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第8章 影响线
影响线
提要：
１．移动荷载的概念（固定荷载）。
２．影响线的概念及其作用。
３．静定梁的影响线：M、FQ、FN、FR影响线。
４．间接荷载作用下的影响线。
５．平面桁架的影响线。
６．影响线的应用：求量值、确定最不利荷载的位置。
７．简支梁的内力包括图与绝对大弯矩。
§8-１
移动荷载和影响线的概念
移动荷载的概念 ：
移动荷载～固定荷载。
 影响线 ：
FRA 
FP 10  x  10  x

10
10
 单位荷载（FP=1）在结构上移动时，表示该结构上某量值（反力、内
力和位移）的变化图线，称为该量值的影响线。
影响线
影响线的作用 ：
 利用影响线求量值。
利用影响线确定最危险荷载的位置。
§8-2
静力法作简支梁影响线
绘制影响线的基本方法: 静力法
机动法
静力法：
1)假定单位荷载的作用。
2)建立坐标，用x表示单位荷载至原点的距离。
3)由静力平衡条件，列出所求量值与荷载（FP=1）的代数关系
式——影响线方程。
4)由影响线方程绘出该量值的影响线。
一．反力影响线
∑MB = 0
FRA
FP l  x  l  x


l
l
FRA的影响线方程 ,是x的一次函数式 。
FRB 
Fp x
l
x

l
注意：
1）某量值的影响线，只能表示本量值的变化规律。
2）影响线的纵标，表示荷载作用在该截面上时，所指定量值的
大小。它与内力图不同。
3）影响线是根据单位荷载绘制的，该单位荷载是一个无名数，
故它的纵标也是一个无名数。
二．弯矩的影响线
1）FP=1置于C截面左边：0≤x≤a
MC 
x
b
l
2）FP=1置于C截面右边：a≤x≤l
MC 
lx
a
l
三．剪力影响线
1)FP=1置于C截面的左边：0≤x≤a
FQC = -FRB
与FRB的影响线数值相同，符号相反。
2）FP=1置于C截面的右边：a≤x≤l
FQC = FRA
与FRA的影响线相同。
四．影响线与内力图的区别：
MC影响线及M内力图为例。
项目
影响线
内力图
荷载
单位集中荷载（FP=1）
任意实际荷载
荷载作用点
移动
固定
内力（反力）截面
某一固定截面
梁的所有截面
纵标
某一固定截面内力（反力）
对应截面的内力
纵标单位
不定
实际力单位
用途
1.危险荷载位置
2.求量值
:MC=FP1y1+FP2y2+FP3y3
内力分布规律（max）
五．悬臂梁的影响线
1）反力
FRA 
FRB
lx
l
(与简支梁相同)
x

