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Infinitesimalrechnung
19. Folgen
Eine (reelle, unendliche) Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass
jeder
natürlichen Zahl
n genau eine
reelle Zahl
a n
zugeordnet wird.
Eine (reelle, unendliche) Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass
jeder
natürlichen Zahl
n genau eine
reelle Zahl
a n
zugeordnet wird. (
n
) = 1, 2, 3, ... (
a n
) =
a
1 ,
a
2 ,
a
3 , ...
Eine (reelle, unendliche) Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass
jeder
natürlichen Zahl
n genau eine
reelle Zahl
a n
zugeordnet wird. (
n
) = 1, 2, 3, ... (
a n
) =
a
1 ,
a
2 ,
a
3 , ...
n
-tes Glied der Folge:
a n
Eine (reelle, unendliche) Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass
jeder
natürlichen Zahl
n genau eine
reelle Zahl
a n
zugeordnet wird. (
n
) = 1, 2, 3, ... (
a n
) =
a
1 ,
a
2 ,
a
3 , ...
n
-tes Glied der Folge:
a n
die ganze Folge: (
a n
)
Eine (reelle, unendliche) Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass
jeder
natürlichen Zahl
n genau eine
reelle Zahl
a n
zugeordnet wird. (
n
) = 1, 2, 3, ... (
a n
) =
a
1 ,
a
2 ,
a
3 , ...
n
-tes Glied der Folge:
a n
die ganze Folge: (
a n
) beschränkte Folge:
n
:
S -
a n
S +
Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (
a n
) = 2, 4, 6, 8, 10, ...
a n
= 2
n
(
b n
) = 8, 10, 12, 14, ...
b n
= 2(
n
+ 3) (
c n
) = 2, 4, 8, 16, 32, ...
c n
= 2
n
( (
d n
) = 1, 4, 9, 16, 25, ...
d n
=
n
2
e n
) = 9, 16, 25, 36, ...
e n
= (
n
+ 2) 2 ( (
f n
) = 1,1/2 ,1/3 ,1/4 , ...
f n
= 1/
n g n
) = -1, 1, -1, 1, -1, ...
g n
= (-1) n
a b c n d n e
1/
g n n n n f n
= 2 + = 2 + = 2
c n
-1 = (1 +
d n
-1 ) 2 = (1 + = 1 + 1/ = -
g n
-1
a b
n n
-1 -1
e f n n
-1 -1 ) 2
f a b c d e g
1 1 1 1 1 1 1 = 2 = 8 = 2 = 1 = 9 = 1 = -1
Ein Häufungspunkt einer Folge ist eine Zahl
h
, in deren Umgebung (
h
e ,
h
+ e ) für
jedes
e > 0 unendlich viele Glieder der Folge liegen.
Ein Häufungspunkt einer Folge ist eine Zahl
h
, in deren Umgebung (
h
e ,
h
+ e ) für
jedes
e > 0 unendlich viele Glieder der Folge liegen.
Satz von Bolzano und Weierstraß: Jede beschränkte unendliche Folge besitzt mindestens einen Häufungspunkt.
Besitzt eine beschränkte Folge nur einen Häufungspunkt, so heißt dieser Häufungspunkt Grenzwert der Folge.
Bernard Bolzano (1781 - 1848) Karl Weierstraß (1815 - 1897)
Satz von Bolzano und Weierstraß: Jede beschränkte unendliche Folge besitzt mindestens einen Häufungspunkt.
Besitzt eine beschränkte Folge nur einen Häufungspunkt, so heißt dieser Häufungspunkt Grenzwert der Folge.
Eine Folge (
a
n
) konvergiert gegen den endlichen Grenzwert
a
, wenn zu
jedem
e
> 0 eine Zahl
n
e
existiert, so dass für alle
n
n
e
gilt:
|
a n
-
a
| < e lim n
a n
=
a
oder kurz (
a n
)
a
Bernard Bolzano (1781 - 1848) Karl Weierstraß (1815 - 1897)
Satz. Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge .
a n
heißt Spitze der Folge, wenn
a n
a m
für
m
>
n
.
