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Crashkurs Versicherungsmathematik
versicherungsmathematische Grundlagen und Zusammenhänge
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Einführung in die Tarifierung - Mit Beispielen zur Kapitallebens- und
Rentenversicherung
• Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Mit
Beispielen zur Berufsunfähigkeitsversicherung
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Überschussbeteiligungen – Mit Rechenbeispielen zu Zinsüberschüssen
Beitragskalkulation der Krankenversicherung – Mit Kalkulationsmodell
Beitragsanpassungen in der Krankenversicherung – Mit Kalkulationsmodell zur
Veränderung der Rechnungsgrundlagen
Beitragsentwicklung und Maßnahmen zur Limitierung
Grenzen des Kalkulationsverfahrens der Krankenversicherung
Peter Schramm, Aktuar DAV
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Mit Beispielen zur
Berufsunfähigkeitsversicherung
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Grundlagen des Versicherungsrisikos
Vom beobachteten zum kalkulierten Risiko
Optionen und Garantien
Prämienkalkulation der
Berufsunfähigkeitsversicherung
• Stornoabschläge und Rückkaufswert
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Grundlagen des
Versicherungsrisikos
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Kollektive
Risikoprüfung
Einflussfaktoren auf das Risiko
Selektion und Antiselektion
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Grundlagen des Versicherungsrisikos
Versicherungsprämien werden grundsätzlich (im Idealfall) nach dem Äquivalenzprinzip –
risikogerecht – berechnet.
Individuelles Äquivalenzprinzip: Kalkulation bezogen auf das einzelne versicherte Risiko
Kollektives Äquivalenzprinzip: Kalkulation auf der Basis von Kollektiven, also Versicherungsbeständen mehr oder weniger gleicher Risiken, die nach dem gleichen Tarif versichert werden
Beispiel: die Prämie für einen Krankentagegeldtarif (200 Euro Tagegeld ab der 7. Woche) eines
30-Jährigen männlichen Neuversicherten mit normalem Gesundheitszustand beträgt 50,-- Euro
monatlich (kollektiv bestimmte Tarifprämie – kollektive Äquivalenz). Der individuelle
Gesundheitszustand (im Antrag angegebene Vorerkrankungen) führt jedoch zu einem
individuellen Risikozuschlag in Höhe von 30 % (individuelle Äquivalenz). Ein Gastwirt würde gar
nicht versichert (das Kollektiv soll das hohe Risiko von Gastwirten nicht umfassen!). Dagegen
werden Bankkaufleute und Architekten trotz nachweislicher Risikounterschiede (z. B. von 25 %)
nicht unterschieden: Ein Kollektiv besteht nicht nur aus gleichen, sondern auch aus weniger
gleichen (unterschiedlichen) Risiken.
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Grundlagen des Versicherungsrisikos
Bedeutung der Kollektive
Versicherung benötigt – besonders im Massengeschäft der Personenversicherung – Kollektive, um
einen Ausgleich der zufälligen Schäden („individuelle Schadenverteilungen“) „im Kollektiv“
herzustellen. Für „Kollektive“, (= Versicherungsbestände oder „Tarifbestände“) können statistisch
durchschnittliche Schäden bzw. erwartete Schäden ermittelt werden, die zur Kalkulation von
Tarifprämien dienen.Sind die Kollektive zu klein, so stoßen statistische Methoden an ihre Grenze.
Mittelwerte für beobachtete Schäden sind in „Kleinsttarifen“ nicht mehr aussagefähig.
Beispiel: Die Erfahrung in einem Reisekrankentarif mit 500.000 Versicherten und 10 Mio.
Reisetagen in 2002 hatte 5 Mio. € Schäden, so dass der durchschnittliche Schaden pro Tag und
Versicherten bei 0,50 Euro liegt.Dabei hatten 99 % der Versicherten keine Schäden, die meisten
übrigen Versicherten (rund 4500) Schäden zwischen 50 und 200 Euro und die 100 teuersten
Versicherten zusammen die Hälfte des Gesamtschadens.
Ein Angebot für eine Firma mit durchschnittlich 500 Auslandreisen pro Jahr und einem bisherigen
Durchschnittsschaden von nur 0,25 Euro pro Tag wird angefragt. Warum kann man hier nicht auf
der Basis des Kollektivs nur dieser Firma kalkulieren?
