Transcript Az aranymetszés

Jánosi Júlia és Komorowicz Dávid
Bethlen Gábor Általános Iskola és Újreál Gimnázium
Felkészítő tanár: Nagy-Tóth Mariann
Mi a közös ezekben a képekben?
A fogalom
Aranymetszésről akkor beszélünk, ha egy
mennyiséget, vagy szakaszt úgy osztunk két
részre, hogy a kisebbik rész úgy aránylik a
nagyobbikhoz, mint a nagyobbik rész az
egészhez.
Megszerkesztése
Alkalmazása a matematikában
 Szabályos tízszög és szabályos ötszög megszerkesztése
Bizonyítható, hogy adott sugarú körbe írható szabályos
tízszög oldala megegyezik a sugár
hosszabbik
aranymetszetével.
Ez alapján meg tudjuk szerkeszteni a szabályos tízszöget
és abból már könnyedén a szabályos ötszöget is.
Érdekességek
 A szabályos ötszög átlóit megszerkesztve azt tapasztalhatjuk,
hogy az átlók aranyarányban osztják egymást, valamint az
átlók pentagrammát alkotnak.
A pentagrammáról közismert, hogy számos korban fontos
szimbólum volt, gyakran misztikus tulajdonságot társítottak
hozzá:
‐
‐
‐
‐
‐
Babilóniában az öt irányt (elől, hátul, balra, jobbra, felül) jelölte.
A pitagoreusok a tökéletesség jelképének tekintették.
Az ókori Rómában az igazság jelképe volt.
A középkorban az öt őselemet jelölték vele.
A számmisztikában a házasság, a boldogság és a beteljesülés jele.
Fibonacci-számsorozat
 Érdekesség továbbá az is, hogy a Fibonacci-számsorozat
egy olyan egész számokból álló számsorozat, ami
közelítőleg tartalmazza az aranyarányt.
Ha a Fibonacci-sorozat tagjaiból képezzük a szomszédos
tagok hányadosából álló sorozatot, akkor azt
tapasztalhatjuk, hogy a hányadosok egyre inkább
megközelítik a φ értékét.
0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13…
Fibonacci-számsorozat
Szomszédos tagok hányadosa
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
n
Felismerése
 Az arány fogalma fokozatosan alakult ki az emberiség
fejlődésével, így hosszú időnek kellett eltelnie, mire
felismerték ezt a különleges viszonyt.
 Az aranyarány jelen van az élő természetben, hordozzuk
magunkon, szépnek látjuk, ezért tudatosan vagy tudat alatt, de
gyakran alkalmazzuk.
 A napraforgó magjai, a fenyőtoboz pikkelyei, a karfiol rózsái
például Fibonacci-spirálba rendeződnek.
(Megj.: „A Fibonacci-spirál egy olyan logaritmikus spirál, ami
egy negyedfordulat alatt nő a φ -szeresére. … Jól közelíthető
az aranytéglalap segítségével .” Forrás: Wikipedia)
 A nautilusok (csigáspolipok) csigaházát is régóta csodálják:
házának keresztmetszetét vizsgálva észrevehető, hogy bárhol is
húzunk vonalat a középponton keresztül, a keletkező metszésarányok aranyarányt adnak.
 Az emberi test felépítése is ezt a törvényszerűséget
követi.
Mérés csoporttársakon
Iskolánkban a 7. évfolyam egyik csoportjában
elvégeztünk egy mérést az „Arány, arányosság”
témakörhöz kapcsolódva.
Ehhez mérési feladatlapot készítettünk.
Az emberi arcon szerettük volna megvizsgálni a képen
megjelölt két-két szakasz arányát, igazolni a
aranyarányhoz való közelségüket.
A mellékelt Excel fájlban megtalálhatóak a szükséges
számítások, melyekből arra következtethetünk, hogy a
csoport tagjainak arcán megjelölt távolság-párok közel
aranyarányban állnak egymással .