l
2）MC、FQC
C点以左：MC=FRB·b
FQC = -FRB
C点以右：MC=FRA·a
FQC = FRA
亦与简支梁相同。
3）MK、FQK
M K  x
FQK  1
0 xd
0 xd
4) FQA
FQA左～FQK相同（悬臂）
FQA右～FQC相同（跨中）
§5-3
结点（间接）荷载作用下梁的影响线
一．图示MC的影响线
1) FP =1作用在纵梁ab以外时MC与荷载作用在主梁上相同。
2）FP =1作用在ab梁上，ab横梁反力：
Fra 
dx
d
Frb 
y  Fra  ya  Frb  yb 
x
d
dx
x
y a  yb
d
d
为直线变化。(迭加原理)
有
x=0，y=ya
x=d，y=yb
二．两个基本特点
1) 影响线在结点之间成直线变化。
2) 影响线在结点处的纵距与直接荷载作用下的影响线纵距相同。
三．作法
对直线荷载作用下的影响线进行修正。
1)绘制直接荷载作用下所求量值的影响线。
2)从间接荷载下的各结点引竖线，在上述影响线中取投影点。
3)将相邻投影点连成直线，即可得到间接荷载作用下该量值的影响线。
例：
F
C
A
a
B
b
1
FRA 影响线
Mc 影响线
FQC 影响线
§8-3
静力法作桁架内力影响线
一．内力影响线
对于单跨梁式桁架，其支座反力的计算与简支梁相同。因此它们的
支座反力影响线亦完全一样。
1)下弦杆FN34影响线
作a-a截面，取结点3ˊ为力矩中心。
当FP =1在结点3以右时：
∑M3ˊ= FRA·3d- FN34·h =0
FN34 = FRA·3d/h = M3’/h
当FP =1在结点3以左时：
∑M3ˊ= FRB·5d- FN34·h =0
FN34 = FRB·5d/h = M3’/h
M3ˊ为等跨简支梁所对应截面的弯矩。
FN34影响线是对应简支梁3ˊ截面弯矩影响线的1/h倍。
2)上弦杆FN 3ˊ4ˊ影响线
用同一截面a-a，取结点4为力矩中心。
当FP =1在结点4以右时：
∑M4 = FRA·4d- FN 3ˊ4ˊ·h =0
FN 3ˊ4ˊ= -FRA·4d/h = -M4/h
当FP =1在结点4以左时：
∑M4 = FRB·4d- FN 3ˊ4ˊ·h =0
FN 3ˊ4ˊ= -FRB·4d/h = - M4/h
FN 3’4’影响线是等跨简支梁对应截面4弯矩影响线的-1/h倍。
3) 斜杆FN 3′4影响线
仍用a-a截面，考虑竖向平衡。
当FP =1在结点4以右时：
FN 34
1

FRA
sin 
当FP =1在结点3以左时：
FN 34  
1
FRB
sin 
4）竖向FN 3ˊ3影响线
因3ˊ3是根单根，当荷载FP =1作用在结点3时，FN 3ˊ3=1；
当荷载FP =1作用在其它结点时，FN 3ˊ3=0，所以FN 3ˊ3影响线是
一个局部三角形。
5）斜杆FN 3ˊ2影响线
作b-b截面，考虑竖向平衡。（在此不多说）
二．荷载在上、下弦移动时的影响线的区别
图示桁架a、b杆的轴力影响线。
1) FNa 影响线
前一节间（上承）
FNa = FRB
前两节间（下承）
后四节间（上承）
FNa= -FRA
后三节间（上承）
2)FNb影响线 b为单根
3)FNC、FNd、FNe影响线，上、
下承式有否区别？无
§8-5
机动法作影响线
一．基本原理
虚功方程：ZδZ+FPδP=0
∵ FP=1,
∴ Z=-δP/δZ
Z(x)=(-1/δZ)δP(x)
步骤：
（1）解除与Z相应的约束，代以未知力Z；
（2）使体系沿Z的正方向发生位移，作出
δP图，定出Z的影响线轮廓。
（3）令δZ=1，确定影响线各竖距的数值。
（4）横坐标以上标“+”号，横坐标以下标“-”号。
例题1：用机动法作简支梁的MC和FQC的影响线。
解：（1）MC影响线
令δZ=1。
（2）FQC影响线
令δZ=1。
例题2：用机动法作静定多跨梁的MK、FQK、MC、FQE和FRD的影响线。
解：（1）MK影响线
1m
3m
1m
3m
1m
2m
1m
δZ=1
（2）FQK影响线
M
9/2
3/4
M
9/4
（3）MC影响线。
影响线
9/4
3/2
1/4
1/4
3/4
影响线
3/4
3/4
（4）FQE影响线。
1
M
影响线
2
（5）FRD影响线。
1
1
影响线
2
1
2/3
影响线
*超静定结构作影响线(§9-6超静定力的影响线)
基本原理：
力法方程：δ11Z1+δ1P= 0
Z1=(-1/δ11)δ1P
基本体系
∵ δ1P =δP1=δP1(x)
Z
∴ Z1(x)=(-1/δ11)δP1(x)
步骤：
δ1P
δPP
（1）解除与Z相应的约束，代以未知力Z；
δ11
（2）使体系沿Z的正方向发生位移，作出
δP1图，定出Z的影响线轮廓。
δP1
（3）横坐标以上标“+”号，横坐标以下标“-”号。
（ 不能确定影响线各竖距的数值 ）
Z
例题：用机动法作多跨连续梁的MC、MK、FQK和FQC右的影响线。
解：（1）MC影响线
（2）MK影响线
M
δ11
（3）FQK影响线
M
（4）FQC右影响线
M
影响线
M
影响线
影响线
右
右
影响线
§8-6 影响线的应用
一．求量值大小
（一）集中荷载作
FPi
1）集中荷载FPi
yi
Z= FP iyi
Z 影响线
2)荷载组P1，P2…Pn迭加原理：
Z= FP1y1+ FP2y2+…+FPnyn
FP1
FP2··· FPi··· FPn
n
=
F
i 1
Pi
yi
3)直线段荷载组
y1
y2
yi
yn
Z 影响线
3)直线段荷载组
Z=FP1y1 +…+ FPiyi+FPnyn
=FP1x1tgα+…+FPixitgα+ FPnxntgα
n
=tgα  FPi x i
i 1
Y
因为
n
F
i 1
Pi
FR
FP1
FP2
FPi
FPn
x i = F Rx
Z = tgα·FRx= FR·y
α y1
x1
y2
x2
y yi
x xi
yn
xn
Z 影响线
X
（二）匀布荷载作用
Y
1)微段上的量值：
荷载：qdx
量值：ds=y·qdx
2)全部匀布荷载的量值：
Z=