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Grundlagen des Versicherungsrisikos
Prämiendifferenzierung und Kollektive
Das Ausmaß der Zusammenfassung von Risiken in Kollektiven hängt stark von praktischen
Erwägungen ab. Ausgangspunkt sind die Risikomerkmale, z. B. Geschlecht, Alter, Beruf,
Raucherstatus, Wohnort, Staatsangehörigkeit, Gesundheitszustand.
Ob diese Risikomerkmale zu einer Differenzierung führen, hängt von unterschiedlichen Faktoren
ab:
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liegt ein beobachtbarer statistisch signifikanter Risikounterschied vor (z. B. Beruf)?
wird die Unterscheidung „politisch“ akzeptiert (Ausländertarife, Frauentarife)? ,
ist das Merkmal leicht festzustellen und praktikabel (Raucher, Wohnortänderungen)?
Ist das Merkmal zeitlich stabil oder veränderbar (Beruf, Gesundheitszustand)?
Bleiben die getrennten Kollektive für statistische/kalkulatorische Zwecke groß genug?
Verlangt der Markt (Konkurrenzunternehmen) eine Differenzierung (Wettbewerbsvorteil)?
Kollektive dienen nicht dazu, völlig unterschiedliche Risiken durch Einheitsprämien zu subventionieren. Eine zu starke Differenzierung scheidet jedoch aus praktischen Gesichtspunkten aus.
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Grundlagen des Versicherungsrisikos
Bildung und Erhaltung von Kollektiven
Durch Neuzugänge, Kündigungen und andere Abgänge, Tarifwechsel sind Kollektive nicht stabil.
Ihre Zusammensetzung kann sich auch durch Berufswechsel, Veränderung des Gesundheitszustands und sogar Älterwerden verändern. Da Kollektive aber Basis der Kalkulation sind, ist ihre
Bildung und „Aufrechterhaltung“ prinzipiell ein Ziel des Versicherers. Maßnahmen dafür sind:
Beim Neuzugang: Risikoprüfung nach Antragsfragen, z. B. auf Beruf, Gesundheitszustand,
erwünschte und unerwünschte Risiken u. a. Risikomerkmale. Ziel muss es aber auch sein, durch
Werbung überhaupt erst einmal ausreichend große Kollektive zu bilden.
In der Bestandsverwaltung:
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Vermeidung oder Erschwerung von Kündigungen der Kunden;
Kündigung von schlechten Risiken (nur begrenzt möglich);
Motivation zur Vertragsfortsetzung bei erwünschten Risiken;
Vertragsbeendigung bei Wegfall der Versicherungsfähigkeit;
Prämienerhöhung bei Berufswechsel
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Grundlagen des Versicherungsrisikos
Beispiele und Probleme
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Koreanische im Ruhrgebiet lebende Bergleute sollen in einem Kollektiv mit anderen Bergleuten
in einem Krankenhaustagegeldtarif versichert werden. Bald stellt sich heraus, dass sie erheblich
höhere Schäden haben: weil sie im Krankheitsfall in den Gemeinschaftsunterkünften nicht von
der Familie gepflegt werden, findet immer eine Einweisung ins Krankenhaus statt.
-
In einem (preiswerteren) Krankheitskostentarif für Ärzte sind auch die Ehefrau und Kinder
versichert. Gibt der Arzt seinen Beruf auf, wird er in einen teureren Normaltarif umgestellt.
Ebenso die Ehefrau bei Ehescheidung und die Kinder bei Volljährigkeit. Was geschieht bei Tod
des Arztes oder bei Eintritt in den Ruhestand? Ein Wechsel in den Normaltarif kann im Alter
sehr teuer werden. Ggf. können die Personen daher weiter im gleichen Kollektiv bleiben.
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Älterwerden oder eine Verschlechterung des Gesundheitszustands sollten nur in
Ausnahmefällen (z. B. Reisekrankenversicherung) zum Wegfall der Versicherungsfähigkeit oder
zu Prämienerhöhungen (z. B. Umstellung vom Kinder- auf Erwachsenenbeitrag) führen.
