Transcript diszkret_rendszerek

Diszkrét rendszerek
Egy olyan rendszert jelent amelynél ha a
bemeneten egy vagy több diszkrét X(n) jel van,
a rendszer kimenetén is egy vagy több Y(n)
diszkrét jel lesz.
Y(n) = H[x(n)]
Diszkrétideju rendszer egy H matematikai
operátor, amely egy jelsorozatot (bemenet)
képez le egy másik jelsorozatba (kimenet)
Lineáris, diszkrét, időinvariáns
rendszerek
(Pl:Digitális szűrők)
Egy ilyen rendszer látható a következő
ábrán:
Lineáris, diszkrét, időinvariáns
rendszerek

Az LDI tulajdonságai:
1. Linearitás
Egy diszkrét rendszer lineáris ha a bemeneti jel
ax1(n)+bx2(n) akkor a kimeneti jel
ay1(n)+by2(n)
Ahol a,b  tetszőleges konstansok
x1(n), x2(n)  tetszőleges bemeneti jelek
y1(n), y2(n)  megfelelő válasz a bemeneti
jelekre( kimeneti jelek)
Lineáris, diszkrét, időinvariáns
rendszerek
2.Időinvariáns
Egy diszkrét rendszer időinvariáns ha a bemeneti
jel x(n-i) akkor a kimeneti jel y(n-i) bármilyen
i-re
Ahol i-egy tetszőleges egész szám
x(n) egy tetszőleges bemeneti jel
y(n) megfelelő válasz a bemeneti jelekre
(kimeneti jelek)
A linearitás és az időinvariáns megmagyarázható
a következő ábrán (amely csak egy szorozandó
tartalmaz)
Lineáris, diszkrét, időinvariáns
rendszerek



Az első ábra következőképpen
magyarázható:
Tekintsük hogy x(n)=(n) akkor a
y(n)=cos(n/2)(n)=cos(0)(n)=(n)
Időeltolást követően a következőt kapjuk
ha x(n)=(n-1) akkor a
y(n)=cos(n/2)(n-1)=cos(/2)(n-1)=0
 és nem a korábban kapott kimeneti jel
eltolása.
Lineáris, diszkrét, időinvariáns
rendszerek
A második ábra nem lineáris rendszer mutat,
mert ha kétszerezzük a bemeneti jelet akkor a
kimeneti jel négyszeresét kapjuk.
2x(n)  y(n)=2(xn)2


a hármas ábrán könnyen látható hogy a
rendszer lineáris és időinvariáns így tehát
-linearitás
ha x(n)=(n), akkor a y(n)=A(n)
-időinvariáns
ha x(n)=(n-1), akkor y(n)=A(n-1)
Lineáris, diszkrét, időinvariáns
rendszerek
Mint a folytonos rendszereknél a kauzalitás
és a stabilitás is nagyon fontos a
fizikailag megvalósítható diszkrét
rendszereknél.
 Kauzalitás: egy diszkrét rendszer
kauzális, ha a kimeneti jel nem jelenik
meg a bemeneti jel alkalmazása előtt.
Azaz ha x(n)=0 n<n0, akkor
y(n)=0
n<n0
Lineáris, diszkrét, időinvariáns
rendszerek
Stabilitás
Egy diszkrét rendszer stabil ha bármilyen
amplitudó korlatos bemeneti jel
ampilitudó korlátos kimeneti jelet ad.
Ha x(n)max  A
Akkor y(n)max  B

Lineáris, diszkrét, időinvariáns
rendszerek
A fizikailag
Megvalósítható
Rendszerekhez
Csupán három
Művelet szükséges:
Összeadás, szorzás és
időkésleltetés
(memorializálás)
Lineáris, diszkrét, időinvariáns
rendszerek
Ezeknek az elemeknek a segítségével
lehet építeni pl. egy kivonó rendszert
Diszkrét rendszer leírása
differenciá egyenlettel
A kovetező ábrán diszkrét idejű lineáris idő-invariáns
rendszer látható, amely a fent felsorolt alapelemek
mindegyikét tartalmazza.
Diszkrét rendszer leírása
differenciá egyenlettel
A fenti rendszer bemeneti és kimeneti jele közötti
kapcsolatot az alábbi egyenletekkel írja le:
v(n)= ax(n)+bx(n-1)+y(n)
és
y(n)=cv(n-1)
Azok a függvények amelyek egy adott időben (v(n) y(n))
a jel értéke irható függően a jelek korábbi értékei,
itt például( x(n-1), v(n-1) neveznek differencia
függvények
v(n) x(n-1)
y(n) v(n-1)
Diszkrét rendszer leírása
differenciá egyenlettel
Kombinálni tudjuk a két függvényt (v(n), y(n))
úgy hogy a végén egyetlen differencia
függvényt kapunk (lineáris szekvencia), amely
csak a korábbi y(n-1), y(n-2)…diszkrét
kimeneti értékeket valamint a x(n-1), x(n-2)…
korábbi diszkrét bemeneti értékeket tartalmaz.
Ha v(n)-t és y(n)-t kombináljuk
Akkor y(n)=acx(n-1)+bcx(n-2)+cy(n-1)
 Általában tetszőleges bemeneti x(n) jel esetén,
a kezdeti feltételek ismeretében a rendszer
differencia egyenletével meghatározható a
kimenő y(n) jel.

