Transcript RDM Chap 2

Hautes Etudes d’Ingénieur
13, rue de Toul
59046 Lille Cedex
Résistance des Matériaux
Cours de Tronc Commun
CHAPITRE II
Caractéristiques géométriques des sections planes
Introduction
Ultérieurement, pour calculer les contraintes et les déformations des
solides étudiés, nous aurons besoin de savoir déterminer un certain
nombre de caractéristiques géométriques des sections planes :
 Centre de gravité,
 Moment statique,
 Moments quadratiques
I. Centre de gravité
Soit une section plane d’aire S définie dans un repère orthonormé Oxy.
y
Les coordonnées du centre de
YG
O
G
gravité G sont définies par :
XG
x
XG
x.dS


S
YG
S
y.dS


S
S
Si la section S peut être décomposée n en sous-sections simples,
d’aires connues Si et de centres de gravités connus (xGi et yGi)
alors :
n
XG 
 S .x 
i 1
i
S
Gi
n
YG 
 S . y 
i 1
i
S
Gi
I. Centre de gravité
Exemple :
y
10 mm
2
50 mm
G
20
O
10 mm
1
x
50 mm
xG
II. Moment statique
Pour un élément dS, de coordonnées X et Y, le moment statique
élémentaire par rapport à l’axe Ox est, par définition, la quantité :
d x  Y.dS
y
( S)
Ce qui donne pour l’ensemble de la section :
dS
Y
 x   y.dS
S
O
X
soit  x  S.YG
x
De même :
 y   x.dS
S
soit  y  S.XG
II. Moment statique
Remarques :
 pour tout axe passant par le centre de gravité, le moment
statique par rapport à cet axe est nul.
 si la section S peut être décomposée n en sous-sections
simples, d’aires connues Si et de c.d.g connus (xGi et yGi) alors :
n
 x   Si .yGi 
i 1
n
 y   Si .x Gi 
i 1
III. Moments quadratiques
III.1 Moment quadratique par rapport à un axe
Pour un élément dS, de coordonnées X et Y, le moment quadratique
élémentaire par rapport à l’axe Ox est, par définition, la quantité :
dI Ox  Y².dS
y
Ce qui donne pour l’ensemble de la section :
( S)
dS
Y
I Ox   y².dS
S
O
X
x
De même :
IOy   x².dS
S
III. Moments quadratiques
Remarques :
 Le moment quadratique est aussi appelé moment d’inertie de
la section.
 Il est toujours positif.
III. Moments quadratiques
III.2 Translation d’axes : Théorème de Huygens
Soit un élément dS de S dans le repère Oxy, et soit le repère Gxy
qui passe par le centre de gravité G de S et dont les axes sont
parallèles à Ox et Oy.
I Ox   y².dS
y
y
S
Soit : I Ox 
G
dS
y’
YG
O
x
S
G
²  2.YG .y' y'²).dS
Ce qui donne :
y
I Ox  YG ². dS  2.YG . y'dS   y'²dS
S
x
Finalement, on obtient : IOx  IGx  S.YG ²
De même :
 (Y
avec y  YG  y'
IOy  IGy  S.X G ²
=S
S
= moment
statique/Gx
=0
S
III. Moments quadratiques
Théorème :
Le moment quadratique par rapport à un axe est égal au moment
quadratique par rapport à un axe parallèle passant par le centre de
gravité, augmenté du produit de la surface par le carré de la distance
entre les deux axes.
Calcul pratique :
Si la surface peut être décomposée en n sous-sections de moments
quadratiques connus IOxi et IOyi, alors:
n
I Ox   I Ox i
i 1
n
I Oy   I Oy i
i 1
III. Moments quadratiques
Remarque :
Généralement, pour le calcul des contraintes et des déformations,
nous avons besoin de connaître le moment quadratique de la section
par rapport à son centre de gravité.
Donc si la section peut être décomposée en n sous-sections Si de
centre de gravité Gi et de moment quadratique IGix ou IGiy connus:
n

I Gx   I Gi x  Si .YGi  YG  ²
i 1

n

I Gy   I G i y  Si .X Gi  X G  ²
i 1

III. Moments quadratiques
III.3 Moment quadratique par rapport à un couple d’axe
Ce moment quadratique est aussi appelé moment produit.
Pour un élément dS, le moment produit élémentaire par rapport aux
axes Ox et Oy est par définition la quantité:
dI Oxy  X.Y.dS
Ce qui donne pour l’ensemble de la section:
Théorème de Huygens:
I Oxy   x.y.dS
S
IOxy  IGxy  S.X G .YG
Remarques:
 Le moment produit est une grandeur algébrique
 Si un des deux axes est un axe de symétrie pour la section
alors IOxy=0
III. Moments quadratiques
Calculs pratiques :
 Si la surface peut être décomposée en n sous-sections de
moments produits connus IOxyi, alors:
n
I Oxy   I Oxy i
i 1
 Si on cherche le moment produit d’une section par rapport à
son centre de gravité et que celle-ci peut être décomposée en n
sous-sections de c.d.g. Gi connus et de moments produits par
rapport à leur c.d.g. connus IGixy, alors:
n