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Die Nichtmitgabe der Alterungsrückstellung oder die Bindung der Berufsunfähigkeitszusatzversicherung an die Hauptversicherung wirken stornomindernd und kollektiverhaltend.
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Grundlagen des Versicherungsrisikos
Beispiele und Probleme (II)
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Durch Beitragsrückerstattung bei Leistungsfreiheit in der Privaten Krankenversicherung oder
durch die Schlussüberschussbeteiligung in der Lebensversicherung werden – gesunde –
Versicherte zur Vertragstreue motiviert.
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Im Rentenfall und bei Eintritt der Berufsunfähigkeit wird die Krankentagegeldversicherung
beendet (bei gesunkenem Einkommen wird sie herabgesetzt).
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Ein Berufswechsel in der Berufsunfähigkeitsversicherung und eine zeitweise Nichtausübung
des Berufs führt nicht zu einer Beendigung oder Neueinstufung/Prämienerhöhung: der
Versicherte bleibt in dem Kollektiv, in dem er ursprünglich versichert wurde.
Personen, die eigentlich nach ihren Risikomerkmalen zwischenzeitlich zu einem anderem Kollektiv
zu zählen wären, verbleiben – je nach vertraglicher Vereinbarung – in dem Kollektiv, in das sie bei
Antragstellung aufgenommen wurden. Anders als in der KFZ-Versicherung wiegen der „soziale
Schutzzweck“ neben Praktikabilitätserwägungen oft schwerer als eine nachträglich geänderte
„gerechte“ Risikoeinstufung.
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Grundlagen des Versicherungsrisikos
Einflussfaktoren auf das Risiko
„Objektive Risikofaktoren“ sind vom Verhalten der Person tendenziell unabhängig
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Geschlecht
Alter
Beruf/genaue Tätigkeit
Gesundheitszustand/Vorerkrankungen
„Subjektive Risikofaktoren“ sind tedenziell vom Verhalten abhängig
-
persönliche Einstellungen – z. B. zu Krankheit und Berufstätigkeit
„Begehrlichkeit“
Bestehender Vorversicherungsschutz – z. B. weitere Krankentagegelder
Höhe des Versicherungsschutzes (z. B.auch in Relation zum Einkommen)
„Bonität“ (Stornogefahr und Ausnutzung der Versicherung)
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Grundlagen des Versicherungsrisikos
Beispiele für Einflussfaktoren auf das Risiko
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Geschlechts- und Altersabhängigkeit der Sterblichkeit oder der Krankheitskosten
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In der Berufsunfähigkeitsversicherung liegen nach Untersuchungen deutliche Unterschiede in
den Invalidisierungshäufigkeiten zwischen der selbständigen BU, der Berufsunfähigkeitszusatzversicherung (BUZ) mit Rentenzahlung und der BUZ nur zur Beitragsbefreiung. Bei
Männern z. B. líegen die Werte der selbständigen BU ca. 35 % über der BUZ mit Rente und die
der BUZ nur zur Beitragsbefreiung ca. 33 % unter der BUZ mit versicherter BU-Rente. Durch
objektive Risikounterschiede ist dies nicht erklärbar.
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Die Sterbewahrscheinlichkeit in Todesfalltarifen liegt deutlich über der in Rentenversicherungstarifen beobachteten.
-
In Rentenversicherungstarifen mit Kapitalwahlrecht zum Rentenbeginn ist die Sterblichkeit
der Personen, die die Rente wählen, deutlich reduziert.
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Eine Untersuchung nach 3 Berufsgruppen (BG) mit unterschiedlichem Gefährdungsgrad
zeigte in der BUZ in BG 2 um 72 %, in BG 3 um 203 % erhöhte Invalidisierungswahrscheinlichkeiten gegenüber der Berufsgruppe 1.
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Grundlagen des Versicherungsrisikos
Beispiele für Einflussfaktoren auf das Risiko
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Grundlagen des Versicherungsrisikos
Beispiele für Einflussfaktoren auf das Risiko (II)
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In der Krankenversicherung weisen Versicherte mit höheren versicherten Krankenhaustagegeldern (50 – 100 Euro und mehr) durchschnittlich mehr Krankenhaustage auf, als solche mit
niedrigeren Krankenhaustagegeldern – auch wenn man die geschlechts- und altersabhängigen
Effekte eliminiert.