Diszkrét rendszer leírása
differenciá egyenlettel
Példa: ha x(n)=(n) és y(n)=0 ha n<0
Akkor y(0)=acx(-1)+bcx(-2)+cy(-1)=0
y(1)=acx(0)+bcx(-1)+cy(0)=ac
y(2)=acx(1)+bcx(0)+cy(1)=(b+ac)c
y(3)=acx(2)+bcx(1)+cy(2)=(b+ac)c2
.
.
.
y(n)=acx(n-1)+bcx(n-2)+cy(n-1)= (b+ac)cn-1
és a kimeneti jel
ha n  0
 0

y(n )   ac
ha n  1
(b  ac)cn - 1 ha n  2

Diszkrét rendszer leírása
differenciá egyenlettel
Általában egy LDI rendszer a kimeneti jel
y(n) és a bemeneti jel x(n) kapcsolatot
magadó funkcióval reprezentálható a
következő differencia függvényt.
yn  b0 xn  b1 xn  1  ...  bN xn  N   a1 yn  1  ...  a M yn  M 
.
vagy tömörebb formában, a kimenő
jelet kifejezve:
yn 
N
M
 b xn  i  a yn  i
i
i 0
i
i 1
Diszkrét rendszer leírása
differenciá egyenlettel
Ezt az egyenlet nevezik: lineáris rendszer állandó
együtthatós differencia egyenlet.
Ha M=0, a rendszer nem rekurzív, vagy mozgó átlagoló.
Ez esetben a rendszeregyenlet a gerjesztés-válasz
kapcsolattal egyezik meg. Az ilyen rendszerek egyben
véges impulzus válaszúak is (FIR rendszer). Ha M0, a
rendszer rekurzív továbbá, ha N=0, autoregresszív
típusú.
A differenciaegyenlet segítségével adott x(n) bemenőjel
és ai, bi együtthatók esetén meghatározhatók a
kimenőjel y(0), y(1), y(2),…értékei lépésről lépésre
módszerrel. E módszert a gyakorlatban csak egyszerű
rendszerek és egyszerű bemenő jelek esetén
használják.
Diszkrét rendszer leírása
differenciá egyenlettel
Összetett rendszereknél hosszadalmas és
körülményes, ezért diszkrét rendszereknél is
általánosan használt megoldási mód a
frekvenciatartományba történő
transzformáció. A differenciaegyenletek
diszkrét esetben is algebrai egyenletekké
transzformálódnak, amelyek megoldása jóval
egyszerűbb.
Diszkrét rendszer leírása
differenciá egyenlettel
Példa:
Egy differencia egyenlet és egyik a megvalósítási
lehetőség
A lineáris idő-invariáns diszkrét rendszerek
súlyfüggvénye (impulzusválasza)
Egy LDI egyértelműen jellemezhető a
Súlyfüggvényével h(n) (Az egységnyi területű Dirac
(n) adott válaszával)
x(n)=(n)
y(n)=h(n)
Függvényre


A lineáris idő-invariáns diszkrét rendszerek
súlyfüggvénye (impulzusválasza)
Példa 1:
Az ábrából látszik hogy a rendszer súlyfüggvénye a következő:
h(n)=2(n)-0.5(n-1)
Ez a súlyfüggvény véges (korlátozott) idejű és az ilyen rendszert
nevezik véges idejű súlyfüggvény szűrő RIF vagy (véges impulzus
válasú szűrő (nem rekurzív)).
A lineáris idő-invariáns diszkrét rendszerek
súlyfüggvénye (impulzusválasza)
Példa2:
Az ábrából látszik hogy a rendszer súlyfüggvénye a következő:
h(n)=(-3/4)nU(n-1)
Ez a súlyfüggvény végtelen idejű és ezt a rendszert nevezik végtelen
idejű súlyfüggvényűnek.(végtelen impulzusválaszú (IIR) szűrő)
A lineáris idő-invariáns diszkrét rendszerek
súlyfüggvénye (impulzusválasza)
Eddig a mit mondtunk azt követezik hogy a
súlyfüggvény h(n) ismeretében lehet
számolni a kimeneti jel y(n)-nel ha a
bemeneti jel x(n).
A következők írhatók le:
 a definícióból, ha a bemeneti jel (n) akkor a
kimeneti jel h(n)
 az időinvariáns tételből következik ha a
bemeneti jel (n-i) akkor a kimeneti jel h(n-i)
 a linearitás tételből ha a bemeneti jel x(i)(n-i)
akkor a kimeneti jel x(i)h(n-i)
A lineáris idő-invariáns diszkrét rendszerek
súlyfüggvénye (impulzusválasza)

Ezután kapcsoljunk a bemenetre egy
tetszőleges impulzussorozatot:
xn 

 xi n  i
i  
A válaszjel ekkor az alábbi lesz:
yn 

 hn  ixi
i  
A lineáris idő-invariáns diszkrét rendszerek
súlyfüggvénye (impulzusválasza)
Röviden:
Az LDI rendszer amely súlyfüggvénye h(n)
adja, ha a bemeneti jel x(n), akkor a
kimeneti jelet y(n) a övetező:

Innen látható hogy a rendszer stabil
vagy kauzális:


ha a rendszer stabil akkor h(i)
ha a rendszer kauzális akkor h(n)=0 ha n0
Diszkret convolució
Ha egy diszkrét rendszert időtartományban a
súlyfüggvénye (h(n)-a diszkrét Dirac jelre adott válasz)
jellemzi, és ha a bemenő jelet x(n)-vel jelöljük, akkor a
rendszer válaszát felírhatjuk, mint a bemenő jel és a
súlyfüggvény konvolutív szorzatát:
Y(n) = x(n)* h(n)
A konvolúció segítségével tetszőleges bemenőjelre meg
tudjuk határozni a rendszer kimenőjelét, ha a rendszer
impulzusválasza ismert, vagy általánosan, ha a fenti
három jel közül bármelyik kettő ismert, akkor
meghatározható a harmadik.
A konvolúció műveletét a következőképpen
definiáljuk:
y(n)  x(n)  h(n) 

 x ( n ) h ( n  i)
i  
Az egyenlet jobboldalát konvolúciós összegnek
nevezzük.
A konvolúció tulajdonságai:
Kommutativitás:
x(n)*h(n) = h(n)*x(n) vagy másépen:


