Transcript 将函数展开成幂级数
实验三十五 Mathematica中的级数运算
一、实验目的
了解Mathematica的级数运算功能,能用
Mathematica软件进行级数的相关运算。
二、相关知识
本实验介绍数学软件Mathematica的级数运算功能。
(一)幂级数
将函数展开成幂级数用函数Series[],具体格式为:
Series[expr,{x,x0,n}]
将expr在点展开到阶的幂级数
Series[expr,{x,x0,n},{y,y0,m}]
先对展开到阶再对展开阶幂级数
例1:展开 sin 2x 到的6次幂。
解:Series[Sin[2x], {x, 0, 6}]
结果为:
例2:展开f[x]展开成 x 的幂级数到 x 的4次幂,
解:Series[f[x], {x, 0, 4}]
结果为:
如果事先定义了f[x],则展开式就是我们所需的特
定展开式,如:
f[x_] := Sin[x] + Cos[2x];
Series[f[x], {x, 0, 6}]
结果为:
例3:将函数 f ( x, y) sin 2 x cos3 y 展开成幂级数,
关于 x 展开到4次幂,关于 y 展开到6次幂。
解:Series[Sin[2x] Cos[3y], {x, 0, 4}, {y, 0, 6}]
(二)傅立叶级数
要把一个函数展开成傅立叶级数,主要就是计算傅
立叶系数,实际就是计算定积分,根据傅立叶系数
的公式,我们知道:
1
1
1
a n f ( x) cos nxdx ,
bn f ( x) sin nxdx
a 0 f ( x) dx ,
因此我们容易用Mathematica软件来进行计算,我
们首先来定义 an 和 bn ,
a[n_] := Integrate[f[x] Cos[n x], {x, -Pi, Pi}]/Pi
b[n_] := Integrate[f[x] Sin[n x], {x, -Pi, Pi}]/Pi
接着,只要定义好f[x],就可以就可以根据需要计
算出傅立叶系数了。
2
3
x
x
例4:写出函数
的傅立叶展开式中的前11个
系数。
解:先定义:
f[x_] := x^2 + x^3
接着,根据上面的程序,可以得到:
a[0]=
a[2]=1,b[2]=
,a[3]=
a[4]= ,b[4]=
,
a[5]=
,a[1]=-4,
,b[5]=
b[1]=
,
,b[3]=
。
三、实验内容
2 x
f
(
x
)
(1
x
)
e 在 x 0 处展开为幂级数
1.将函数
(至5阶)。
4
f
(
x
)
x
2.将函数
展开为傅立叶级数,求前9个系
数。
3
f
(
x
)
x
3.将函数
展开为傅立叶级数,求前8个系
数。
4.完成实验报告。