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Zahntarife werden in der Regel nur zusammen mit einem anderen Tarif angeboten und für
Zahnersatz deutlich weniger als 100 % geleistet (z. B. maximal 80 %). mit einem Selbstbehalt
versehen. Nach Auswertungen der Bundesanstalt für Finanzdienstleistungsaufsicht aus 2002
reichen 40-jährige Männer in Zahntarifen mit 70% – 80% Erstattung für Zahnersatz
durchschnittlich je Jahr Rechnungsbeträge von 257 Euro für Zahnersatz ein, in Tarifen mit nur
50% – 65% Erstattung jedoch nur 170 Euro.
-
Nach Auswertungen der Bundesanstalt für Finanzdienstleistungsaufsicht aus 2002 liegt die
jährliche Erstattung in ambulanten Selbstbehalttarifen für 40-jährige Frauen mit durchschnittlich 171 Euro Selbstbehalt bei 1641 Euro, mit 619 Euro Selbstbehalt bei 934 Euro. Die
Erstattungsdifferenz liegt also mit 707 Euro über dem Selbstbehaltunterschied von 448 Euro.
Ohne Selbstbehalt beträgt die durchschnittliche Erstattung sogar über 2000 Euro. Nur durch den
rechnerischen Abzug des Selbstbehaltes lässt sich dies nicht erklären: die Personen verhalten
sich auch anders, ohne dass sie sich objektiv unterscheiden.
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Grundlagen des Versicherungsrisikos
Moralische Risiko
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Der Begriff moralisches Risiko versucht Sachverhalte zu fassen, wo das Bestehen eines –
bestimmten - Versicherungsschutzes überhaupt erst die Inanspruchnahme auslöst – oder in
Richtung einer verstärkten zusätzlichen Inanspruchnahme wirkt. Sicher gibt es hier einen
Übergang bis hin zu klar betrügerischem Verhalten. Andererseits hat dieser Begriff mit „Moral“
meist wenig zu tun. Auch die vorsätzlich besonders gesunde Lebensweise des rentenversicherten Kunden wäre darunter zu fassen.
Beispiele:
- Angesichts eines versicherten Krankenhaustagegeldes von 100 Euro sieht der Versicherte davon
ab, den Arzt wegen der aus seiner Sicht möglichen früheren Entlassung anzusprechen.
- Wegen der prozentualen Selbstbeteiligung von 50 % wählt ein Versicherte eine preiswertere
Form als den zunächst empfohlenen Zahnersatzes für 15.000 Euro, ein anderer Versicherter
wählt den teuren Zahnersatz, weil die Beihilfe die übrigen 50 % erstattet.
Gegenmaßnahmen können bereits in der Tarifkonzeption bestehen, z. B. prozentuale
Selbstbeteiligungen oder Beitragsrückerstattung bei Leistungsfreiheit. Besonders bei der
Leistungsregulierung wird darauf geachtet, ob eine ungerechtfertigte oder übermäßige
Inanspruchnahme vorliegt, und ggf. die Leistung verweigert oder reduziert.
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Grundlagen des Versicherungsrisikos
Selektion und Antiselektion
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Selektion (positive Risikoauslese) erfolgt zunächst einmal bei der Antragsprüfung durch
Underwriter. Die eingehenden Anträge werden daraufhin geprüft, ob sie in den betreffenden
Tarifen (Kollektiven) uneinge-schränkt erwünscht sind, abgelehnt werden sollten oder noch mit
Änderungen (z. B. geringere Versicherungssumme) bzw. Erschwerungen (wie Risikozuschlägen und Leistungsausschlüssen) angenommen werden können. Auch „subjektive“ Risikofaktoren werden geprüft (z. B. Bonität durch eine entsprechende Anfrage, Abgleich Versicherungssumme und Einkommen).
Die Tarife (Bedingungen) selbst können bereits Regelungen zur Aufnahmefähigkeit (nur für
Neuzugänge, beispielsweise Höchsteintrittsalter 60) oder zur Versicherungsfähigkeit (z. B.
eingeschränkt auf Beihilfeberechtigte) enthalten.