b
a
qdx
b
b
a
a
ds   y  qax  q  ydx  q
Z=qω
ω——影响线荷载所在部分的面积。
ω是考虑正负号的面积代数和。
a
q
Z 影响线
dx
y
b
X
例：求图示简支梁FQC的大小。
解：1）作出FQC的影响线，并标出有关竖标。
2）确定FQC
ω=
A
C
1m
1m
B
D
1m
1m
1m
0.6
0.6  0.2
0.2  0.4
2
 1 =0.5
2
2
0.2
0.2
FQC = FPyD+qω= 20×0.4+10×0.5 = 13kN
FP=20kN
q=10kN/m
0.4
FQC 影响线
二．确定最不利荷载位置
（一）最不利荷载位置
当荷载作用在某个位置时，所求量值具有最大值(最大正值或最大负值)。
我们称这个位置为结构对应这个量值的最不利荷载位置。
F
B
A
C
1
FRA 影响线
1
FRB 影响线
ab/
MC 影响线
b/
FQC 影响线
a/
（二）多边形影响线的最不利荷载位置
有一荷载组，它在各线段上的集中力分别为FR1、FR2、FR3、FR4。
该量值总和：
Z=FR1y1+FR2y2+FR3y3+FR4y4
Y
=∑FRiyi
FR1
FR2
FP1 FP2 FP3 FP4
FR3
FR4
FP5 FP6 FP7 FP8 FP9 FPn
若荷载组合有一微小位移：△x
则各纵距增量：△y=△xtgαi
Δx
B
Z增量新总和：△Z=∑FRi△xtgαi
=△x∑FRitgαi
分析△Z：
△x=0——Z最大
△x≠0——△Z≤0
当△x＞0时，∑FRitgαi≤0
当△x＜0时，∑FRitgαi≥0
A
α1 y1
Δx
α2
y2
C
α3
y3
Δx
Δx
y4 E
D α4
Z 影响线
X
例：
1）改变 FRi 的大小（而不是符
号）。
△x＞0，∑FRitgαi = -3
△x＜0，∑FRitgαi = +7
2）并不是每一个荷载——临界荷载。
△x＞0，∑FRitgαi = -11
△x＜0，∑FRitgαi = -1
解释：
1）如果荷载分别向左和向右移动所得的两个∑FRitgαi都是正号，这表
明荷载还需向右移动，才能到临界位置。如果所得的符号都是负号，这表
明荷载需要向左移动。
2）当△x＞0时，∑FRitgαi≤0
Z有极大值
△x＜0时，∑FRitgαi≥0
当△x＞0时，∑FRitgαi≥0
Z有极小值
△x＜0时，∑FRitgαi≤0
例：已知FP1=60kN，FP2=120kN， FP3=120kN， FP4=70kN， FP5=130kN
求：MK（max）
解：
1）绘出MK影响线
tgα1=7/9，tgα2=1/9，tgα3=-2/9
2）确定临界荷载
a: FP3置于D点上
△x＞0：FR1=0，FR2=180 kN，FR3=320 kN
∑FRitgαi=180×1/9-320×2/9=-51.11＜0
△x＜0：FR1=0，FR2=300kN，FR3=200kN
∑FRitgαi=300×1/9-200×2/9=-11.11＜0
荷载还要左移。
b: FP1置于C点上
△x＞0：FR1=0，FR2=300 kN，FR3=200 kN
∑FRitgαi= 300×1/9-200×2/9=-11.11＜0
△x＜0：FR1= 60 kN，FR2=240kN，FR3=200kN
∑FRitgαi= 60×7/9+240×1/9-200×2/9=28.89＞0
FP1=60 kN是一个临界荷载，它作用在C点时，是一个临界位置。它是MK
的最不利临界位置。
3）MK（max）
M K (max)  60 
14
29.2
21.2
 46 47.4 
 120 
 130
  70 
3
9 
9
9
 9
 2058.7
kN  m
三．三角形影响线的最不利荷载位置：
三角形是多边形的特例。
图示影响线和荷载。假定FP4是临界荷载（FPcr）
△x＞0：（FP1+FP2+FP3）tgα-(FP4+FP5+FP6)tgβ≤0
△x＜0：（FP1+FP2+FP3+FP4）tgα-(FP5+FP6)tgβ≥0
∵tgα=c/a
tgβ=c/b
若用FR左、FR右分别表示左、右两直线段上各分力的合力，则上式可写为：
FR左
Y
FR 左 FP cr  FR 右

