Transcript 将函数展开成幂级数

实验三十五 Mathematica中的级数运算
一、实验目的

了解Mathematica的级数运算功能，能用
Mathematica软件进行级数的相关运算。
二、相关知识
本实验介绍数学软件Mathematica的级数运算功能。
 （一）幂级数
 将函数展开成幂级数用函数Series[]，具体格式为：
 Series[expr,{x,x0,n}]

将expr在点展开到阶的幂级数
 Series[expr,{x,x0,n},{y,y0,m}]

先对展开到阶再对展开阶幂级数
 例1：展开 sin 2x 到的6次幂。
 解：Series[Sin[2x], {x, 0, 6}]
 结果为：

例2：展开f[x]展开成 x 的幂级数到 x 的4次幂，
 解：Series[f[x], {x, 0, 4}]
 结果为：

如果事先定义了f[x]，则展开式就是我们所需的特
定展开式，如：
 f[x_] := Sin[x] + Cos[2x];
 Series[f[x], {x, 0, 6}]
 结果为：


例3：将函数 f ( x, y)  sin 2 x cos3 y 展开成幂级数，
关于 x 展开到4次幂，关于 y 展开到6次幂。

解：Series[Sin[2x] Cos[3y], {x, 0, 4}, {y, 0, 6}]
（二）傅立叶级数
 要把一个函数展开成傅立叶级数，主要就是计算傅
立叶系数，实际就是计算定积分，根据傅立叶系数
的公式，我们知道：
1 
1 
1 
a n   f ( x) cos nxdx ，
bn   f ( x) sin nxdx
a 0   f ( x) dx ，





 

 因此我们容易用Mathematica软件来进行计算，我
们首先来定义 an 和 bn ，

a[n_] := Integrate[f[x] Cos[n x], {x, -Pi, Pi}]/Pi
 b[n_] := Integrate[f[x] Sin[n x], {x, -Pi, Pi}]/Pi
 接着，只要定义好f[x]，就可以就可以根据需要计
算出傅立叶系数了。

2
3
x

x
 例4：写出函数
的傅立叶展开式中的前11个
系数。
 解：先定义：

f[x_] := x^2 + x^3
 接着，根据上面的程序，可以得到：

a[0]=

a[2]=1，b[2]=
，a[3]=

a[4]= ，b[4]=
，

a[5]=
，a[1]=-4，
，b[5]=
b[1]=
，
，b[3]=
。
三、实验内容
2 x
f
(
x
)

(1

x
)
e 在 x  0 处展开为幂级数
 1．将函数
（至5阶）。
4
f
(
x
)

x
 2．将函数
展开为傅立叶级数，求前9个系
数。
3
f
(
x
)

x
 3．将函数
展开为傅立叶级数，求前8个系
数。
 4．完成实验报告。