Darüber hinaus beschreiben meist schriftliche „Annahmerichtlinien“ die erwünschten und
nicht erwünschten Risiken (z. B.: Polizei, Bundeswehr und BGH außer SEK, Taucher, ..) und
den zulässigen Versicherungsschutz (z. B.: Gastronomen nur bis 100 Euro Krankentagegeld
und nur zusammen mit einer Krankheitskostenversicherung). Annahmerichtlinien können auch
in Programme zum Underwriting am Point of Sale bei der elektronischen Antragsaufnahme
integriert sein.
Besonders wichtig ist die medizinische Risikoprüfung nach den angegebenen
Vorerkrankungen.
Verbleibende Unklarheiten werden durch Zusatzfragebögen, Arztrückfragen u. ä. geklärt.
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Grundlagen des Versicherungsrisikos
Selektion und Antiselektion
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Die Wirkung der Risikoprüfung ist begrenzt, da nicht alle Risikofaktoren erkannt werden
können und diese sich im Laufe der weiteren Vertragsdauer verändern können: Der zunächst
Gesunde wird chronisch krank, das Einkommen des in der Berufsunfähigkeitsversicherung
versicherten Arztes vermindert sich und die Einstellung zu seiner beruflichen Tätigkeit wird
distanzierter: die Berufsunfähigkeitsrente wird interessant.
Der Versicherer hat bei bestehenden Verträgen nur die vertraglichen Möglichkeiten, auf die
Risikofaktoren Einfluss zu nehmen. Beispiel: Verminderung der Krankentagegeldhöhe bei
zurückgegangenem Einkommen, Tarifumstellung bei Berufswechsel.
Bei Vertragsbeginn und in den ersten Jahren liegt deshalb das Risiko der Versicherten
niedriger als das eines (gleichalten) bereits länger Versicherten. Diesen Effekt nennt man
Selektion, die daraus resultierenden Minderschäden Selektionsersparnisse.
Verstärkt wird dies durch sogenannte Selbstselektion. Versicherte wählen bereits bei
Antragstellung – ggf. auch bei späteren Tarifwechseln – Tarife, von denen sie annehmen, dass
sie dort relativ zur Prämie eine höhere Leistung erhalten. Z. B.: Wer zu hochwertigem teurem
Zahnersatz neigt, wählt einen Tarif mit höherer Erstattung für Zahnersatz. Wer nicht ernsthaft
mit Berufsunfähigkeit rechnet, wählt die preiswertere BUZ mit reiner Beitragsbefreiung ohne
zusätzliche Rente.
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Grundlagen des Versicherungsrisikos
Selektion und Antiselektion
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Die Selbstselektion kann in der Tarifgestaltung gezielt genutzt werden. Sie kann aber auch
tendenziell abgemildert werden – z. B. durch obligatorische Einschlüsse, Angebot nur als
Zusatzversicherung ohne selbständige Weiterversicherungsmöglichkeit.
Selbstselektion geht über in Antiselektion (negative Risikoauslese). Antiselektion tritt auf,
wenn der Kunde – insbesondere auch der gesunde Kunde - ein Kündigungsrecht hat, der
Versicherer aber nicht. Antiselektion resultiert auch, wenn Versicherte Tarife oder Tarifteile
aufgeben, aus denen sie wenig Leistungen erwarten oder in Tarife mit für sie besserer Relation
zwischen Leistung und Prämie wechseln.
Beispiele:
- Die Berufsunfähigkeitsversicherung wird aufgegeben oder in eine preiswertere
Erwerbsunfähigkeitsversicherung umgestellt, weil wegen der Verweisungsmöglichkeit die
Mehrprämie für Berufsunfähigkeit nicht mehr lohnt.
- Der Zahntarif wird nach erfolgter vermeintlich abschließender Zahnsanierung aufgegeben. Der
gesunde Kunde wechselt in einen Ambulanttarif mit hohem Selbstbehalt. Nach einer
Beitragserhöhung wechseln viele Gesunde zu einem Konkurrenzunternehmen, das nur die
kranken Wechselwilligen ablehnt. Das Durchschnittsrisiko der verbleibenden Versicherten steigt
deshalb weiter.
