Transcript Ekonometria - wykład w roku 2009

EKONOMETRIA
CZ. II
W. Borucki
Met. Simplex – rozwiązanie początkowe
1.
2.
3.
4.
Doprowadzić zadanie do postaci kanonicznej (poprzez wprowadzenie zmiennych swobodnych nieujemnych) tak by prawa strona równań była nieujemna (Uwaga: zmiennym swobodnym
przypisujemy zerowe wartości współczynników funkcji celu)
Poszukać macierzy jednostkowej. Tej macierzy odpowiadać będzie rozwiązanie bazowe, którego
odpowiednie zmienne bazowe przyjmą wartości równe wartościom odpowiednich składowych
wektora wyrazów wolnych.
Jeśli nie można wskazać macierzy jednostkowej, to należy wprowadzić zmienne sztuczne do
odpowiednich równań tak by można było wskazać macierz jednostkową
Uwaga:
a) rozwiązanie zawierające zmienne sztuczne nie jest rozwiązaniem dopuszczalnym; dopiero
nieujemne bazowe rozwiązanie nie zawierające zmiennych sztucznych jest rozwiązaniem bazowym
dopuszczalnym
b) trzeba wyeliminować zmienne sztuczne z rozwiązania i w tym celu współczynniki funkcji celu
im odpowiadające przyjmują wartości bardzo duże dla minimalizowanych funkcji celu i bardzo małe
dla maksymalizowanych funkcji celu.
Dopuszczalne (nieujemne) bazowe uznajemy za rozwiązanie początkowe i dla tego rozwiązania
sprawdzamy kryteria optymalności rozwiązania
Metoda simplex – sprawdzenie
optymalności rozwiązania








Zmiennym bazowym (dla bazy B) z otrzymanego, poprzedniego rozwiązania
przyporządkowujemy odpowiednie współczynniki występujące w funkcji celu (xi ↔
ci; pamiętamy, że zmienne nie bazowe mają wartość 0)
Obliczamy wartość funkcji celu dla otrzymanego rozwiązania (suma iloczynów cixi )
Dla każdej zmiennej wyznaczamy wartość zj (suma iloczynów cidij, gdzie dij współczynniki kombinacji równoważnej zawarte w macierzy B-1A)
Obliczamy różnice Kj = cj – zj. Kj wskazują o ile wzrośnie wartość funkcji celu gdy
do rozwiązania wprowadzona zostanie jedna jednostka zmiennej xj, wartości Kj dla
aktualnych zmiennych bazowych zawsze wynoszą zero
Rozwiązanie jest optymalne gdy wszystkie wartości Kj są niedodatnie (ujemne i zera)
w przypadku zadania, w którym maksymalizujemy funkcję celu, a nieujemne w
przypadku zadania, w którym funkcja celu jest minimalizowana
Jeżeli powyższy warunek nie jest spełniony, to otrzymane rozwiązanie nie jest
optymalne i trzeba przejść do kroku poszukiwania rozwiązania lepszego od
poprzedniego.
Jeżeli rozwiązanie jest optymalne, to obliczenia można zakończyć.
Warto jednakże na koniec przeprowadzić analizę wrażliwości rozwiązania.
Metoda simplex – poprawa rozwiązania