i  
i  
 x(i)h(n  i)   h(i)x(n  i)
Asszociativitás:
(x(n)*h1(n))*h2(n) = x(n)*(h1(n)*h2(n))
Disztributivitás:
x(n)*(h1(n)+h2(n)) = x(n)*h1(n) +
x(n)*h2(n)
A konvolució a követező grafikus megközelítés
szemleleti:
1. x(i) és h(i) sorozatok
felrajzolása i függvényében
2. h(i) sorozat tükrözése
az ordináta tengelyre (h(-i)
3. h(-i) eltolása n-nel
(n > 0 jobbra, n < 0 balra)
(pl.: itt n=2)
4.összeadás i-vel y(2)=x(i)h(2-i)
5. x(i) és h(n-i)
sorozatok megfelelő
elemeinek szorzatösszege
adja y(n)-t
Végestül: általában
N1és N2 hosszúságú sorozatok konvolválásával kapott
sorozat hozza N = N1 + N2 - 1
LDI rendszerek leírása az átviteli
karakterisztika segítségével
A LDI rendszerek jobban leírhatók a frekvencia
tartományban (átviteli karakterisztika) mint az
időtartományban ( súlyfüggvény).
Tekintsünk egy rendszert melynek súlyfüggvénye h(n) és
a kimeneti jele y(n) ha a bemeneti jel
x(n)=cos(nw)
(akkor itt a hn nem a rendszer sülyfüggvénye)
x(n)=cos(nw)=ejnw/2+e-jwn/2
LDI rendszerek leírása az átviteli
karakterisztika segítségével
ha x1(n)= ejnw és x2(n)= e-jwn
Akkor


 h(i)x1 (n  i) 
i  
és tudjuk hogy


i  
i  
jw ( n i )
jwn
 jwi
h
(
i
)
e

e
h
(
i
)
e



 jwi
jw
h
(
i
)
e

H
(
e
)

i  
ami nem
Más mint a diszkrét jelek Fourier transzformáltja
akkor y1(n)= ejwnH(ejw)
H(ejw) nem más mint átviteli
karakterisztikája az LDI rendszernek amely
súlyfüggvénye h(n).
A következők írhatók le:
jwnH(ejw)=ejwnAe j=Ae j(wn+)
 y1(n)= e
ahol:
A=H(ejw)  komplex átviteli karakterisztika
abszolút értéke
és = argH(ejw)  a fázis értéke
Ugyan így meghatározhatjuk a kimenetei jel
y2(n) ha a bemeneti jel x2(n)=e-jwn ,
akkor:

y2(n)=e-jwnH(e-jw)
Használva a lineritás tételt megtudjuk
határozni y(n)-t.
Ha x(n)=cos(nw)=(x1(n)+x2(n))/2,
akkor:
y(n)=ejwnH(ejw)+e-jwnH(e-jw)/2
Ha a következő tételeket alkalmazzuk:
A(ejw) = A(e-jw)
(páros füg.)
és (ejw) = -(e-jw)
(páratlan füg.)
akkor:
y(n)=Ae
+ e -j(wn+)/2
= Acos (wn+)
j(wn+)
Az eredmény azt mutatja, hogy a DLI rendszerben a
bemeneti (itt egy cosinus jel) és a kimeneti
frekvenciák azonosak de a kimeneti jel amplitudója és
fázisa az átviteli karakterisztikától (H(ejw) függnek
ezen a partikuláris frekvencián.
Ez az egyik legfontosabb tétel a LDI rendszereknél.
LDI rendszerek leírása az átviteli
karakterisztika segítségével

Továbbá ha x(n) tetszőleges jel akkor létezik
olyan Fourier Transzformáció amely adja
inverz FT

1
jw
jnw
x (n ) 
X(e )e dw

2  

Azt jelenti, hogy x(n) nem más, mint végtelen
exponenciális frekvencia összeadások.
LDI rendszerek leírása az átviteli
karakterisztika segítségével

A linearitás tételből adódóan az LDI rendszer
átfordítja a bemeneti x(n) jelet a kimeneti y(n)
jelre, amelyben minden komplex exponenciál
szorozva van a hozzátartozó H(ejw)

1
jw
jw
jnw
y( n ) 
X(e )H(e )e dw

2  
A konvolúció időtartománybeli tulajdonságai
mellett további fontos a frekvenciatartományban
érvényes alábbi tulajdonság.
Ha adottak a h(n),x(n) és y(n) időfüggvények,
Valamint e függvények Fourier-transzformáltjai,
H(ejw), X(ejw) és Y(ejw) akkor az
időtartománybeli és a frekvenciatartománybeli
függvények között az alábbi összefüggés áll fenn:
 
   
yn  xn hn  Y e j  X e j  H e j
A fenti összefüggés szerint
két függvény konvolúciója
meghatározható úgy is,
hogy a függvények Fourier
transzformáltjait
összeszorozzuk,majd
a szorzatból inverz FT-val
megkapjuk a konvolúció
eredményét. Ez lehetőséget
ad a konvolúció
műveletének egy másik
megvalósítására, ami sok
esetben megkönnyíti a
művelet elvégzését.
LDI rendszerek leírása az átviteli
karakterisztika segítségével