Tudatos alkalmazása …
… az építészetben
 Az aranyarányt már az ókorban is ismerték, tudatos alkalmazása az ókori
építészetben is fellelhető. (Kheopsz-piramis, aranytéglalap alapú templomok)
 A középkorban épült templomok is tartalmazzák ezt az arányt, de esetükben már
nem csak az alapméretek hanem az épület egyéb részeinek viszonya is ilyen.
 E különleges arány alkalmazását a késői középkort követően a reneszánsz építészei
is átvették. (Szent Péter-bazilika)
 Érdekes, hogy Gustav Eiffelnek a párizsi világkiállításra készült híres tornya is
befoglalható olyan téglalapba, melynek hossza a szélesség kétszerese, azaz közel
aranyarányban áll a két adat egymással.
 A mai modern építészet is tartogat meglepetéseket: Témaválasztásában ide
kapcsolódó érdekesség, hogy a köztudottan aranyarányt hordozó nautilus csigaház
szépsége adott ihletett egy mexikói építésznek, Javier Senosiainnak ahhoz, hogy egy
2 gyermekes meseszerető házaspár megrendelésének eleget tegyen. Alkotásával - a
2006-ban Mexikóvárosban megépült házzal - minden idők egyik legérdekesebb
otthonát alkotta meg, amellyel felhívta a figyelmét a barcelonai World Architecture
Festival zsűríjének , akik „kiemelten említésre méltó” megjegyzéssel válogatták be a
az otthont a családi ház kategóriába.
Tudatos alkalmazása …
… a képzőművészetben
Számos alkotáson felfedezhetőek a jól átgondolt kompozíciós törvények:
 Leonardo da Vinci: Mona Lisa, Az utolsó vacsora
 Renoir: Nő a Békástanyán
 Michelangelo is az aranymetszés szabályai szerint komponálta alkotásait.
 Magyar vonatkozásban érdemes megemlíteni Csontváry Kosztka Tivadart. Ismert róla, hogy
képeinek táblája, belső szerkezete szigorúan tervezett volt, alkalmazta az aranyarányt mint
rendezőelvet.
… a tipográfiában
A kellemes oldalkép kialakításához ügyelnek a megfelelő arányok betartására, építenek az
aranymetszés szabályaira. Címek, alcímek és a szövegtörzs betűméretének viszonya általában
ilyen.
… a költészetben
Számos korszakban meghatározta a költemény szerkezetét:
 Dante: Isteni színjáték (korai reneszánsz)
 Balassi Bálint: Adj már csendességet (reneszánsz)
 romantika
 Dsida Jenő (XX. század)
Tudatos alkalmazása …
Fibonacci ihlette költészet
… a zenében
A klasszikus zenében a dallamok általában szimmetrikusan tagolódnak, az
aszimmetrikus formaalkotás a modern zenére jellemző. Ezen belül
tipikusnak tekinthető az aranymetszésnek megfelelő aszimmetrikus
szerkesztési mód, mely egyes zeneszerzők, sajátossága, például Bartók Béla
műveire ez tipikusan jellemző. Bartóknál az aranymetszés tudatos
alkalmazása
zenedarabjainak
megkomponálásánál
nemcsak a harmóniában, az akkordok felépítésében, hanem a zenemű egyes
részeinek arányában, formai tagolódásában is megmutatkozik.
Tudatos alkalmazása …
… hangszerkészítésnél
faesztergálásnál
Faeszetrgálásnál
is igen
fontosakaz
azesztétikus
esztétikai felépítésre:
szempontok.számos hangszernél
Hangszerek
készítői
is ügyelnek
aranyarány szerinti felosztást láthatunk.
A fotózásban
… a fotózásban
Ha alkalmazzuk az aranymetszés szabályát, harmonikusnak fogjuk látni a kompozíciót.
Számos kiemelt kép erre a rendezési elvre épül, illetve ennek egyszerűsített
változatára, a harmadolásra.