Zgodnie z interpretacją wartości K do nowego rozwiązania bazowego
wprowadzamy zmienną o największej efektywności poprawy wartości
funkcji celu (dla zadań z max. – zmienną xj , dla której Kj = max)
Następnie wskazujemy tę zmienną xi (ze starej bazy), dla której iloraz
(xi /dij) jest najmniejszy. Ta zmienna zostanie z bazy usunięta, a na jej
miejsce wprowadzona będzie zmienna xj, dla której Kj było
maksymalne.
Ta operacja zapewni nam, że następne rozwiązanie bazowe będzie
nieujemne (trzeba zastosować operacje elementarne doprowadzające
do uzyskanie wektora jednostkowego w j-tej kolumnie z jedynką w itym wierszu - odpowiadającym zmiennej xi).
Po dokonaniu przekształceń należy przejść do procedury sprawdzenia
optymalności rozwiązania.
Metoda simplex - zadanie 1
3x1 + 4x2 + 8x3→max
x1 + x2 + 5x3 ≤ 1
3x1 + x2 + x3 ≤ 1
x 1 , x2 , x3 ≥ 0
Metoda simplex – zadanie 2
3x1 + x2 + x3 →
x1 + 5x2 + 2x3 =
2x2 + x3 =
x 1 + x2
=
x1 , x2 , x3 ≥ 0
min
9
4
1
Problem diety 1
–
–
–
–
–
Dany niech będzie zbiór produktów żywnościowych P1, P2, …Pn
,możliwych do wykorzystania w planowanej diecie.
Każdy z produktów charakteryzuje się zawartością aij jednostek jtego składnika odżywczego (spośród m składników) w i-tym
produkcie.
Dla każdego składnika odżywczego znane są dolne (dj) i górne
kresy (gj), poniżej lub powyżej których ich spożycie jest
niewskazane ze względów zdrowotnych.
Znane są też jednostkowe ceny nabycia poszczególnych
produktów żywnościowych – ci .
Należy zaproponować taki sposób wyżywienia indywiduum
(określić ilości produktów – xi // zmienne decyzyjne), ażeby
spełniając warunki zdrowego żywienia koszt jego wyżywienia był
minimalny.
Problem diety 2
n
c x
i 1
i
i
 min
n
d j   aij xi  g j
i 1
xi  0
Problem wyboru planu produkcji





W danym zakładzie produkcyjnym produkuje się wyroby w1, w2, …, wn.
Każdy z wyrobów, do jego wyprodukowania, wymaga zastosowania
określonej ilości zasobów z1, z2, …, zm (np. energii, pracy, surowców,
…), których wielkości są limitowane odpowiednio l1, l2, …, lm.
Ograniczenia panujące na rynku są takie, że z jednej strony (dla
utrzymania stałych klientów) należy wyprodukować co najmniej di
jednostek produktu i, a z drugiej strony, ograniczony rynek nie jest w
stanie wchłonąć więcej niż gi jednostek produktu i.
Ceny sprzedaży hurtowej na poszczególne produkty są stałe i
wynoszą ci jednostek.
Należy sporządzić taki plan produkcji wyrobów (określić ile jednostek
poszczególnych produktów należy wyprodukować – xi // zmienne
decyzyjne), ażeby osiągnąć maksymalny przychód.
Problem wyboru planu prod. 2
n
c x
i 1
i
n
a
i
 max
xi  l j
(dla
d i  xi  g i
(dla
i 1
ij
j  1,...,m)
i  1,...,n)
Problem rozkroju (jednowymiarowego)







Dane są podzbiory elementów o długości wj (dla j=1,…n) i każdy z
nich liczebności odpowiednio gj.
Elementy tych podzbiorów należy pociąć na wyroby A o długości l1 i B
o długości l2
Jeden komplet stanowi r wyrobów A i p wyrobów B.
W wyniku cięcia elementów powstaje odpad (część elementu do
pocięcia, z której nie można uzyskać wyroby o długości l1 lub l2 , lub
nie ma już takiej potrzeby).
Elementy przeznaczone do pocięcia należy pociąć w taki sposób,
ażeby zminimalizować odpad lub zmaksymalizować liczbę kompletów
Jaka zmienna decyzyjna?
Jakie zależności – warunki ograniczające?
Problem rozkroju (jednowymiarowego) 2


