Transcript 4_Sovitettu_suodatin

BINÄÄRINEN SYNKRONINEN TIEDONSIIRTO
KAISTARAJOITTAMATTOMILLA
MIELIVALTAISILLA PULSSIMUODOILLA ―
SOVITETTU SUODATIN JA SEN
SUORITUSKYKY AWGN-KANAVASSA
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
1 (36)
Sopivia pulssiaaltomuotoja

Kuten analogisissa, myös digitaalisissa järjestelmissä käytetään
amplitudia, vaihetta ja taajuutta informaation siirtoon. Sanoma on
nyt diskreettiarvoinen.
xc (t )  A(t ) cosct   (t )

Ns. peruspulssit s1(t) ja s2(t) ovat T-kestoisia ja äärellisen energian
omaavia. Energioiden ei tarvitse olla samoja. M-tilaisessa
modulaatiossa amplitudilla, vaiheella ja taajuudella on enemmän
mahdollisia arvoja.
t 0 T
t 0 T
E1 
Tietoliikennetekniikka II 521361A
2
s
 1 (t )dt , E2 
2
s
 2 (t )dt
t0
t0
Kari Kärkkäinen
Osa 4
2 (36)
Pulssit (symbolit) signaaliavaruuden vektoreina
xc (t )  A(t ) cosct   (t )
Tarvitaan ortonormaalit
(ortogonaaliset & normeeratut)
kantafunktiot, joiden avulla
signaalit esitetään.
2-dim. avaruudessa sellaiset
ovat sini ja kosini-signaalit,
jotka virittävät ns. I/Q-tason.
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
3 (36)
MF-vastaanottimen rakenne

Tark. binäärisen järjestelmän päätösmuuttujaa v(t) hetkellä t = T.

Koska kosinipulssien keskiarvo on nolla, integroi & pura -tyyppistä
ratkaisua ei voida enää soveltaa. Optimaalinen vastaanotin on
suodatin, jonka lähtöä verrataan optimaaliseen kynnykseen (t = T).
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
4 (36)
Bittivirhetodennäköisyyden (PEB) johto
y(t )  s1 (t )  n(t ),tai, y(t )  s2 (t )  n(t ),t0  t  t0  T

AWGN-tehotiheys N0/2 ja signalointiväli 0  t  T. Olet. t0 = 0. s1(t) ja
s2(t) valitaan siten, että suodattimen lähdössä s01(T) < s02(T). Siten,
jos päätösmuuttuja v(t) on päätöksentekohetkellä t = T: v(T) < k ,
päätetään, että s1(t) oli lähetetty ja, jos v(T) > k, päätetään, että s2(t).

Stationäärisen Gaussin kohinamuuttujan N = n0(T) odotusarvo on
nolla ja varianssi 02. Jos s1(t) lähetetty, V = v(T) = s01(T) + N. Jos
s2(t) lähetetty, V = v(T) = s02(T) + N. V on myös Gaussin muuttuja.

Kohinakomponentti n0(t) aiheuttaa virheen, jos s1(t) on lähetetty ja V
= v(T) = s01(T) + n0(T) > k, tai jos s2(t) on lähetetty ja V = v(T) = s02(T) +
n0(T) < k.
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
5 (36)
Bittivirhetodennäköisyyden (PEB) johto

1
1
e  / 2 0
2
2
2
S n0 ( f )  N 0 H ( f ) ,  0   N 0 H ( f ) df , f N ( ) 
2
2
2 02


2

P ( E s1 (t ))   fV [v s1 (t )]dv  
k

2
f
k
V
[v s2 (t )]dv 

PE 
2
k
k
P ( E s2 (t )) 
e v  s01 (T )  / 2 02
2

e
2
0
v  s02 (T ) 2

2
dv
/ 2 02
2
0
dv
1
1
PE s1 (t )  PE s2 (t )
2
2
Derivoimalla löydetään kopt ja PE:n minimiarvo. Jos P[s1(t)] = P[s2(t)],
kopt on symmetrisesti leikkauspisteessä. PE:n kaavasta nähdään, että
monotonisesti vähenevä Q-funktio on pienimillään, kun signaalien
erotus optimaalisella näytteenottohetkellä on suurin (vastaavat
signaaliavaruuden vektorit ovat mahdollisimman etäällä toisistaan).
1
s01 (T )  s02 (T )
2
 s02 (T )  s01 (T ) 
PE  Q 

