Transcript Partie 3.2

3-3 Calcul des filtres RII
• Méthodologies de calcul des filtres RII
y(n)  b(0) x(n)  b(1) x(n  1) b(Q) x(n  Q)
 a (1) y(n  1) a ( P) y(n  P)
Y ( z) b(0)  b(1) z 1 b(Q) z  Q
G( z) 

X ( z)
1  a (1) z 1 a ( P) z  P
Q
 b(0)
 (1  z z
1
i
i 1
P
 (1  p z
i
i 1
)
1
)
Ressemblance avec les filtres analogiques
(Equation différentielle et fonction de transfert)
Filtres analogiques
Filtres numériques RII
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Filtres de Butterworth
2
H() 
1
1 
2n
 H().H()
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Filtres de Chebyshev
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Calcul des filtres RII
• Différentes approches de la synthèse des
filtres numériques RII
Plan des z
Plan des p
Spécifications sur
le cercle unité
Spécifications sur
l'axe imaginaire
Approximation
Fonction de
transfert g(z)
Fonction de
transfert G(p)
Synthèse
Filtre discret
Filtre analogique
1) Approximation dans le plan des z et
synthèse du filtre discret
Méthodes d’optimisation par ordinateur
(Decsky, Remez...)
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2) Approximation dans le plan de Laplace
et synthèse du filtre discret
G(p)
G(z)
! Réponse en fréquence conforme au
gabarit initial
Problèmes de repliement de spectre dû
à l’échantillonnage
Filtre numérique stable
Méthodes
• transformation bilinéaire
• invariant impulsionnel
• équivalence de la dérivation ou de
l'intégration
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3) Approximation et synthèse dans le
domaine analogique
Transformation du circuit analogique en un
filtre numérique par simulation des
éléments (L,C)
Filtre d’ondes
4) Autres méthodes
Transposition
passe-bas
passe-bas
passe-haut
passe-bande
coupe-bande
Exemple: Passe-bas passe-haut
1
cos( ( f pb  f ph ))
z

1
z 
1 avec   
1  z
cos( ( f pb  f ph ))
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Synthése des filtres RII par
transformation bilinéaire
• Transformation du plan de Laplace
(H(p)) vers le plan des Z (H(z))
Im(z)
Im(s)
6Fe
4Fe
f=0
f=1
2Fe
0
Re(s)
1
-2Fe
Re(z)
-4Fe
-6Fe
Plan des Z
Plan de Laplace
• Préserver la réponse en fréquence
• Préserver la stabilité du filtre
• Eviter les problèmes de repliement de spectre
Pas de solution idéale
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Transformation bilinéaire
• H(p)
H(z)
1
1 z
pK
1  z 1
p
1
K
z
p
1
K
•p=0
z=1
• p = j = jK tan(f/2)
z = exp(jf)
Axe imaginaire du plan de Laplace
cercle unité dans le plan des Z
•p=j
z = -1
Axe imaginaire complet
1 tour du cercle unité
• p= - K
z=0
•p=K
z=
• Reel(p) < 0
|z|<1
Partie gauche du plan de Laplace
Intérieur du cercle unité
Stabilité du filtre préservée
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Transformation bilinéaire
• p = ja = jK tan(f/2)
f=Fe=1/2T
d=/T
f
z = exp(jf)
f
f=0
d0
f0
f=Fe=1/T
d=2/T
f2
d  f / 
Pulsation «discréte»
T
a  K tan(d ) Pulsation analogique
2
2
a
d  arctan( )
T
K
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Transformation bilinéaire
• On choisit généralement K=2/T
pour avoir
d  a
(artan(x)  x)
si d<< 2/T (pulsation d’échantillonnage)
• Equations de la transformation bilinéaire
2 1  z 1
p
T 1  z 1
2
T
a  tan(d )
T
2
2
Ta
d  arctan(
)
T
2
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Transformation bilinéaire
• Passage de la pulsation analogique à la
pulsation numérique

d
a
Déformation de l’axe des fréquences
Correction avant calcul du filtre analogique
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Application
• Calcul d’un filtre numérique passe-bas
Atténuation en dB
40
3
2
15
Fréquence (kHz)
Choix de la fréquence d’échantillonnage
Fe=50 kHz, T= 2 10-5s
Objectif: trouver H(p) filtre analogique tel que
après transformation bilinéaire, la réponse en
fréquence de H(z) respecte le gabarit.
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Application
• Comme la transformation bilinéaire
déforme l’axe des fréquences il faut
pré-déformer le gabarit
2
T
a  tan(d )
T
2
pour fd = 2 kHz et 15 kHz, avec d=2  fd
on trouve fa = 2,0106 kHz et 21,906 kHz
Nouveau gabarit «analogique»
Atténuation en dB
40
3
2,0106 21,906
Fréquence (kHz)
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Application
•
•
•
•
Abaques
Butterworth ordre 2
Matlab
(par exemple)
Calcul
1 décade 40 dB : ordre 2
}
1
H ( s) 
1  2 s  s2
s : variable de Laplace normalisée p/0
• Réponse en fréquence pour s = jW
0.1
10
W
1
-3dB
-40 dB
20 log10( |H(jW)| )
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Application
• Sur le gabarit initial, à 3dB
0= 2  2010,6 = 12633 rd/s
Dénormalisation
H(s) avec s = p/0
1
H ( p) 
1  112
, 104 p  6,27 109 p ²
Application de la transformation bilinéaire
2 1  z 1
p
T 1  z 1
T = 1/Fe = 2 10-5s
(1  z 1 )²
H ( z)  0,01596
1195
,
 1,968z 1  0,8373z 2
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Application
(1  z 1 )²
H ( z) 
74,87  123,3z 1  52,46z 2
(1  z 1 )²
H ( z)  0,01336
1  1,647 z 1  0,7007 z 2
• Réponse en fréquence de H(z)
z = exp(j2f/Fe),
tracé de H(j2f/Fe)
dB
Fe
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Application
Tracé en échelle log
Fe/2
Module
-40db/dec
Phase
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Fonctions du 2nd ordre
et transformation bilinéaire
• Fonction normalisée d’ordre 2 analogique
– Q: facteur de surtension
1
H ( p) 
– Pulsation de résonance  
s
1   s2
Q
• transformation bilinéaire
1  2 z 1  z 2
H ( z) 
4
2
8 1
4
2 2
(1  2 
)  (2  2 ) z  (1  2 
)z
T
QT
T
T
QT
Pour éviter la déformation de la transformation
bilinéaire: T<<1
!
1  2 z 1  z 2
H ( z) 
4
2
8 1
4
2 2
( 2
)  ( 2 )z  ( 2 
)z
T
QT
T
T
QT
T2

4
1  2 z 1  z  2
T
T 2
1
(1 
)  2 z  (1 
)z
2Q
2Q
Pôle z = 1
Instable
Problème de la précision de codage des coefficients
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Fonctions du 2nd ordre
et transformation bilinéaire
• Exemple Q=1
1
H ( s) 
1  s  s2
T=0.01
Calcul exact
1  2 z 1  z 2
H ( z) 
40201  79998z 1  39801z 2
Calcul approché : Filtre instable
1  2 z 1  z 2
H ( z) 
40200  80000z 1  39800z 2
0,0025% d’erreur sur les coefficients = instable !
Codage des coefficients sur plus de 16 bits
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