Apresentação do PowerPoint
Download
Report
Transcript Apresentação do PowerPoint
TA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS I
Aula 17: 24/05/2012
Movimento de Partículas
em Fluidos
- Velocidade terminal
- Balanço de forças em uma partícula
- Coeficiente de arraste (Cd)
- Reynolds da Partícula
- Lei de Stokes
MOVIMENTO DE PARTÍCULAS EM FLUIDOS
Não é uma operação unitária, é um conceito físico
que será utilizado em várias operações unitárias de
transferência de quantidade de movimento, como:
• Fluidização
• Transporte de sólidos em leito de fluido
• Sedimentação simples
• Centrifugação
• etc.
Velocidade Terminal: definição
As partículas ao cair no seio de um
fluido, sob ação de uma força constante,
por exemplo a força da gravidade,
sofrem aceleração durante um período
de tempo muito curto e depois disso se
movem à uma velocidade constante.
Essa máxima velocidade que as
partículas podem alcançar é
chamada de velocidade terminal,
e depende da densidade, tamanho e
forma da partícula, além das
propriedades do fluido e do campo.
aceleração
Velocidade
constante
(terminal)
Que forças agem sobre uma partícula sólida em
movimento em um fluido (líquido ou gás)?
As forças de campo, de empuxo e de arraste
Força de campo gravitacional:
Resistência
Fa
Fe
Fc m p .a p V p g
Fc
Força de empuxo:
Movimento da
partícula
Fe m f deslocadoa f V f deslocado g f V p g
Força de arraste (atrito):
1
Fa f Ac Cd (vR ) 2
2
Força resultante
(v f v p ) vR
Fr m p aresultante Fc Fa Fe
m p aresultante Fc Fa Fe
mp aresult. ( p Vp g ) 1 2 f Ac Cd (vR ) ( f Vp g )
2
m p massa da partícula
a aceleração
g aceleração gravitacio nal
f densidade do fluido
Ac área " caracterís tica" da partícula
Cd coeficient e de arraste
vR velocidade relativa da partícula
p densidade da partícula
V p volume da partícula
[1]
Abaixo, encontram-se possibilidades para a velocidade
relativa de uma partícula em uma corrente de fluido sob
ação de um campo gravitacional:
Velocidade da partícula (+)
Velocidade do fluido (+)
g
p f
vf = 0
vp = 0
vf = 0
vp = 0
(a)
(a)
(b)
(c)
v f v p v f ( v p ) v f v p
(c) vR
v f v p v f ( v p ) v f v p
(e)
(e)
v R v f v p ( v p ) v p
(b) vR
(d)
(d)
vR v f v p v f v p
vR v f v p v f
vf = velocidade do fluido
+
-
vp = velocidade partícula
+
-
Consideremos uma partícula isolada, sob ação de força
gravitacional e em movimento uniforme (sem aceleração). Do
balanço de forças [1], tem-se:
mp aresult. ( p Vp g ) 1 2 f Ac Cd (vR ) ( f Vp g )
2
Como não há aceleração da partícula, tem-se:
0 1 2 f
[1]
aresult. 0
Ac Cd (vR ) ( p f )Vp g
2
Rearranjando tem-se:
vR
2 ( p f )Vp g
f AcCd
[2]
Como calcular Vp, Ac e Cd?
Calculo de Vp e Ac:
A área característica é a área projetada. Quando a partícula
é esférica, tem-se:
Partícula esférica
Ac
4
d p2
[3]
Área projetada de uma esfera
Área projetada
Fluxo de fluido
Vp
6
(d p )
3
[4]
Volume de uma esfera
Para partículas não esféricas, usar o diâmetro equivalente (deq)
definido na “aula de sólidos particulados”.
deq.2
6 *V partículanão esférica
deq. 3
Área partícula não esférica
Substituindo [3] e [4] em [2] tem-se:
vR
4d p g ( p f )
3Cd f
[5]
E o valor de Cd?
O coeficiente de arraste (Cd) é função do número de
Reynolds da Partícula:
Cd f (Re)
Regime Laminar
(Eq. de Stokes)
Regime
Intermediário
, onde
Re p
Re p 0,4
0,4 Re p 500
Regime Turbulento
500 Re p 2 x 105
(Eq. Newton)
Regime Alta
Turbulência
Re p 2 x 105
d p vR f
f
[6]
24
Cd
Re p
10
Cd
Re p
Cd 0,44
Cd 0,2
Gráfico do Coeficiente de Atrito
Cd
2 ( p f )Vp g
Ac f vR2
24
Regime laminar Cd
Re p
Lei de Stokes
1000
Região camada
quase laminar
100
10
Cd
Re
10
Região camada
turbulenta
Região alta
turbulência
Cd 0,44
Cd 0,2
1
0.1
0.1
1
10
102
103
104
Reynolds da Partícula
105
106
107
Quando o Re atinge valores altos ocorre
uma separação de camada de fluido, no
início laminar depois turbulenta
Ao aumentar a velocidade relativa (vR),
as linhas de corrente começam a
oscilar na parte de trás da esfera.
A pressão na parte frontal aumenta
e ocorre um atrito adicional devido
as oscilações.