IGxy   IG i xy  Si .X Gi  X G 
. YGi  YG 
i 1
III. Moments quadratiques
III.3 Moment quadratique par rapport à un point
Ce moment quadratique est aussi appelé moment quadratique (ou
d’inertie) polaire.
Pour un élément dS, à une distance r de O,le moment quadratique
polaire élémentaire par rapport à ce point est par définition la
dI o  ρ².dS
quantité:
y
Ce qui donne pour l’ensemble de la section:
( S)
dS
Y
I o   r ².dS
r
O
S
X
x
Remarque: on peut écrire
r² x²y²
Finalement, on obtient:
Io  IOx  IOy
soit: I o 
 x².dS   y ².dS
S
S
III. Moments quadratiques
III.3 Moment quadratique par rapport à un point
Changement d’origine (Théorème de Huygens)
y
Io  IOx  IOy
y
XG
Soit:
G
Io  IGx  S.YG ²   IGy  S.X G ² 
x
YG
O
x
ou:
Io  IGx  IGy  S.XG ²  YG ² 
Finalement, on obtient:
IoIGS.OG ²
III. Moments quadratiques
III.3 Remarques pratiques concernant le calcul des moments quadratiques
Les moments quadratiques s’ajoutent et se retranchent. Cette propriété
permet une détermination aisée dans le cas de surfaces composées
d’éléments simples.
1
1
2
[1]+[2]
1
2
[1]+[2]
2
[1]-[2]
III. Moments quadratiques
III.4 Moments quadratiques d’axes concourants
III.4.1 Rotations d’axes
Soit la section plane S, et deux systèmes d’axes Oxy et OXY obtenu par
une rotation d’angle q.
Les relations liant les coordonnées dans les
y
q
deux repères sont:
( S)
Y
O
X  x.cosθ  y.sinθ
Y  x.sinθ  y.cosθ
dS
y
q
X
x
x
Calculons le moment quadratique / OX :
I OX   Y².dS   - x.sinθ  y.cosθ  ².dS
S
S
I OX   x².sin²θ  2.xy.sinθ.cosθ  y².cos²θ  .dS
S
III. Moments quadratiques
III.4.1 Rotations d’axes
I OX  sin²θ  x².dS  cos²θ  y².dS  2sinθcosθ  xy.dS
S
S
S
Ce qui nous donne :
IOX =sin²θ.IOy +cos²θ.I Ox -2.sinθ.cosθ.I Oxy
En passant à l’angle double :
1  cos 2q
1  cos 2q
sin 2q
cos ²q 
; sin ²q 
; sin q .cosq 
2
2
2
On obtient :
IOX =
IOx +IOy
2
+
IOx -IOy
2
.cos2θ-IOxy .sin2θ
III. Moments quadratiques
III.4.1 Rotations d’axes
De même, pour le moment quadratique / OY, on obtient :
IOx +IOy IOx -IOy
IOY =
.cos2θ+IOxy .sin2θ
2
2
Calcul du moment produit :
IOXY =  XY.dS    x.cosq +y.sinq  .  -x.sinq +y.cosq  .dS
S
S
IOXY =sinq .cosq .
  y².dS- x².dS  (cos ²q  sin ²q ) x.y.dS
S
S
Soit :
IOXY =
IOx -IOy
2
.sin2θ+IOxy .cos2θ
S
III. Moments quadratiques
III.4.2 Recherche des directions principales
Il s’agit des directions donnant les moments quadratiques extrêmes
(maximal et minimal). Pour les trouver , dérivons IOX et IOY / q et
annulons ces dérivées:
IOx -IOy
dIOX
=-2.
.sin2θ-2.IOxy .cos2θ=0
dθ
2
IOx -IOy
dIOY
=2.
.sin2θ+2.IOxy .cos2θ=0
dθ
2
Ces deux expressions s’annulent pour :
tan(2θ)=
-2I Oxy
IOx -IOy
III. Moments quadratiques
III.4.2 Recherche des directions principales
Cette expression nous donne deux directions conjuguées définies par les

angles:
q1 et q 2 =q1 +
2
y
(A)
Les directions ainsi déterminées
s’appellent les directions principales
(ou axes principaux), elles sont
q2
orthogonales et définies par la
q1
relation:
-2I Oxy
x
tan(2θ)=
O
IOx -IOy
Remarques:
 Pour les directions principales, IOXY est nul.
 Tout axe de symétrie, est axe principal d’inertie.
Tout axe perpendiculaire à un axe de symétrie est également axe
principal d’inertie.
III. Moments quadratiques
III.4.3 Expression des moments quadratiques principaux
Pour connaître les expressions des moments quadratiques principaux
(Imaxi et Imini), il suffit de remplacer, dans les formules donnant IOX, IOY
et IOXY, la valeur de q par les solutions de l’équation:
tan(2θ)=
-2I Oxy
IOx -IOy
On obtient ainsi:
I maxi =
I mini =
IOx +IOy
2
IOx +IOy
2
2
 IOx -IOy  2
+ 
+I Oxy

 2 
2
 IOx -IOy  2
- 
+I Oxy

 2 
III. Moments quadratiques
III.4.4 Représentation graphique – Cercle de Mohr
Reprenons les expressions donnant IOX et IOXY
IOX -
IOx +IOy
2
IOXY =
=
IOx -IOy
2
IOx -IOy
2
.cos2θ-IOxy .sin2θ
.sin2θ+IOxy .cos2θ
Effectuons la somme des carrés, on obtient:
2
2
IOx +IOy 
I -I

2  Ox Oy 
2
I
+I
=
+I
OXY
Oxy
 OX



2 

 2 
Ce qui correspond à l’équation d’un cercle de centre C et de rayon R
xc =
IOx +IOy
2
2
et
 IOx -IOy 
2
R= 
+I
Oxy

 2 
III. Moments quadratiques
III.4.4 Représentation graphique – Cercle de Mohr
Icouples d’axes
xc =
IOx +IOy
2
2
et
 IOx -IOy 
2
R= 
+I
Oxy

 2 
IOxy
Imini
O
-IOxy
IOy
IOx Imaxi
C -2q1
Iaxes