2

0


kopt 
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
6 (36)
Bittivirhetodennäköisyyden (PEB) johto
BPSK:lla on tässä kuvasarjassa
suurin ns. Euklidinen etäisyys,
jonka vuoksi PE on 3 dB
parempi kuin esimerkiksi
ASK:n ja FSK:n PE ja QPSK:n PS.
FSK:n etäisyys on kuvassa 2
amplitudiyksikköä ja BPSK:n
2 amplitudiyksikköä. ASK
symbolien välinen etäisyys
vain 1 amplitudiyksikkö, mistä
seuraa huonoin suoritukyky
tämän kuvan signaaleille.
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
7 (36)
SOVITETTU SUODATIN
(MATCHED FILTER, MF)
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
8 (36)
Sovitettu suodatin (matched filter, MF)

MF kehitettiin WW II:n aikana tutkasovelluksiin (North 1943).

Haetaan suodatinta, eli sen siirtofunktiota ja impulssivastetta, joka
ilmaisee vastaanotetut pulssit optimaalisesti, eli se minimoi BEP:n ja
maksimoi SNR:n suodattimen lähdössä.

Johdetaan H(f), joka maksimoi eroparametrin . Merkintöjen
yksinkertaistamiseksi olkoon g(t) = s2(t) − s1(t). :n maksimiarvo on 
= g0(T)/0 , kun t = T. Silloin myös 2 maksimoituu.

s02 (T )  s01 (T )
 
2
Tietoliikennetekniikka II 521361A
0
g 02 (T )
 02
g 02 (T )

E n02 (t )

Kari Kärkkäinen

t T
Osa 4
9 (36)
Sovitettu suodatin (matched filter, MF)

 
g 0 (t )  F
1


N
E n02 (t )  E n02 (T )  0
2

2
H ( f ) df
A  B  A B cos  A B


G( f ) H ( f )   G( f ) H ( f )e
j 2ft

df

 
2
 H ( f )G( f )e
j 2fT
N0
2


X
(
f
)
Y
( f )df 

,t  T






X ( f ) df   Y ( f ) df
2
2

2
H ( f ) df

B


2

df


X
(
f
)
Y
( f )df


2

X ( f ),Y ( f ) 
A
Johdossa käytetään matematiikasta tuttua Schwarzin epäyhtälöä.
Sisätulo (pistetulo) määritellään jatkuva-arvoisten muuttujien
funktioiden tulon integraalina, joka myös vastaa kompleksiarvoisten
N-ulotteisten diskreetien vektorien kertolaskua komponenteittain ja
niiden tulojen summaamista (vastinkomponentit
kompleksikonjugoidut).
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
10 (36)
Sovitettu suodatin (matched filter, MF)
2

2
 
N0
2
 X ( f )Y ( f )df


2

N0



2
H ( f ) df


H ( f ) df




2
max
2

N0
2
2



 G( f ) df
, e j 2fT  1
2
H ( f ) df


 G( f ) df 
2
2Eg
N0

Yhtäsuuruus on voimassa, jos X(f) = kY(f) (vrt. vektorit A ja B
samansuuntaisia: A = kB). Optimaalinen siirtofunktio H0(f) saadaan
käänteismuunnoksella.
*
 j 2Tf
H ( f )  kG ( f )e  j 2Tf k



H
(
f
)

G
(
f
)
e
0
 vakio1




h0 (t )  F 1 H 0 ( f )   G  ( f )e  j 2Tf e j 2ft df   G ( f )e  j 2f (T t ) df

h0 (t )   G ( f )e j 2f (T t ) df , f  sijoitus
  f

h0 (t )  g (T  t )  s2 (T  t )  s1 (T  t )
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
11 (36)
Sovitettu suodatin (matched filter, MF)

Olemme johtaneet sovitetun suodattimen kaksi tärkeää
ominaisuutta:


Optimaalisella näytteenottohetkellä suodattimen lähdön SNR
maksimoituu, ja sen arvo on 2Eg/N0 pulssin muodosta riippumatta.
Impulssivaste on pulssin ajan suhteen käännetty ja viivästetty versio.

MF kansanomaisesti: ”Pulssit ovat kuin käsiä ja MF:t niihin sopivia
oikean ja vasemman käden oikean kokoisia hanskoja. Kun käsi on
perillä ja istuu hanskaan hyvin (tuntuu siis hyvältä), niin se vastaa
SNR:n huippuarvoa.”