a
b
FR 左  FP cr FR 右

a
b
FP1 FP2
FP3
FPcr
FR右
FP4 FP5
FP6
c
α
β
a
b
Z 影响
X
四．分布荷载：
∵FPcr→0由判别式有：
Y
FR 左 FR 右

a
b
q (x )
α
c
h1
h2 β
b
a
Z 影响线
X
若q为均布荷载：h1=h2
FP3=30kN
FP1=120kN
FP2=120kN
FP4=30kN
例：
图示简支梁在荷载作用下，求MC（max）
6m
3m
3m
A
B
C
24m
12m
12
已知：FP1= FP2 =120kN，FP3= FP4 =30kN
6
FP1
A
8
6
Mc 影响线
4
FP2 FP3 FP4
C
B
解：1）作出MC的影响线：系一三角形图形。
2）试取FP2为临界荷载，按判别式有：
FP1 120 FP 2  FP 3  FP 4 180



24 24
12
12
FP1  FP 2 240 FP 3  FP 4 60



24
24
12
12
它满足不等式要求，故知这是最不利荷载位置。
3）计算MC（max）
MC（max）=120×（6+8）+30×（6+4）=1980 kN·m
§8-7 铁路、公路的标准荷载制和换算荷载
1．铁路标准荷载
2．公路标准荷载
3．换算荷载
最大值等效→换算荷载（均布）：
K = Zmax / A0
§8-8 简支梁的包络图和绝对最大弯矩
一．简支梁的绝对最大弯矩
每一截面——MK（max）（K=1，2，…，n）——Mmax，弯矩包络图。
二．绝对最大弯矩
FPcr
Mmax ——FPcr之下，现用FR
FP1 FP2
FP3
示FPcr以左所有荷载对FPcr的
作用点的力矩之和。
A
x
FRA
lxa
 FR (
)
l
M  FRA  x  M K
lxa
 FR (
) x  MK
l
M  f ( x)  M max
FP4
FP5
a
表示所有荷载的合力。MK表
FRA
FR
a/2
C 跨中点
a/2
B
FRB
dM FR
l  2 x  a   0

