponowanych z
uwzględnieniem stałych A
związanych z wymiarem sznura.
Stałe A wyznaczamy mając
jeszcze informację, że
prędkość początkowa jest
zerowa.
y' 
g 
A1e
l 
g
t
l
 A2 e
g
 lt




0  A1  A2
1
A1  A2  l
8
Czas końcowy wyznaczamy na podstawie informacji, że
y(tk ) końcowa wynosi l .
1
y   le
8

1
l   le
8

g
t
l
g
tk
l




1 
 le
8
g
t
l
1 
 le
8
g
tk
l




1
g
y t   l cosh
t
4
l
Zapis równania z
użyciem funkcji
hiperbolicznej
1
g
l  l cosh
tk
4
l
g
4  cosh
tk
l
Funkcje hiperboliczne:
sinus hiperboliczny
e x  e x
sinh 
2
cosinus hiperboliczny
e x  e x
cosh 
2
Przykład 2
Na kutrze o masie m = 2•100 000 kg ustawiono specjalny silnik
pobierający wodę na dziobie i wyrzucający w kierunku
przeciwnym do ruchu kutra 200 kg wody w ciągu sekundy z
szybkością u = 5 m/s względem kutra. Znaleźć prędkość kutra po
czasie 5 min. od rozpoczęcia ruchu. Opór wody pominąć. W chwili
t = 0, v(0) = 0
u
µ = 200 kg/s
v
m v  mv  v   v  u t
Przyrosty skończone zastępujemy
nieskończenie małymi.
Prawo zachowania pędu
m v  mv  dv  v  u dt
mdv  v  u dt  0 Następnie
dv

  dt  C
v u
m
Otrzymaliśmy równanie
różniczkowe, którego rozwiązanie
ma postać następującą:
lnv  u   

m
t  ln C

 t

v  u1  e m 


separujemy zmienne,
a następnie
całkujemy
W chwili t = 0, v(0) = 0
C – stała całkowania
V = 1.3 m/s
Rozwiązanie wykorzystujące równanie sil
działających w przypadku zmiennej masy układu
 
 dM
dv
M  Fzewn  vwzgl
dt
dt
dv
dM
M  (u  v)
 (u  v) 
dt
dt
dM

dt
dv
M    v  u 
dt
dv

  dt
v u
M

lnv  u    t  ln C
M
Otrzymujemy równanie, jak w poprzedniej
metodzie.
3. Rakieta o początkowej masie M0 startuje
pionowo do góry. Szybkość spalania dM/dt
materiału pędnego jest stała. Prędkość vwzgl
wyrzucanych gazów względem rakiety jest
również stała. Jaka będzie prędkość rakiety w
dużej odległości od powierzchni Ziemi, kiedy
można pominąć wszystkie działające na nią siły
zewnętrzne?

dv  dM
M  vwzgl
dt
dt
Siły zewnętrzne są
pomijalne, a prędkość
wyrzucanych przez
rakietę gazów jest stała
dv
dM
M
 vwzgl
dt
dt
dM
dv  vwzgl
M
v
Całkujemy to wyrażenie od
chwili w której prędkość
wynosi v0, a masa Mo
M
dM
v dv  vwzgl M M
0
0
v  vo  vwzgl
 Mo 
 M0  M 
ln
  vwzgl ln1 

M 
M 

Prędkość rakiety zależy od prędkości
wyrzucanych gazów i od ułamka masy
wyrzucanej substancji.
4. Z nieruchomego zbiornika sypie się piasek z
szybkością dM/dt na pas transportera, poruszającego
się z prędkością v. Jaka jest wartość siły potrzebnej do
utrzymania pasa w ruchu ze stałą prędkością?
Wyznaczyć moc potrzebną.
dM/dt
v
Jeżeli pas transportera porusza się ze stałą
prędkością to równanie układu ze zmienną
masą przyjmuje postać:
 
 dM
dv
M  Fzewn  vwzgl
dt
dt
dM
0  Fzewn  vwzgl
dt
dM
Fzewn  vwzgl
dt
Ujemna wartość prędkości względnej wynika z
tego, że zbiornik, z którego sypie się piasek jest
nieruchomy
vwzgl  u  v
u0
vwzgl  v
Fzewn
dM
v
dt
Moc dostarczona przez siłę zewnętrzną wynosi:
 
dM
2 dM
p  F  v  Fv  v
vv
dt
dt
4. Robotnik rozwija linę z leżącego na ziemi zwoju.
Liniowa gęstość liny wynosi λ. Jaką siła musi on
działać na linę, aby idąc wzdłuż prostej utrzymać
stałą prędkość v0 (rozwinięta lina nie dotyka ziemi)?
 
 dM
dv
M  Fzewn  vwzgl
dt
dt
dM
0  Fzewn  vwzgl
dt
dM
Fzewn  vwzgl
dt
Równanie sił
działających na
linę o masie M
(masa części
rozwiniętej)
vwzgl  u  v0
u0
vwzgl  v0
Robotnik porusza się wzdłuż prostej x, x
jest długością części rozwiniętej.
M  x
dM
dx

  v0
dt
dt
F   (v0 )
2