Viivästys tarvitaan, jotta suodattimesta muodostuisi kausaalinen ja
siten realisoituva (epäkausaalisen suodattimen lähdössä näkyisi
vaste ennen kuin tulosignaali saapuu!).
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
12 (36)
Sovitettu suodatin (matched filter, MF)

Kynnykseen vertailu ja näytteenotto voidaan toteuttaa eri tavoilla.
Pulssien erilaiset energiat
huomioitu biastekijöinä
yhteismitallisen vertailun
mahdollistamiseksi
Pulssien
energiat
samoja
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
13 (36)
Sovitetun suodattimen realisointi

Kausaalisuusvaatimus: Viipeen oltava vähintään T:n pituinen, jotta
suodatin olisi realisoituva.
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
14 (36)
Konvoluution laskeminen graafisesti esitettynä

x1 (t )  x2 (t ) 
 x ( ) x (t  )d
1
2

Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
15 (36)
Esimerkki
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
16 (36)
Esimerkki
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
17 (36)
Sovitetun suodattimen realisointi

Käytännössä suodatin voidaan toteuttaa digitaalisesti FIRtyyppisellä poikittaissuodattimella (transversal filter).

Painokertoimet ai määrittelevät sovitettavan pulssimuodon
perusteella impulssivasteen (”hanskan koko ja muoto”).
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
18 (36)
Sovitetun suodattimen realisointi

Aiemmin tarkasteltu kantataajuisen järjestelmän integroi & pura vastaanotin on itse asiassa sovitettu suodatin.
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
19 (36)
Sovitetun suodattimen realisointi

Alla on esitetty sovitetun suodattimen lähdön aaltomuoto kolmelle
kantataajuiselle pulssille ja sekä yhdelle kosinipulssille.
Synkronisen järjestelmän näytteenoton ajoitus on tärkeä SNR:n
maksimoimiseksi, jottei PE kasva.
Kriittinen näytteenottohetki t = T
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
20 (36)
Sovitetun suodattimen realisointi

Kaistanpäästösignaalille
(kantoaaltoon moduloidut
symbolit) voidaan toteuttaa
analoginen MF esim. SAW (surface
acoustic wave) -teknologialla.

Kantataajuiselle (baseband)
signaalille digitaalisesti
ohjelmoitava FIR-suodatin.
Tietoliikennetekniikka II 521361A

Kari Kärkkäinen
Osa 4
21 (36)
SOVITETUN SUODATTIMEN
VIRHETODENNÄKÖISYYS
PULSSIAALTOMUOTOJEN FUNKTIONA
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
22 (36)
BEP:n riippuvuus pulssien välisesta korrelaatiosta

BEP:n lausekkeessa esiintyvä signaalien välinen erilaisuus tai
samankaltaisuus (siis erotus) voidaan ilmaista signaalivektorien
välisen Euklidisen etäisyyden sijasta korrelaatiokertoimen avulla.
Käytetään ns. Parsevalin teoreemaa aika-taajuusmaailman välillä:
 2
 
PE  Q ,  max  
2
 N0
2
 max

1/ 2

 2

2
 G( f ) df    N 0  S 2 ( f )  S1 ( f ) df 






2
2
2
2
2
s2 (t )  s1 (t ) dt    s2 (t )dt   s1 (t )dt  2  s1 (t )s2 (t )dt


N 0 
N 0  



12 
2
max
1/ 2
1
E1 E2



2

 s (t )s (t )dt
1
2

2

E1  E2  2 E1 E2 12
N0

 E  E  2 E E  1/ 2 
2
1 2 12 

PE  Q  1
 
2N0

 

Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
23 (36)
BEP:n riippuvuus pulssien välisesta korrelaatiosta

12 on energioilla normalisoitu mitta signaalien samankaltaisuudesta, saaden päätearvonsa ±1 välillä −1 12 +1, kun s1(t) = ±s2(t).

12 linkittää signaalien valinnan ja BEP-suorituskyvyn toisiinsa.

12 on itse asiassa pulsseja vastaavien signaaliavaruuden vektorien
sisätulo jaettuna vektorien normien tulolla (signaalivektorin normi
on signaalin energian neliöjuuri).

PE:n kaavasta nähdään, että Q-funktion argumentti maksimoituu (PE
minimoituu), kun 12 = −1, jolloin signaalit ovat mahdollisimman
erilaisia. Esim. 180 vaihesiirrossa olevat kosinipulssit BPSK:lla.

Kantataajuisen järjestelmän ±A -tasoiset signaalit olivat myös
sellaisia. Tuollaisia 1-dim. signaaliavaruudessa vaikuttavia
vastakkaisia signaaleja sanotaan antipodaalisiksi signaaleiksi.