Video sobre escoamento laminar:
http://www.youtube.com/watch?v=rbMx2NMqyuI&feature=relmfu
Vídeo sobre escoamento turbulento:
http://www.youtube.com/watch?v=7KKFtgx2anY&NR=1
http://www.youtube.com/watch?v=LvVuuaqCC7A&feature=related
24
No regime laminar tem-se: Cd
Re p
Substituindo Rep [6] em Cd laminar e usando [5]
Re p
vR
d p vR f
[6]
f
4d p g ( p f )
[5]
3Cd f
Se obtém:
Lei de Stokes
1 d g ( p f )
vR
18
f
2
p
Equação fundamental do movimento de partículas em fluidos.
De forma análoga para os outros regimes tem-se:
Re p 0,4
Regime laminar
24
Cd
Re p
0,4 Re p 500
Regime de transição
10
Cd
Re p
500 Re p 2,5 x 10
5
Cd 0,44
Regime turbulento
sem oscilações
2
d
1
p g ( p f )
vR .
18
f
1
4 ( p f ) 2
vR
g dp
225 f f
2
( p f )
vR 3,1
g dp
f
1
3
2
Mas como saber o regime se Rep depende de vr?
Abordagens para o cálculo de vr:
Método
1
Método
2
Método
1
As equações [5] e [6] podem ser utilizadas
para calcular vR por tentativa e erro.
Processo de cálculo com laço de interação:
Início
Se propõe um valor de vR
Re p
[6]
d p vR f
f
Comparar valores. Propor novo valor
ou aceitar o valor de vR calculado
vR
vR
[5]
4 d p g ( p f )
3Cd f
Gráfico
Cd
O laço de interação continua até que o valor da velocidade
calculada seja igual (próximo) ao valor da velocidade proposta.
Método
2
Define-se o número
adimensional de Arquimedes
Cd Rep2
Cd Re
2
p
4 gd f ( p f )
3
p
Isola-se vr de [6] e
substitui-se em [5].
3 2f
Gráfico
Cd Rep2 versus Rep
Re p
d p vR f
f
vr
Cd Re 2p
Cd Re 2p
Re p
d p vR f
f
Exemplo:
(1) Para o sistema onde um fluido tem um fluxo ascendente e
uma partícula sólida descende, utilize os dois métodos
estudados para calcular a velocidade relativa. Trata-se de
um grão de soja cujas características são:
dp = 0,006m; p = 0,98; p = 1190 kg/m3
O fluido é ar a 20ºC: = 1,2 kg/m3
f
μf = 1,7.10-5 kg/m.s
Método
1
Re p
d p vR f
f
vR
Chute inicial
vr (m/s)
2,00
12,40
13,86
Cd (gráfico)
838,55
0,50
5199,24
0,40
5812,93
0,40
Velocidade relativa de
13,86m/s
4 d p g ( p f )
3Cd f
12,40
13,86
13,86
dp=
pf =
uf =
g=
pp=
0,006
1,2
1,70E-05
9,8
1190
m
kg/m3
kg/m.s
m/s2
kg/m3
Gráfico do Coeficiente de Atrito
Cd
2 ( p f )Vp g
Ac f vR2
24
Regime laminar Cd
Re p
Lei de Stokes
Re
Cd
(gráfico)
838,55
0,50
5199,24
0,40
5812,93
0,40
1000
Região camada
quase laminar
100
10
Cd
Re
10
Região camada
turbulenta
Região alta
turbulência
Cd 0,44
Cd 0,2
1
0.5
0.1
0.1
1
10
102
103
104
Reynolds da Partícula
105
106
107
Método
2
Cd Re
2
p
Cd Re
4 gd 3p f ( p f )
3 2f
1,35.10^7
Cd Re 2p
2
p
vr=14,3m/s
Re p
d p vR f
f
6,00.103
(2) Calcule a velocidade relativa de partículas de pó com 60 m e 10 m de
diâmetro, em ar a 21oC e 100 kPa de pressão. Se assume que as
partículas são esféricas, com densidade de 1280kg/m3, que o ar tem
uma viscosidade de 1,8.10-5 N.s/m2 e uma densidade de 1,2 kg/m3.
Assuma regime laminar para iniciar os cálculos.
Regime Laminar
1 d g ( p f )
vR .
18
f
2
p
Regime Transição
1
4 ( p f ) 2
vR
g dp
225 f f
2
3
Para a partícula de 60 m:
d p vR f
-6
2
-1
Re p
vR = (60 10 ) 9,8 (1280 – 1,2) = 0,139 m s
f
18 (1,8 10-5)
Verificando o Re para a partícula de 60 m:
Re = (60 10-6) 0,14 (1,2) / (1,8 10-5) = 0,556 (Transição)
Recalculando para regime transição:
vR = 0,303 m s-1 ; Re = 1,212 (confirmado regime de transição).
Para a partícula de 10m:
vR = (10 10-6)2 9,8 (1280 – 1,2) = 0,00387 m s-1
18 (1,8 10-5)
Verificando o Re para a partícula de 10 m:
Re = (10 10-6) 0,00387 (1,2) / (1,8 10-5) = 0,0026 (Laminar)