Összegzés
Az aranyarány egy olyan különleges arány, ami elbűvölő
a matematikusok, a tudósok számára éppen úgy, mint a
hétköznapi ember számára.
Egy felosztás, ami annak ellenére, hogy nem
szimmetriát hanem aszimmetriát hoz létre, harmóniát
sugall.
Egy törvényszerűség, melyet alkalmazva mindig valami
különlegesen széphez, majdnem tökéleteshez jutunk.
Érdemes felismerni, megismerni és alkalmazni.
Jánosi Júlia és Komorowicz Dávid
Forrásjegyzék
Források:
Hámori Miklós: Arányok és talányok (http://mek.hu)
Sain Márton: Matematikatörténeti ABC (Tankönyvkiadó, Budapest, 1974)
http://wikipedia.hu
http://faesztergalas.info/aranymetszes.html
http://materd.uw.hu
http://www.sulinet.hu/tart/fcikk/Kcf/0/24198/1
http://www.bethlen.hu/matek/mathist/forras/Aranymetszes.htm
http://www.scribd.com/doc/56072995/97/Pentatonia-es-aranymetszes
Képek forrása:
http://www.jakegarn.com/wp-content/uploads/2009/04/carly-fruit-212.jpg
http://www.elle.com/var/ezflow_site/storage/images/elle/beauty/beauty-spotlight/golden-ratio-perfect-face/2706169-1-eng-US/TECH-SUPPORT_articleimage.jpg
http://static.musiciansfriend.com/derivates/19/001/242/902/DV020_Jpg_Jumbo_466970.912_inline_G.jpg
http://alrons.com/ebay/violinsmart/violin/j/black/set_1024x768.jpg
http://www.nmd.ro/uploads/hirek/16632Bela-Bartok.jpg
http://maquilladas.com/wp-content/2011/04/Manos-j%C3%B3venes-y-perfectas.jpg
http://phanmiles.com/imgsmall/parthenon_01.jpg
http://www.free-photos.biz/images/nature/natural_patterns/spiral_aloe.jpg
http://www.lygeros.org/Images/3548_Da_Vinci_Vitruve.jpg
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Image-Golden_ratio_line.png
http://www.cynhannah.com/wp-content/uploads/2012/01/694780262_9ce5d4fe6c_o.jpg
http://s1.hubimg.com/u/4934732_f520.jpg
http://wiki.qsm.ac.il/images/8/89/Ubjhv.png
http://4.bp.blogspot.com/_yGdptOyPBI4/TLYjmmHMbVI/AAAAAAAAAHw/MPrFFV_Cgi0/s1600/800px-fractal_broccoli.jpg
http://cmk.typepad.com/.a/6a00e54ffbdd948833011168943269970c-800wi
http://3.bp.blogspot.com/-3NlD1raVqfY/TYHiLIr7qnI/AAAAAAAAAJE/lwRt4fQ-GrQ/s1600/Picture8.jpg
http://www.nat-n-bio.santotomas.edu.bo/wp-content/uploads/2011/08/Nautilo-22.jpg
http://www.o-ws.hu/img/picture/501/shellbig.jpg
http://faesztergalas.info/images/aranymetszes1.JPG
http://imagestore1.blogger.hu/25_19468_234651_0fa79c6e649e5da96061846286599f8d_3d51c5_301.jpg
http://www.scrapbook.hu/wp-content/uploads/image/icka/arany02.jpg
http://wikitravel.org/upload/en/3/32/Paris-eiffel-tower.jpg
http://www.shearyadi.com/myworld/wp-content/uploads/2008/07/27072008_javier-10.jpg
http://antigoegipto.alojamentogratuito.com/Kheops.jpg
http://2.bp.blogspot.com/jbRdqw9JWrM/Tedllg5TAjI/AAAAAAAAAB8/zJhiB7hdvA8/s1600/3.jpg
http://materd.uw.hu/08_08_02.jpg