Zmienna decyzyjna – ile razy zastosować określony
sposób cięcia (xj)
Jak utworzyć tabelę wydajności technologii -sposobów
cięcia (dla elementów o długości wi)
x1
x2
…
xm
Liczba elementów A a11
a12
a1m
Liczba elementów B a21
a22
a2m
Odpad
o2
om
o1
Problem rozkroju (jednowymiarowego) 3
mj
x
i 1
i
 lj
(dla
j  1,...,n)
m
a
i 1
m
a
i 1
x)
1i i
x

r
p
oraz
xi  0
2i i
takie by
m
o x
i 1
i i
 min
lub
1 m
a2i xi  max

p i 1
Dualność w programowaniu liniowym

Definicja zadań dualnych
–
–

Jakie korzyści mamy z zadań dualnych
–

Dla zadań w postaci standardowej
Dla zadań w postaci kanonicznej
Twierdzenie o równowadze
Jak interpretujemy zmienne dualne
–
Ceny równowagi / jakie ceny równowagi?
Dualność
Prymalne i dualne zadania programowania liniowego
cTx → max
Ax ≤ b
x≥ 0
T
b y → min
AT y ≥ c
y ≥0
cTx → min
Ax ≥ b
x≥ 0
bTy → max
AT y ≤ c
y ≥ 0
Dualność 2



Twierdzenie o równowadze – wartość funkcji celu dla
rozwiązania optymalnego zadania prymalnego równa jest
wartości funkcji celu dla rozwiązania optymalnego zadania
dualnego.
Warunkom ograniczającym zadania prymalnego spełnionym z
równością dla rozwiązania optymalnego, odpowiadają zmienne
dualne, których wartości są różne od zera (bazowe) dla
rozwiązania optymalnego zadania dualnego.
Interpretacja zmiennych dualnych dla rozwiązania optymalnego
zadania dualnego: ceny zasobów wykorzystanych w pełni
(zgodnie z limitem) w warunkach równowagi
Dualność – przykład –
– rozwiązać zadanie
3x1 + 4x2 + 8x3→max
x1 + x2 + 5x3 ≤ 1
3x1 + x2 + x3 ≤ 1
x1 , x 2 , x3 ≥ 0
Analiza wrażliwości
Powody:

–
–
–
–
Uproszczenia modelowania (ograniczenie listy zmiennych decyzyjnych lub
warunków ograniczających),
Zmienność otoczenia (np. zmienność wartości parametrów funkcji celu, lub
wartości limitów zasobowych),
Zmienność wewnętrzna, np. zastosowanie innowacji (np. konieczność
wprowadzenia nowych zasobów – warunków ograniczających),
Niedoskonały pomiar wartości parametru zadania – możliwość zmiany wartości
współczynników technologicznych,
Podstawowe pytania

–
–
–
Czy znalezione rozwiązanie pozostanie optymalne pomimo zmiany wartości
parametrów, lub
dla jakiego przedziału zmienności parametrów rozwiązanie pozostaje optymalne?
Jak zmieni się rozwiązanie optymalne gdy parametry zadania ulegną zmianie?
(Czy zmieni się lista zmiennych decyzyjnych występujących w decyzji optymalnej z
wartościami niezerowymi – czy zmieni się baza dla decyzji optymalnej?),
Analiza wrażliwości
(kilka definicji pomocniczych)
–
–
–
–
Krawędzie sąsiednie zbioru rozwiązań dopuszczalnych dla
rozwiązania optymalnego, bazowego – krawędzie mające
wspólny punkt (rozwiązanie bazowe)
Gradienty krawędzi – wektory prostopadłe do płaszczyzn
zawierających odpowiednie krawędzie.
Warunek wiążący – warunek posiadający ze zbiorem
rozwiązań dopuszczalnych co najmniej jeden punkt wspólny
Warunek istotnie wiążący – warunek wyznaczający
rozwiązanie optymalne
R2. - Analiza wrażliwości 2
Analiza wrażliwości 3
Rozw. opt. II
Rozw. opt. I
R2.- Analiza wrażliwości 4