1.
2.
3.
Megjegyzések:
H(ejw) nem más mint a h(n) Fourier
transzformáltja.
Innen következik hogy H(ejw), mint
minden TFSD periodikus, periódusa 2  /T
Valós h(n) esetén (a mi átlános), a H
valós része szimmetrikus páros és az
Imaginárius része pedig szimmetrikus
páratlan.
Eddigi bevezetett elméletből következik, hogy, az
átviteli karakterisztika meghatározásához, három
Módszer kínálkozik:
- módszer 1: a h(n) sülyfüggvény Fourier
transzformáltja,
- módszer 2: ha a bemeneti jel x(n)=enwT =e nΘ,
akkor y(n)= H(e jΘ) e jnΘ
számolható az átviteli
karakterisztika,
- modszer 3: a differenciaegyenlet segítségével és
használva az időeltolás tétel.
x(n-i)
e jiΘ X(e jΘ)
Megjegyzés a bemeneti x(n) jel vonatkozóan :
modszer 1: x(n)= δ(n)
modszer 2: x(n)= x(n)=enwT
modszer 3: nincs definiálva
Példa
Határozzuk meg a következő rendszer
a 1
az átviteli karakterisztikáját. Itt
Modszer1:
Ha a h(n)=anu(n)
Az átviteli karakterisztika a következő:
j
H (e ) 

 h ( n )e
n  
 jn

 a e
n 0
n  jn

  (ae  j ) n 
n 0
1
1  ae j mivel
a 1
A konvolúció alkalmazásai

A konvolúciót leggyakrabban szűrők
megvalósítására használják. Ha ugyanis
ismerjük egy jelátviteli tag impulzusválasz
függvényét, akkor a kimenőjelet a bemenőjel
és az impulzusválasz konvolúciójával
meghatározhatjuk. Egy adott specifikációval
rendelkező szűrő megvalósításához a megfelelő
impulzusválaszt kell megtalálnunk. Ezeket a
szűrőket ezért konvolúciós szűrőknek is
nevezik.
Fourier transzformáció
A diszkrét idejű jelek leírása a frekvencia
tartományban (Fourier transzformáció)
A Fourier transzformáció, egy tetszőleges
x[nT] diszkrét szorozat a következő módon írható
le:
 
X e jT  Fxn  

 jnT


x
nT
e

n 
A folytonos jelek Fourier transzformációja

X()   x(t )e jt dt

szemben, két különbség figyelhető meg:
Diszkrét Fourier transzformáció
1. Az integrál művelet helyett összegezünk mivel a jelnek
csak diszkrét időpillanatokban van értéke.
jT
2. Az w frekvenciaváltozót diszkrét esetben e
változóval helyettesítettük. Ez kihangsúlyozza azt, hogy
X periodikus, periódusa 2 / T . Emiatt elég az X e jT 
karakterisztika 2 / T szélességű intervallumát


ábrázolnunk, ahogy látható az ábrán. A
  
T
T
tartományt alapintervallumnak nevezzük.


jT
X
e
Az
függvény, mely az x[nT] jel spektruma,
komplex függvény, amely vagy a valós és képzetes
komponensekkel, vagy az amplitúdóval és a
fázisszöggel adható meg:

Xe
jT
  ReX e  j ImX e  Ae e
jT
jT
jT
Vagy egyszerűen:

Xe
jT
  R  jI  Ae
j

j e jT

Az inverz Fourier transzformáció
Az inverz transzformációs egyenlet:
1
  
F Xe
jT

T
 
T
jT
jnT
 xnT 
X e
e d

2 
T

xnT   X e
jT

Fourier transzformációs pár
A transzformációt egyszerűbb alakban
kapjuk, ha bevezetjük a   T jelölést, vagy
relatív frekvenciát:

   xne
F xn  X e j 
 jn
Fourier transformáció
n  
  
F 1 X e j  xn 
 
xn  X e j
1
2

  
X e j e jn d

FT pár
Inverz FT
A diszkrét idejű jelek Fourier
transzformációjának tulajdonságai
A transzformáció tulajdonságai azonosak a folytonos
jelek Fourier transzformációinál, de figyelembe
kell venni, hogy csak a diszkrét időpontokra vannak
értelmezve.
Linearitás:
 
 
ax1 n  bx2 n  aX1 e j  bX1 e j
ahol a és b tetszőleges konstansok.
Eltolás az időtartományban:
xn  i  e
 ji
 
Xe
j
Eltolás a frekvencia tartományban:
xn e
jn 0

X e
j  0

0 frekvenciával eltolás a spektrumban e jn 0 tényezővel
szorzást jelent az időtartományban.
Konvolúció az időtartományban:
   
x1 n x 2 n  X 1 e j  X 2 e j
A konvolúció az időtartományban megfelel a szorzás
műveletnek a frekvencia tartományban.
Konvolúció a frekvenciatartományban:
  X e 
x1 n x 2 n  X 1 e
j
j
2
A konvolúció a frekvenciatartományban megfelel a
szorzás műveletnek az időtartományban. Két periodikus
frekvenciafüggvény konvolúciója pedig az alábbi:

  X e    X e  X e
X1 e
j
j
2
j
1

2
j (  )
d
Diszkrét Fourier transzformáció
Diszkrét Fourier transzformáció periodikus jelek
esetén (DFT):
Legyen az xp[n] diszkrét idejű jel periodikus, melynek
periódusa N. A jel ekkor eleget tesz az alábbi
összefüggésnek:
x p n  x p n  lN 
ahol l=0, 1, 2, …egész szám.
A konvergencia problémák miatt, nem tudjuk egyben alkalmazni az
előző függvények. Ezt követően, másik módszer kell találni, hogy
tudjuk leírni a frekvenciatartományban az időben adott diszkrét
Diszkrét Fourier transzformáció
Mivel a jel periodikus, a következőket tudjuk róla:
1. A frekvenciatartománybeli leírásban a  0 alapharmonikus
egészszámú többszörösei és esetleg a   0 frekvenciájú
komponens fordul elő.
Az alapharmonikus értéke  0  2 / N .
 2 n