Jos 12 = 0, signaaleja sanotaan ortogonaalisiksi. Vektorien sisätulo
on tuolloin nolla (vektorit kohtisuorassa toisiaan vastaan).

Ortog. esiintyy myös N-ulotteisessa signaaliavaruudessa, jota on
vaikeahko hahmottaa, mutta joka matemaattis-teknisessä mielessä
on kuitenkin olemassa.
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
24 (36)
BEP:n riippuvuus pulssien välisesta korrelaatiosta

Kuvissa esimerkkejä ortogonaalisista signaaleista. Sisätulon kaava:

s1 (t ), s2 (t )   s1 (t )s2 (t )dt

Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
25 (36)
BEP:n riippuvuus pulssien välisesta korrelaatiosta

Kun sinipulsseilla on sopiva
symbolin kestoon verrannolloinen
taajuusero, ne ovat ortogonaalisia.

Niitä käytetään binäärisen FSK:n
ja M-tasoisten MFSK-modulaatioiden toteutuksessa.

s1 (t ), s2 (t )   s1 (t )s2 (t )dt

Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
26 (36)
BEP:n riippuvuus pulssien välisesta korrelaatiosta

Antipodaalisuus vs. ortogonaalisuus muutamilla modulaatioilla:
Ortogonaalinen
Ortogonaalinen

s1 (t ), s2 (t )   s1 (t )s2 (t )dt

Antipodaalinen
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Ortogonaalisten ja
antipodaalisten
signaaliparien yhdistelmä
Osa 4
27 (36)
BEP:n riippuvuus pulssien välisesta korrelaatiosta

Ottamalla huomioon pulssien keskimääräinen energia E = 0.5[E1+E2]
ja että binääristen symbolien a priori -todennäköisyydet ovat samat,
sekä aiemmin määritelty parametri z = Eb/N0, saadaan aiemmat
yhtälöt kirjoitettua hieman yksinkertaisemmin:


2 E1 E2
PE  Q z 1  R12  , R12 
12 
E1  E2
 
12  R12  0 ortogonaal

 PE  Q z
inen
E1 E2
12
E
 
12  R12  1 antipodaal


 PE  Q 2 z
inen, E  E
1
2
Muista
nämä

Viimeisin yhtälö on täsmälleen sama kuin kantataajuisen
järjestelmän BEP-lauseke. Kantataajuinen järjestelmä on siis
antipodaalinen.

Kuvassa 8.11 on esitetty antipodaalisen ja ortogonaalisen binäärisen
järjestelmän suorituskykykäyrät. Käyrien ero pienillä BEP-arvoilla on
3 dB, mikä voidaan päätellä eo. kaavoista.

3dB:n ero siis vastaa kerrointa 2 parametrin z edessä.
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
28 (36)
BEP:n riippuvuus pulssien välisesta korrelaatiokertoimesta


2 E1 E2
PE  Q z 1  R12  , R12 
12 
E1  E2
 
12  R12  0 ortogonaal

 PE  Q z
inen
E1 E2
12
E
 
12  R12  1 antipodaal


 PE  Q 2 z
inen, E  E
1
2
2  3 dB:n ero
3 dB:n asymptoottinen ero suurilla SNR-arvoilla
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
29 (36)
Q- ja erfc- funktioiden laskenta Matlabilla
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
30 (36)
Sovitetun suodattimen korvaaminen korrelaattorilla
h(t )  s(T  t ),0  t  T
T
v(t )  h(t )  y (t )   s(T   ) y (t   )d
0
T
t  T ,   T   sijoitus
 vMF (T )   s( ) y ( )d
0
T

vCorrelator
(T )   y (t ) s(t )dt
0

MF voidaan korvata kertojan ja integraattorin yhdistelmällä. Sitä
sanotaan korrelaatioilmaisuksi. Digitaalinen vastaanotin sisältää
joko MF:n tai korrelaattorin. Toteutuksen helppous ratkaisee
valinnan.
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
31 (36)
Sovitetun suodattimen korvaaminen korrelaattorilla

Huom: MF:n ja korrelaattorin lähdöt ovat ekvivalenttisia vain optim.
näytteenottohetkellä t = T. Alla oleva kuva havainnollistaa asiaa.
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
32 (36)
Optimaalinen kynnyksen paikka
1
kopt  s01 (T )  s02 (T )
2

s01 (T )   h( ) s1 (T   )d 





   s2 (u ) s1 (u )du 
s02 (T )   h( ) s2 (T   )d 


 s (T   )  s (T   )s (T   )d  
2
1
E1 E2 12  E1

 s (T   )  s (T   )s (T   )d  
2
1

 s (u ) du   s (u)s (u )du  E

kopt 
2
2

2
2
1

2


s
(
u
)
du 
1




1
2
 E1 E2 12

1
E2  E1 
2

Saman energian omaavien signaalien päätöksentekokynnys on
origossa binääriselle järjestelmälle.