Zmiany wartości współczynników funkcji celu w granicach wskazanych
przez „gradienty graniczne” (odpowiadające krawędziom zbioru rozwiązań
dopuszczalnych sąsiednim w stosunku do analizowanego rozwiązania
optymalnego nie pociągają za sobą zmiany rozwiązania optymalnego
zadania.
1
2
1
1
c
c



o
2
o
1
c

c
2
2
2
1
c

c
Jeżeli zmiany wartości ograniczeń (dostępności zasobów) dotyczą
warunków wiążących to modyfikują zbiór rozwiązań dopuszczalnych
Jeżeli zmiany wartości ograniczeń dotyczą warunków istotnie wiążących,
to zawsze skutkują zmianą rozwiązania optymalnego.
Zmiany wartości ograniczeń dla warunków niewiążących mogą wpłynąć
na rozwiązanie, jeżeli prowadzą do ograniczenia zbioru rozwiązań
dopuszczalnych (stają się wiążące lub istotnie wiążące).
R3. Zadanie transportowe
Danych jest n dostawców i m odbiorców pewnego jednorodnego towaru.
Każdy z dostawców posiada ai jednostek (i=1,…,n) tego towaru, a
odbiorcy zgłaszają zapotrzebowanie na bj jednostek (j=1, …m) tego
towaru. Znane są też jednostkowe koszty transportu cij od i-tego
dostawcy do j-tego odbiorcy.
Towar należy przewieźć od dostawców do odbiorców w taki sposób,
ażeby zaspokoić poszczególnych odbiorców towarem pochodzącym
od dowolnego dostawcy i jednocześnie zminimalizować łączne koszty
transportu.
Jest oczywiste, że dowolny dostawca nie może wysłać
więcej
towaru
n
m
aniżeli sam posiada.
a
Tak sformułowane zadanie ma rozwiązanie gdy
i 1
i
 bj
j 1
Zadanie, dla którego warunek spełniony jest z równością nazywamy
zamkniętym zadaniem transportowym
R4. Zadanie transportowe 2

Model matematyczny
m
x
j 1
ij
n
x
i 1
ij
 ai
dla
i  1,...,n
 bj
dla
j  1,...,m
xij  0
n
m
c
i 1
j 1
ij
xij  min
R3. Zadanie transportowe – algorytm
ogólny


K1. Znaleźć rozwiązanie początkowe
K2. Ocenić czy rozwiązanie jest optymalne
–
–


a. Jeżeli tak, to zakończyć obliczenia w K4.
b. Jeżeli nie, to przejść do K3.
K3. Znaleźć inne rozwiązanie, nie gorsze od
otrzymanego i przejść do K2.
Przyjąć rozwiązanie optymalne i wyznaczyć
wartość funkcji celu
R3. Zadanie transportowe –
rozwiązanie początkowe

Zbilansowanie
macierzy przepływów
–

Metoda kąta północno
zachodniego
–

(uwaga: nie musi to
być rozwiązanie
bazowe!)
(uwaga: może to być
bardzo odległe od
rozwiązania dobrego!)
Metoda minimum
kosztu jednostkowego
–
(uwaga: to tylko
optymalizacja lokalna)
1
1
C11
m
C12
X11
2
…
2
A1
X12
C22
X22
A2
…
Cij
Xij
n
Cnm
An
Xnm
B1
B2
…
Bm
ZZT rozw. pocz. 2
2
Przykład Tabela [Xij]
3
4
5
1
1
100
2
130
20
230
200
3
100
150
200
110
330
140
300
250
300
440
R3. Zadanie transportowe
– ocena dobroci rozwiązania





Oczywiście najlepsze rozwiązanie jest wtedy, gdy wszystkie niezerowe
zmienne decyzyjne związane są tylko z takimi trasami, dla których
koszty jednostkowe transportu są zerowe (wtedy tez minimalna
wartość funkcji celu wynosi zero)
Warto zauważyć, że jeżeli do wiersza lub kolumny macierzy kosztów
jednostkowych dodamy (lub odejmiemy) stałą, to rozwiązanie
optymalne ZZT nie ulegnie zmianie
Jak połączyć oba fakty ?
Należy dodać do wierszy lub kolumn takie wartości (αi, βj), ażeby
otrzymać w każdym wierszu i kolumnie zera pozwalające na wpisanie
takich wartości zmiennych decyzyjnych, dla których spełnione są
warunki ograniczające.
A jeśli nie wszystkie zmienne dadzą się wpisać na pola o zerowych
wartościach, to należy zastanowić się gdzie w tabeli można (powinno
się) otrzymać zero .
R3. Zadanie transportowe
– ocena dobroci rozwiązania 2