Ez könnyen belátható egy egyszerű példán. Ha a jel x p n  cos N    ,
a jel periódus hossza N, így 2 / N a jel alapharmonikus frekvenciája.
2. x p n egyetlen periódusából minden frekvenciakomponens
meghatározható.
Ezek alapján a diszkrét idejű jelek Fourier transzformációs
képleteinek, módosításával felírhatjuk az N pontos diszkrét Fourier
transzformáció egyenletét, melynek rövidítése DFT:
Diszkrét Fourier transzformáció
X p k  
N 1
x
p
 2 
 j
 kn
N 

e
n
n 0
Az N pontos inverz diszkrét Fourier transzformáció (IDFT)
képlete pedig az alábbi lesz:
x p n 
1
N
N 1
X
p
k  e
 2
j
 N

 kn

n 0
Ha megadjuk az xp[n] jel N darab mintavételezett érték,
az xp[0], xp x[1], …, xp[N-1], értékeket, vagyis az
szekvencia alapintervallumát, a diszkrét Fourier
transzformáció segítségével meghatározhatók az Xp[k]
frekvenciaspektrum komponensei minden k egész
számhoz. Xp[k] szintén periodikus, periódusa N, mivel
Diszkrét Fourier transzformáció
X p k  lN  
N 1
x
p
n
 2 
 j
 k  lN  n
e N
n 0
N 1

x
p
n
 2 
 j
 kn
N 

e
N 1

x
p
n
 2
 j
e N

 kn
 e  j 2 ln

n 0
 X p k 
n 0
A periodicitás következtében az N darab
Xp[0], Xp[1], [2],…, Xp[N-1] érték, azaz az
Xp[k] alapintervalluma elegendő a spektrum
egyértelmű meghatározásához (lásd a példa).
Példa: N=4
Az Xp[k] diszkrét spektrum egyenlet
segítségével előállítható az xp(n)
mintavételezett jelsorozat. Az inverz
diszkrét Fourier transzformációs
egyenletben az összegezés előtti 1/N együttható
megválasztásának célja, hogy a DFT és IDFT
transzformációkat egymás után alkalmazva az
eredmény az eredeti jel legyen. Az xp[n] és
Xp[k] egyenletek a Fourier transzformációs párt
alkot, melynek jelölése:
x n  X k 
p
p
Példa:
Határozzuk meg a Fourier transzformció egy négy
pontos periodikus függvény x(n) amely a következő
ábra látható:
Példa:
Határozzuk meg az IDFT egy 16 pontos DFT amely
definició szerint a követező:
DFT a véges időtartamú diszkrét idejű jel
xn  0, ha n  0 és
Lásd Könyv 94.old
nN
A DFT tulajdonságai
VOIR
Transfofourierrapideanimee

Digitális szűrők
A digitális szűrők az LDI rendszerek legfontosabb elemeit
képezik. Működésük differencia egyenleteikkel adható
meg.
Digitális szűrő definiálható mint áramkör (vagy
algoritmus) amely átalakít egy bemeneti jel egy
kimeneti jelre amely spektruma valamely módon meg
van kötve a bemeneti jel spektruma.
Alapvetően a digitális szűrők két osztályát, és pedig a
rekurzív és a nemrekurzív digitális szűrők osztályát
különböztetik meg.
Digitális szűrők
De létezik meg egy másik módszer különböztetni a
digitális szűröket: véges impulzusválaszú (FIR) és
végtelen impulzusválaszú szűrőknek (IIR).
A rekurzív digitális szűrök esetén a szűrő kimenetén
megjelenő minden y(n) diszkrét érték a korábbi
y(n-1), y(n-2),… diszkrét kimeneti értékek,
valamint az x(n), x(n-1), x(n-2), … jelenlegi és
korábbi diszkrét bemeneti értékek függvénye,
tehát:
y(n) = f {y(n-1) y(n-2),… x(n), x(n-1), x(n-2),…}
Digitális szűrők
A nemrekurzív digitális szűrőket viszont az jellemzi,
hogy a szúrő minden kimeneti értéke csak a
jelenlegi és a megelőző bemeneti értékek
függvénye, tehát:
y(n) = f {x(n), x(n-1), x(n-2),…}
Általában:
FIR
nemrekurzív digitális szűrő
IIR
rekurzív digitális szűrő
Digitális szűrők
De ezt nem mindig igaz:
A digitális szűrők megvalósíthatók nem rekurzív és
rekurzív algoritmusokkal. Az IIR szűrők mindig
rekurzív algoritmusokkal, a FIR szűrők viszont rekurzív
és nem rekurzív algoritmusokkal is előállíthatók, amin
ezt később ismertetjük.
Digitális szűrők
A digitális szűrők realizálásahoz csupan három
müveletek szükséges: időkésleltetés
(memorialazálás), szorzás ill. összeadás.
Digitális szűrők
FIR szűrők: nem rekurzív digitális szűrők (NRDF)
A FIR szűrők nem rekurzív diszkrét szűrők. Jellemzőjük,
hogy nem tartalmaznak visszacsatolást, vagy is az y(n)
kimenet független az előző y(n-1) y(n-2),… stb
kimenetektől. Így nyilvánvalóan hogy a nem rekurzív
szűrők mentesek a visszacsatolásokkal kapcsolatos
problémakörtől, hiszen a kimenetről semmiféle jel nem
csatlakozik vissza (ábra)
Digitális szűrők
A legegyszerűbben megérthető digitális
szűrőrendszerek a nemrekurzív transzverzális
szűrők (ábra). Ilyen fajta szűrők lényege az hogy
csak a bemeneti jel x(n) van memorizálva a
késleltetési elemekben.
Digitális szűrők
A nemrekurzív szűrő kauzális és a transzferfüggvénye
H(z) mindig leírható a következő módon:
N
Y z 
H z  
 b0  b1 z 1  ...  b N z  N 
X z 
N