Eine Folge besitzt endlich viele oder unendlich viele Spitzen.
Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge.
Die Folge ( eine natürliche Zahl | a n – a n ) konvergiert genau dann, wenn es zu jedem a m | < e n e (19.3) gibt, so dass für m , n ≥ n e gilt e > 0 Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)
( ) ( a n ) sei konvergent. | a n e > | a n – a | + | a – a m | ≥ | a n ( ) Nun gelte (19.3). ( – | a n e > | – a a n nk | < a nk e /2 und | | + | a nk – a a a n nk ) ist beschränkt und enthält ( – a a n – a | < – a | < e /2 und | a + a e a – a m | = | a n /2 nk + a nk – a – – | = | a a a m n m | | < – a | e /2.
a nk ) a .
Die Folge ( eine natürliche Zahl | a n – a n ) konvergiert genau dann, wenn es zu jedem a m | < e n e (19.3) gibt, so dass für m , n ≥ n e gilt e > 0 Eine konvergente Folge nennt man deshalb auch Cauchy-Folge .
In den reellen Zahlen besitzt jede Cauchy-Folge einen Grenzwert, in den rationalen Zahlen nicht.
Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)
Irrationale Zahlen lassen sich als Grenzwerte von Folgen rationaler Zahlen definieren.
x
=
k k x
2 =
k
2
x
2 =
x
2
x
x
2
k
2
x
+
a n
1
a n
2
k
2
a n
Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)
Irrationale Zahlen lassen sich als Grenzwerte von Folgen rationaler Zahlen definieren.
x
=
k k x
2 =
k
2
x
2 =
x
2
x
x
2
k
2
x
+
a n
1
a n
2
k
2
a n
x
=
3
2
x
3
=
x
3
+
k
a
n
+1
=
1 2 (
a n
k a
2
n
) Übung: Man setze
a
1 = 1 und berechne die dritte Wurzel aus 7 auf vier zählende Stellen genau.
Satz. Seien (
a n
) und (
b n
) konvergente Folgen und
c
, dann gilt: (
c .
a n
) = c .
a n
(
a n
+
b n
) = (
a n
) + (
b n
) (
a n . b n
) = (
a n
)(
b n
)
a n c
= (
a n
)
c
, falls
a n c
und (
a n
)
c
existieren
Satz. Seien (
a n
) und (
b n
) konvergente Folgen und
c
, dann gilt: (
c .
a n
) = c .
a n
(
a n
+
b n
) = (
a n
) + (
b n
) (
a n . b n
) = (
a n
)(
b n
)
a n c
= (
a n
)
c
, falls
a n c
und (
a n
)
c
existieren Satz. Eine Folge (
a n
) konvergiert gegen den Grenzwert
a
, wenn die Folge (
a n
-
a
) eine Nullfolge ist. Satz. Ist
a n
b n
für fast alle
n
, dann gilt Minorante Majorante
a n
b n
.
Übung: Man bestimme die Grenzwerte der unten definierten Folgen oder stelle ihre Divergenz fest (große Buchstaben bezeichnen positive reelle Zahlen).
a n
=
n
-1/2
b n
=
U
Vn
Wn
2
Un
n
2 .
n
(
J
Kn
)
I n Kn
2 .
n
5
Cn
4
D
n
5
E
2
c n
=
A n
B n d n
=
L
(
Kn
3 / 4
n
( 7
Mn
5 / 8 )
L
4
n
) + ( 5
n Ln
6 3
n
2
n
3 ) 2 +
Un
1
n
2 1 2 ( 1 1 1
n Vn
3 1
n
2 1 )
Wn
4 +
G n H
Leonardo von Pisa (1170 - 1240) Fibonacci