Wyznaczyć koszty zastępcze: αi i βj
–
–

Rozwiązać układ równań
ĉij= (αi - βj), przy czym
ĉij=cij dla (i,j) € B (aktualna baza)
układ m+n-1 równań o m+n
niewiadomych (jeden stopień
swobody – ustalić jedną wartość np.
α1 = 0).
Wyznaczyć tabele różnic
–
–
–
rij= cij – ĉij
Jeśli wszystkie są nieujemne, to
rozwiązanie jest optymalne.
Jeżeli istnieje rij<0, to rozwiązanie nie
jest optymalne i należy przejść do
poprawy rozwiązania.
Tabela cij
1
2
3
4
5
1
2
5
7
4
1
230
2
4
8
6
5
6
330
3
2
2
8
9
9
440
100 150 200 250 300
ZZT - Ocena dobroci rozwiązania 3

Tabela ĉij
1
2
3
4
5
1
2
5
3
2
2
230
2
5
8
6
5
5
330
3
9
12
10
9
9
440
100
150
200
250
300
R3. Zadanie transportowe
– poprawa rozwiązania
Tabela rij
2
3
4
5
1






Znaleźć najmniejszą (ujemną )
wartość rij
Znaleźć cykl zmian wartości xij
Wyznaczyć wartość zmiennej
wprowadzanej
Skorygować wartości zmiennych z
cyklu zmian
Usunąć z bazy (jedną) zmienną,
która przyjęła wartość zero,
Przejść do kroku „Wyznaczyć
wartości kosztów zastępczych”
1
0
0
4
2
-1
230
2
-1
0
0
0
1
330
3
-7
-10
-2
0
0
440
100
150
200
250
300
Tabela X2ij
2
3
4
5
1
1
100
130
0
0
0
230
2
0
20-d
200
110+d
0
330
3
0
+d
0
140 -d
300
440
100
150
200
250
300
Zadania pokrewne 1
Zadanie transportowo-magazynowe
W n magazynach znajdują się odpowiednio ai jednostek
pewnego jednorodnego towaru, który zamawiany jest przez m
odbiorców składających zamówienia w ilości bj jednostek (Σai
>Σbj ). Jednostkowe koszty transportu z i-tego magazynu do jtego odbiorcy wynoszą cij. Nadwyżki towarów ponad
zapotrzebowanie odbiorców pozostają w magazynie. Ich
składowanie pociąga za sobą koszty proporcjonalne do ilości
magazynowanych
jednostek,
a
jednostkowe
koszty
magazynowania wynoszą mi. Należy wyznaczyć taki plan
przewozów i magazynowania nadwyżki towarów ażeby
zminimalizować łączne koszty transportu i magazynowania.
Zadania pokrewne 2
Model zadania transportowo-magazynowego
n
m
i 1
j 1

n
x
i 1
ij
 bj
ij
 y i  ai
m
x
j 1
cij xij   mi y i  min
xij  0
dla
dla
j  1,2,...m
dla
i, j...
i  1,2,...n
Zadania pokrewne 2
Zadanie transportowo-produkcyjne
Danych jest n zakładów produkcyjnych, których zdolności produkcyjne
przewyższają zapotrzebowanie rynku i wynoszą odpowiednio ai
jednostek określonego i jednorodnego produktu.
Jednostkowy koszt produkcji zależy od zakładu i wynosi odpowiednio pi
jednostek.
Towar po wyprodukowaniu transportowany jest do m odbiorców, którzy
zgłaszają zapotrzebowanie w ilości bj jednostek.
Jednostkowe koszty transportu z i-tego zakładu produkcyjnego do jtego odbiorcy wynoszą odpowiednio cij jednostek.
Należy tak zaplanować wykorzystanie zdolności produkcyjnych
poszczególnych zakładów i zaproponować taki plan transportu
wyprodukowanych towarów, ażeby zminimalizować łączne koszty
transportu i produkcji towarów.
Zadanie pokrewne 4
Model zadania transportowo-produkcyjnego
n
m
 (c
i 1 j 1
n
x
i 1
j 1
 p i ) xij  min
ij
 bj
ij
 ai
m
x
ij
xij  0
dla
dla
dla
j  1,2,...m
i  1,2,...n
i, j...
Zadanie pokrewne 5
Zadanie wieloetapowe
Jednorodny towar znajduje się u n dostawców w ilościach
odpowiednio ai (i=1,2,…n) jednostek. Na towar zgłasza
zapotrzebowanie m odbiorców odpowiednio w ilościach bj
(j=1,2,…m) jednostek. Towar ten może trafić do odbiorców
jedynie za pośrednictwem jednego z k magazynów, których
zdolności magazynowania wynoszą odpowiednio dl (l=1,2,…,k)
jednostek tego towaru. Znane są jednostkowe koszty transportu
na etapie od dostawców do magazynów – c1il i na etapie od
magazynów do odbiorców c2lj. Należy wyznaczyć taki plan
przewozu na obu etapach, ażeby łączny koszt transportu
towaru na obu etapach był minimalny.