bi z i 

bi z N i
i 0
zN
i 0
A hozza tartózó sülyfüggvényt pedig:
hn  b0 n  b1 n  1  ...  b N  n  N  
N
 b  n  i
i
i 0
Digitális szűrők
A transzferfüggvényből látszik hogy a H(z) csak zérusok
jönnek léttre, ill N polusok az origoban (z=0)
A sülyfüggvényből látszik hogy a h(n) hosszúsága véges
és maximálisan (N+1) mintából áll.
A nemrekurzív szűrők mindig stabilak, amely két tényből
is következik.
• A diszkrét idejű rendszerek stabilitásának a feltétele, hogy az
átviteli függvény összes pólusa a z sík egységsugarú
tartományán belül legyen. Ez FIR szűrőknél mindig teljesül.
• A stabilitás feltétele, hogy az impulzus válasz abszolút
értékének összege véges legyen. FIR szűrőknél ez szintén
teljesül.
A FIR szűrők másik előnyös tulajdonsága a lineáris
fáziskarakterisztika.
Digitális szűrők
IIR szűrők- rekurzív digitális szűrők (RDF)
A rekurzív szűrőkben visszavezető jel utak vannak,
amelyek a kimeneti jel értéket a rendszer vagy ennek
részegységeiknek bemeneteire visszacsatolják
Digitális szűrők
A szűrő leírható differenciegyenlettet segítségével
A sülyfüggvénye pedig:
h(n)=an-1u(n-1)
Amely z-transzformácioja (transzferfüggvény)
H(z)
H z  
z 1
1  az 1
Digitális szűrők
Az IIR rekurzív szűrők különféle lehetséges struktúráihoz
differencia egyenletükből kiindulva juthatunk el, az
egyenlet egy-egy módosított alakjából.
Direkt struktúra I.
Az bemenő x(n) és az y(n) kimenő jelsorozat közötti
összefüggés rekurzív szűrő esetén:

yn 
N
M
 b xn  i  a yn  i
i
i 0
i
i 1
Digitális szűrők
A szűrő differenciaegyenletéhez, illetve az ennek
megfelelő Z transzformálthoz az ábrán található első
típusú direkt formájú kapcsolása tartozik.
Digitális szűrők
Láthatóan a struktúra N+M tároló elemet és N+M+1
szorzást tartalmaz. Ezenkívül mindenegyes kimeneti
érték előállításához N+M+1 összeadás szükséges. A
struktúrához tartozó átviteli függvény:
N
H z  
Y z 

X z 

bi z i
i 0
M
1

i 1
a i z i

Direkt struktúra II.
Az előző szűrő struktúrát tekinthetjük egy rekurzív és
nem rekurzív rész kaszkád kapcsolásának is. Mivel
lineáris időinvariáns hálózatokról van szó, ezért a két
részt felcserélhetjük, anélkül, hogy a teljes rendszer
frekvencia átviteli tulajdonsága megváltozna. Ily
módon kapjuk a követező ábrán bemutatott struktúrát
Digitális szűrők
.
A ábrán látható, hogy mindkét késleltető lánc jelei
azonosak: (n), (n-1),…. (n-N). Ennek megfelelően
átalakítható a rendszer, a követező ábrán bemutatott
formába. Így kapjuk a II. direkt struktúrát. Az ábrán
látható struktúra esetén M>N, és összesen M tároló
elemet tartalmaz.
Az olyan struktúrákat, amelyek ugyanannyi tárolóelemet
(késleltetők) tartalmaznak, mint amennyi a
differenciaegyenlet fokszáma, kanonikus struktúráknak
nevezzük.
A direkt struktúra elnevezés magyarázata az, hogy a
struktúra az átviteli függvényt közvetlen módon állítja
elő. A racionális törtfüggvény minden együtthatójához
illetve hatvány kifejezéséhez közvetlenül egy-egy
áramköri elemet rendel hozzá.
Az ai, bi együtthatók kis eltérései az átviteli függvény
jelentős megváltozását okozzák. Ez azt jelenti, hogy a
direkt formájú kapcsolások érzékenyek a
paraméterváltozásokra. A paraméter érzékenység
elkerülhető, ha a H(z) átviteli függvényt H1(z), H2(z),
…Hk(z) első és másodfokú rész-átviteli függvények
szorzatára vagy összegére osztjuk. Az egyes átviteli
függvényeket külön áramkörökkel valósítjuk meg majd
ezeket az átviteli függvény felbontási szabályait
követve, sorosan vagy párhuzamosan összeépítjük. Az
egyes áramkörök csak a saját rész-átviteli függvényük
megvalósításáért ill. műszaki paramétereiért felelősek
és a többi hálózati paraméterre (pólusra, zérusra)
Digitális szűrők
Kaszkád struktúra
A kaszkád struktúra előállításához a H(z) átviteli
függvényt a következő formában írjuk fel:
H z   H 1 z  H 2 z  ...  H i z  ...  H k z 
Az átviteli függvényt gyöktényezős alakra bontjuk, és
felhasználhatjuk azt is, hogy valós impulzusválasz
esetén a komplex pólusok és zérusok konjugált
gyökpárokat alkotnak. Ennek megfelelően a H(z) a
következő kétféle részfüggvényre (első vagy
másodfokú) bontható:
Digitális szűrők
H i z  
Vagy
H i z  
1  ci z 1
1  d i z 1
1  ci z 1  d i z 2
1  ei z 1  f i z  2
Az elsőfokú alaptag egy valós zérust és egy valós
pólust tartalmaz. A másodfokú tag pedig, két
zérust és két pólust tartalmaz, amelyek
komplexek is lehetnek.
Digitális szűrők
Példa:
Adott egy harmadfokú rendszer amely átviteli
függvénye, H(z). A kaszkád megvalósításhoz alakítsuk
át első és másodfokú átviteli függvények szorzatává.
H ( z) 
3  5 z 1  6 z 2  4 z 3
2  5z
1
 8z
2
 3z
3

(1  z 1 )(3  2 z 1  4 z 2 )
1
(2  z )(1  2 z
1
0,5  0,5 z 1 3  2 z 1  4 z 2
H z  

1
1  0,5 z
1  2 z 1  3z  2
 3z
2
)