dx
l

FR
0
l
M max
F
 R
l
 l  2x  a  0
 l  2 la  a  2 
        M K
2  2  
 2 
l
当FPcr 在梁中间截面C时，有：x 
2
F
MC  R
l
 l  2 la 
     M K
2 
 2 
F
M max  M C  R
l
a
 
2
2
l a
x 
2 2
FPcr与FR至梁中点等距。
三．确定临界荷载
1）试算：选定几个FPcr ，分别进行计算，然后进行比较，选出一个
最大值作为梁的绝对最大弯矩。
注意：有无荷载出入梁 —— FR
2）近估：由于Mmax通常发生在梁的中间截面附近，故可以认为在梁
的中间产生最大弯矩的FPcr ，即为梁绝对最大弯矩的临界荷载。
例：求图示简支梁所给移动荷载作用下的绝对最大弯矩。
（FP1=FP2=30kN，FP3=20 kN，FP4=FP5=10kN）
解：1）作MC影响线，并找出其相应的临界荷载FPcr。
将FP2置于C 点有：
△x＞0， 30  30  20  10  10
10
10
0.8m
30kN 30kN 20kN 10kN 10kN
2m
2m
A
△x＜0，30  30  20  10  10
10
10
故 FP2 是MC的临界荷载，此荷载亦
即发生绝对最大弯矩的临界荷载。
FR
2m
2m
B
C
10m
10m
4
4
5
3
2
Mc 影响线
30kN 30kN 20kN 10kN 10kN
Mc(max)
荷载位置
C
FR
30kN 30kN 20kN 10kN 10kN
Mmax
C
0.4m 0.4m
荷载位置
2）计算Mmax
FR=∑FP i = 100 kN
a=(20×2+10×4+10×6-30×2)/R=0.8m
x
FRA
l a
  10  0.4  9.6m
2 2
l xa
 FR (
)  100 / 20  ( 20  9.6  0.8)  48
l
Mmax= RAx-MK = 48×9.6-30×2=400.8 kN·m
MC（max）=30×4+30×5+20×4+10×3+10×2=400 kN·m
Mmax = 100/20[（20/2）2-20×0.8/2+（0.8/2）2]-30×2=400.8 kN·m
MC（max）=100/20[（20/2）2-20×0.8/2]-30×2=400 kN·m
例：图示吊车梁，试求其绝对最大弯矩。（FP1= FP2= FP3= FP4=82 kN）
解：不难看出，Mmax将发生在荷载P2 或P3下面的截面。
1）FP2下面的Mmax
a=0.75m ，x=l/2-a/2=5.625m
A
B
C
6m
6m
FRA=328/12(12-5.625-0.75)=153.75kN
FR
Mmax=153.75×5.625-82×3.5=578kN·m
82kN
82kN
2）FP3下面的Mmax
82kN
82kN
Mmax
荷载位置1
C
FR=4×82=328 kN
a=-0.75m
3.5m
1.5m
3.5m
82kN
82kN
82kN
82kN
FR=4×82=328 kN
FR
82kN
x=l/2-a/2=6.375m
FRA=328/12(12-6.375+0.75)=174.25kN
Mmax = 578 kN·m
3)比较: Mmax = 578 kN·m出现在两个截面上。
82kN
82kN
C
a/2 a/2
82kN
Mmax
荷载位置2