Zadanie pokrewne 6

Model zadania
dwuetapowego
k
x
l 1
1
il
n
x
i 1
1
il
a i

i  1,2,...n
dla
m
x
j 1
2
lj
dla
k
2
x
 lj  b j
dla
l  1,2,...k
j  1,2,...m
l 1
xil1  0,
xlj2  0
i
n,k
k ,m
2
2
c
x

c
x

 lj lj  min
il 1
1
il
1
il
lj 1
Zadania pokrewne 6
Sprowadzić do ZZT z macierzą kosztów
C11
C21
…
…
C1k
C2k
M
M
…
…
M
M
…
…
M
M
A1
A2
Cn1
0
…
M
D1
…
…
Cnk
M
…
0
Dk
M
C11
…
M
C1j
…
M
C1m
An
D1
Ckm
Bm
Dk
…
Ck1
B1
Ckj
Bj
Zadanie transportowe 1

Trzech dostawców, z których każdy ma po 250 jednostek
pewnego towaru ma dostarczyć ten towar do pięciu odbiorców
zgłaszających zapotrzebowanie w ilości odpowiednio 40, 55,
125, 140 i 180 jednostek. Nadwyżka towaru nad
zapotrzebowanie powinna pozostać w magazynach, przy czym
odpowiednie jednostkowe koszty magazynowania wynoszą 4,
6, i 8, a jednostkowe koszty transportu do poszczególnych
odbiorców wynoszą :
od dostawcy pierwszego
od dostawcy drugiego
a od dostawcy trzeciego

3, 5, 7, 4, 5,
6, 8, 2, 4, 1,
3, 3, 2, 2, 3
Wskazać plan przewozów i magazynowania nadwyżki towarów
nad zapotrzebowanie minimalizujący łączne koszty transportu i
magazynowania.
Zadanie transportowe 2
Trzech dostawców posiada odpowiednio 105, 145 i 185 jednostek
pewnego towaru. Na towar ten zgłaszane jest zapotrzebowanie przez
czterech odbiorców w wysokości odpowiednio: 70, 80, 110 i 130
jednostek. Zanim towar trafi do odbiorców musi przejść przez jeden z
dwóch magazynów, których pojemność wynosi po 300 jednostek
każdy. Jednostkowe koszty transportu od dostawców do magazynów
wynoszą odpowiednio: 2, 4, 6 do pierwszego magazynu i 3, 7, 5 do
drugiego magazynu, zaś jednostkowe koszty transportu z magazynu
pierwszego do kolejnych odbiorców wynoszą: 9, 7, 9, 5, a z
magazynu drugiego odpowiednio: 5, 7, 7, 5. Nadwyżka towarów nad
zapotrzebowania pozostaje w magazynach, w których jednostkowy
koszt magazynowania wynosi 3 i 4.
Wyznaczyć plan przewozów minimalizujący łączne koszty transportu na
obu etapach oraz koszty magazynowania nadwyżki towarów nad
zapotrzebowanie.