Digitális szűrők
Kaszkád struktúra
Digitális szűrők
Párhuzamos struktúra
Az átviteli függvényt előállíthatjuk k számú részfüggvény
összegeként is:
H z   H 0  H 1 z   H 2 z   ...  H i z   ...  H k z 
Az egyenletben H0 konstans tag, H1(z), H2(z),… első vagy
másodfokú alaptagok
Párhuzamos struktúra
Digitális szűrők
Példaképpen egy harmadfokú szűrőt alakítsunk át
párhuzamos formába
H ( z) 
2
7  9 z 1  4 z 2  2 z 3
2  3z
1
1 z
1

1
z
2
z
3
1  z 1
(2  z
1
z
2
)

7  9 z 1  4 z 2  2 z 3
1
(1  z )(2  z
1
z
2

)
 H 0  H 1 ( z)  H 2 ( z)
A részfüggvények a következők:
H0  2
H1 ( z) 
1
1 z
1
H 2 ( z) 
0.5  z 1
1  0,5 z 1  0,5 z  2
Digitális szűrők
Megegyezés:
Léteznek sok más struktúrájú (kapcsolási forma)
digitális szűrök.
Példa:
- Fésűszűrő
- frekvencia-mintavételező struktúra
Digitális szűrők
Fésűszűrő:
Ha a H(z) átviteli függvényű szűrő minden tároló elemét
N kaszkádba kapcsolt tárolóelemmel helyettesítünk, fésű
szűrőt kapunk, melynek átviteli függvénye G(z)=H(zN),
így a frekvencia átviteli függvény a
(     )
alapintervallumon N-szer ismétlődik .
Példa:
Ha N =3 és N =4
N=3
N=4
Egyszerű nem rekurzív fésű szűrőt kapunk, ha a
H(z)=1-z-1 átviteli függvényből indulunk ki. Az
eredményül kapott szűrő N memória elemből , egy
szorzóból és egy összeadóból áll,
a szűrő átviteli függvénye:
y( z)
G( z) 
 1 z N
x( z )
és a z tartományban az egységsugarú körön azonos
távolságban elhelyezkedő N darab zérust tartalmaz.
Digitális szűrők
20x20x
Fésű szűrő pólus-zérus elrendezése N=20 esetén
Digitális szűrők
Frekvencia-mintavételező struktúra:
A frekvencia-mintavételező szűrő egy fésű szűrő és az
azt követő rekurzív hálózat kaszkád kapcsolásával
hozható létre. A rekurzív hálózat pólusai egybeesnek a
fésű szűrő zérusaival. A rekurzív rész általában
párhuzamosan csatlakoztatott másodfokú
részegységekből áll, de tartalmazhat elsőfokú tagot is,
a z=1 vagy z=-1 pólusok megvalósításához. E
struktúrával egyszerűen létrehozhatók olyan szűrők,
amelyek megadott frekvenciákon pontos
frekvenciaválasszal rendelkeznek.
Frekvencia mintavételező struktúra
Digitális szűrők
Adaptív szűrők
Az adaptív szűrők olyan digitális szűrők, amelyek
együtthatói nem állandók, azokat egy adaptív
algoritmus automatikusan módosítja, abból a célból,
hogy a szűrő frekvencia válasza meghatározott
kritériumok szerint optimális legyen. Az adaptív szűrő
ezért két részből áll. Az egyik rész a digitális szűrő,
amelynek struktúrája elvileg az előzőkben ismertetett
struktúrák bármelyike lehet, és az n-ik időpillanatban
c0[n], c1[n],… cN[n] együtthatókkal rendelkezik. A
másik rész az adaptív algoritmust megvalósítható
vezérlőegység.
Digitális szűrők
Az együtthatókat a vezérlőegység automatikusan
állítja elő, előre lerögzített kritériumnak megfelelően.
Ez általában az aktuális kimeneti jel és egy referencia
jel közötti különbség minimalizálását jelenti.
Digitális szűrők
a párhuzamos struktúrával megvalósított szűrőt a
következő:
Digitális szűrők méretezése és megvalósítása
A digitális szűrők tervezéséhez a szűrőparaméterek
specifikációja szükséges. Ezek a specifikációk a
frekvenciatartománybeli karakterisztikák, mint az
amplitúdó és a fázis, és egyes esetekben az
időtartománybeli paraméterek, mint például a maximális
jelfeldolgozási idő. Az amplitúdó-frekvencia tolerancia
diagram tartalmazza a karakterisztikát, a következő
ábrán látható módon.
Pl. Aluláteresztő szűrő
paramétereinek a specifikációja
Digitális szűrők méretezése és megvalósítása
A digitális szűrők megvalósításának első lépése az
átviteli karakterisztika kiválasztása. Az ideális
szűrőkarakterisztikák összefoglalva a következő ábrán
láthatók.
A legfontosabb szűrő típusok:
-Aluláteresztő szűrő
-Felüláteresztő szűrő
-Sáváteresztő szűrő
- Sávzáró szűrő.
Az előző csoportosítás nem teljes. Létezik más fajta
szűrők amelyek nem lehet sorolni az előző
csoportosításához, és amelyek digitális jelfeldolgozáshoz
nagy szerepet játszanak. Ezek a következők:
- Differenciátor. Átviteli függvénye:
- Integrátor. Átviteli függvénye:
 
H D e j  j , ha   
 
H I e j 
1
,
j
ha
 
- Hilbert transzformátor. Átviteli függvénye: H H e j    j ha
 j
0  
ha      
- Mindent áteresztő szűrő, vagy fázistoló. Átviteli függvénye:
 
H F e j  1, ha   
A digitális szűrőtervezés általános lépései:
- Approximáció
- Szintézis és struktúra kiválasztás
- Működés és szűrőparaméterek ellenőrzése
-Megvalósítás.
Approximáció
Az approximáció folyamán a megadott szűrő specifikációhoz
keressük azt a szűrő átviteli karakterisztikát, amely a
specifikációknak eleget tesz. Az approximációs problémát
kétféleképpen oldhatjuk meg: direkt vagy indirekt módon. Direkt
módszer esetén a megoldás diszkrét idő vagy frekvencia
tartományban történik. Indirekt a megoldás, ha folytonos idejű
rendszert áttranszformáljuk diszkrét idejű átviteli funkcióvá.
Szintézis és struktúra kiválasztás
Miután meghatároztuk az átviteli függvényt, a
Szűrőt diszkrét idejű lineáris struktúrával megvalósítjuk.
A struktúra kiválasztásánál szem előtt kell tartani a
szükséges összeadások, szorzások, tároló elemek
számát, a struktúra érzékenységét paraméter
változásokra, az aritmetika pontosságára és más
Egyéb.