Signaalien välisellä korrelaatiokertoimella (siis vektorien sijainnilla
signaaliavaruudessa) ei ole vaikutusta kynnyksen paikkaan, vaan
ainoastaan niiden energioilla.
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
33 (36)
Vastaanottimen toteutuksen epäideaalisuudet

Edellisessä MF- ja korrelaatiovastaanottimen analyysissä on tehty
kaksi oleellista analysointia yksinkertaistavaa oletusta:


Oletettu, että vastaanottimessa voidaan generoida lähetettyjen pulssien
kanssa vaihekoherentteja pulsseja (koherentti korrelaattori-ilmaisu).
Käytännössä esiintyy vaihevirheitä.
Oletettu, että päätöksenteossa tarvittava kellosignaali on ideaalisesti
synkroninen lähetetyn symbolijonon kanssa. Käytännössä esiintyy
kellosignaalin epätarkkuutta, jolloin näyte ei osu suodattimen lähdön
maksimiarvokohtaan (SNR maksimissaan ja PE minimissään).

Käytännössä saavutettava BEP-suorituskyky AWGN-kanavassa on
aina huonompi, kuin edellä teoreettisesti johdettu.

Muissa kuin AWGN-kanavissa (esim. häipyvä monitiekanava) se on
vieläkin huonompi.
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
34 (36)
MF värillisessä ei-valkoisessa kohinassa (S)





AWGN syntyy mm. vastaanottimen etuasteissa. Jos kaistarajoitus (kanava,
tai BPF) edeltää kohinan summausta, riittää että MF sovitetaan BPFmodifioituneisiin lähetettyihin signaaleihin.
Jos kohina summautuukin ennen BPF-suodatusta (esim. kohinainen
sekoittaja edeltää IF-suodatusta), tarvitaan lisäksi kohinanvalkaisusuodatin.
Värillinen kohina ja signaali menevät erillisen valkaisusuodattimen läpi,
jonka siirtofunktio on kohinan tehotiheyden neliöjuuren käänteisarvo
(johtuu kaavasta: SY(f )= |H(f)|2N0/2).
Varsinainen MF rakennetaan valkaisusuodattimen läpi kulkeneelle
modifioituneelle sanomapulssille. Näin AWGN-kohinalle aiemmin johdetut
MF:n tulokset ovat voimassa. Kaskadirakennetta sanotaan valkaistuksi
sovitetuksi suodattimeksi.
Edellä kuvattu ratkaisu on vain likimain optimaalinen.
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
35 (36)
MF värillisessä ei-valkoisessa kohinassa (S)

Nimittäin, valkaisusuodatin levittää pulssit T-kestoisen
symboliaikavälin yli, mistä seuraa:





Kaikki symboliin sisältyvä energia ei ole käytettävissä symbolipäätöstä
tehtäessä, sillä osa energiasta on levinnyt naapurisymbolien
aikaväleille.
Valkaisusuodattimen levittämät peräkkäisten pulssien ”hännät”
aiheuttavat symbolien välistä keskinäisvaikutusta (inter-symbol
interference, ISI), mikä häiritsee ilmaisua.
ISI:ä voidaan poistaa mm. kanavakorjaimella (ekvalisaattorilla).
Kuvattu ongelma poistuisi, jos symbolin kestoaika T olisi lyhyt
verrattuna pulssin toistotaajuuden käänteisarvoon. Sellainen tilanne
syntyy esimerkiksi tutkapulssien yhteydessä ilmaistaessa
tutkasignaalia sovitetulla suodattimella (pulssi ja sen jälkeen seuraa
hiljainen jakso, jona ei lähetetä mitään kaiun kuulemiseksi).
Digitaalisessa siirrossa tällaista mahdollisuutta ei käytännössä ole.
Kohinanvalkaisusuodatin on lähes optimaalinen, jos signalointiväli T
on suuri verrattuna valkaisusuodattimen kaistanleveyden
käänteisarvoon (suuri kaistanleveys).
Tietoliikennetekniikka II 521361A
Kari Kärkkäinen
Osa 4
36 (36)