Működés és szűrőparaméterek ellenőrzése
Bár a szűrő együtthatókat nagy pontossággal kell meghatározni,
a digitális hardver véges pontosságú. Az aritmetika lehet fix vagy
lebegőpontos. Fixpontos megoldások esetén a véges pontosság a
szűrő paramétereket módosítja. A tervezőnek ellenőriznie kell,
hogy a megvalósított szűrő eleget tesz-e a specifikációknak. Az
esetleges túlcsordulás hatását szintén vizsgálni kell. IIR szűrők
esetén meg kell vizsgálni, hogy a stabilitást a hardver véges
pontossága hogyan befolyásolja.
Megvalósítás
A digitális szűrők hardver és szoftver eszközökkel, vagy a kettő
kombinációjával valósíthatók meg. A hardver lehet számítógép,
mikroprocesszor vagy digitális jelprocesszor. A DSP a célra a
legmegfelelőbb, mivel erre optimalizálták. Fontos szempont az
eszköz kiválasztásánál a rendelkezésre álló fejlesztői környezet
fejlettsége. A megvalósítás lehetséges speciális programozható
integrált áramkörökkel is. Tipikusan ilyen áramkör az FPGA. Ez
utóbbi megoldás a legdrágább, és a legnagyobb felkészültséget
igényli a fejlesztőtől, de egyben a legnagyobb teljesítmény érhető
el.
FIR szűrők tervezése
-
A FIR szűrők leglényegesebb tulajdonsága a véges
impulzusválasz. Ha ez ismert, legalább egy formában transzverzális formában - közvetlenül megvalósítható a szűrő.
Ez az oka, hogy a FIR szűrők különféle tervezési módszereiben
az impulzus válasz központi szerepet játszik. Az impulzusválasz
alapján eldönthető az is, hogy a FIR szűrő fázisa lineáris, vagy
nem. A tervezési lépések a bevezetőben leírt szűrőtervezési
lépésekkel lényegében azonosak:
Szűrő specifikáció megadása
Együtthatók számítása
Megvalósítandó struktúra kiválasztása
Szimuláció (opcionális)
Megvalósítás digitális jelprocesszorral
A specifikáció az előírt H(w) és  (w) amplitúdó és fázis függvény
megadásával történik. Általában  (w)-t egyszerűen lineárisnak,
vagy nem lineárisnak specifikáljuk. Az amplitúdó paramétereket a
tolerancia diagrammal rögzítik.
A diszkrét idejű rendszer Fourier transzformációján és
ablak függvényen alapuló tervezés
j
A tervezés a H d e  amplitúdó-frekvencia
Karakterisztikából indul ki. E diagram lehető legjobb
közelítése a cél. Közvetlenül az átviteli karakterisztikából
inverz Fourier transzformációval meghatározzuk az
impulzus választ, hd[n]-t.
Ez alapján azonban a szűrőt nem lehet megvalósítani,
mivel az impulzus válasz
a.) végtelen hosszúságú,
b) nem kauzális függvény, azaz hd[n] ≠0, n<0 esetén.
Emiatt az impulzusválasz függvény hosszát elfogadható
L hosszúságúra kell korlátozni, továbbá a kapott
válaszfüggvényt el kell tolni (késleltetni kell), hogy az
impulzus válasz kauzális legyen. A lépések az előző
ábrán láthatók. A végeredmény a hd[n] függvény egy
közelítése, h[n]. A h[n] impulzus válasz értékei
megegyeznek a szűrő együtthatókkal.
Az impulzus válasz függvény csonkítása azonban a
karakterisztikában túllendülést és lengéseket okoz. Ez a
Gibbs jelenség. A következő ábrán az átviteli
karakterisztika látható különböző hosszúságú
válaszfüggvény esetén.

Az ideális aluláteresztő szűrő közelítése különböző hosszúságú impulzus
válasz függvényekkel.
A hullámosság és az átmeneti tartomány változás magyarázata a
következő: A válasz függvény csonkítása az időtartományban úgy
történt, hogy egy négyszögletes ablak függvénnyel, w[n]-el
szoroztuk:
hn  wnhd n
 
j
A frekvencia tartományban ez megfelel H d e j  és W e
konvolúciójának, azaz
   
 
H e j  W e j  H d e j
A
  ablak függvény a következő ábra látható
W e j
A konvolúció eredménye pedig a következő
W(n)
A paraméterek javíthatók, ha másféle ablak függvényt
választunk. A Következő táblázatban különféle ablak
függvények paraméterei láthatók.
Átmeneti sáv szélesség
(normalizált) f
Áteresztő sáv
hullámosság [dB]
Vágási sáv
Csillapítás [dB]
Négyszög
0.9/N
0.7416
21
Hanning
3.1/N
0.0546
44
Hamming
3.3/N
0.0194
53
Blackman
5.5/N
0.0017
74
Ablak típusa
A táblázatban f az átmeneti sáv normalizált sávszélessége: f 
Ahol f  f s  f p , az átmeneti sáv szélessége.
(CONTINUER Livre)
f
fs