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Grundlagen des Versicherungsrisikos
Selektion und Antiselektion
Beispiel:
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Stornoquoten in der Krankenversicherung. Wenn 5 % der Versicherten in einem Jahr
kündigen, die durchschnittlich im nächsten Jahr pro Kopf nur die Hälfte der Schäden aller
Versicherten hätten, steigen die Durchschnittsschäden der übrigen Versicherten auf
(100% - 5 % * 50 %) / (100 % - 5 %) = (97,5/95) = 102,6 %. Die zusätzliche Schadenstei-
gerung durch diese Antiselektion beträgt dann 2,6 %.
In der BU-Versicherung rechnet die Deutsche Aktuarvereinigung mit Stornoquoten
von über 7 bis knapp 4 Prozent jährlich in den ersten 10 Jahren für Verträge mit 30
Jahren Laufzeit. Das bedeutet, dass nach 10 Jahren nur noch ca. die Hälfte der
Versicherten vorhanden ist. Entsprechend groß ist der Effekt der Antiselektion, wenn
man davon ausgeht, dass die Stornierer relativ gesund waren.
Die nachfolgende Grafik zeigt beispielhaft, wie mit fortschreitender Vertragsdauer
Selektions- in Antiselektionseffekte übergehen. Dabei ist die Bezugsbasis (100% =
1,0) jeweils der mittlere Bestandskunde, dessen Risiko ebenfalls bereits altersabhängig von Selektions- und Antiselektionseffekten beeinflusst ist. Die reine Altersabhängigkeit der Schäden wurde eliminiert:
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Grundlagen des Versicherungsrisikos
Abnahme der Selektionserparnisse mit
Vertragsdauer, Männer KHT-Tarif
1,2
Schadenquote
1,1
1
Schadenquote
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
1
6
11
16
21
26
31
Versicherungsjahr ab Beginn
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Grundlagen des Versicherungsrisikos
Maßnahmen zur Milderung der Antiselektion
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Verzicht auf Auszahlung eines Rückkaufswertes (Krankenversicherung, aber auch in de BUVersicherung). Reduzierung des Rückkaufswertes um Stornoabschläge, um das Mehrrisiko der
verbleibenden Versicherten auszugleichen. Ein Rückkaufswert (Stichwort Mitgabe der
Alterungsrückstellung) würde das Storno und die Antiselektionseffekte verstärken.
Anreiz auch für gesunde Versicherte zur Vertragsfortführung: In der PKV zahlt der vertragstreue Kunde einen geringeren Beitrag, der sein Eintrittsalter berücksichtigt. Beim Wechsel zu
einem anderen Versicherer wird er zum aktuellen Neuzugangsbeitrag eingestuft. Dadurch wird
auch Gesunden der Wechsel erschwert. In der Lebensversicherung zahlt sich der Verbleib für
den Gesunden durch die höheren Überschüsse (Schlussüberschüsse) bei Ablauf aus, dazu
wirken auch Stornoabzüge beim Rückkaufswert stornomindernd.
Ausschluss der separaten Kündigungsmöglichkeit für Zusatzversicherungen (z. B. BUZ).
Abschluss von unselbständigen Zusatzversicherungen: wer die BUZ – oder den Zahntarif –
aufrechterhalten will, muss auch die Hauptversicherung beibehalten.
In der Rentenversicherung sollte eher der Kranke im Bestand gehalten werden. Bei laufenden
Renten gibt es im Allgemeinen keinen Rückkaufswert (warum?). Die Kapitalabfindung kann
nur mit einer bestimmten Frist zum Rentenbeginn verlangt werden. Garantieleistungen (z. B.
10 Jahre Mindestrentenzahldauer auch bei frühzeitigem Tod) verringern die Motivation, wegen
schlechtem Gesundheitszustand die Rentenversicherung zu beenden.
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Vom beobachteten zum kalkulierten Risiko
• Beobachtungs- und Erwartungswerte
• Vorsichtsprinzip und Sicherheit
• Trend, Schadensteigerung und
Projektionszeitraum
• Eintrittswahrscheinlichkeiten
• Rechnungsgrundlagen 1. und 2. Ordnung
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Vom beobachteten zum kalkulierten Risiko
Beobachtungs- und Erwartungswerte
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Der Erwartungswert für die durchschnittliche Augenzahl beim Würfeln mit einem (idealen)
Würfel ist 3,5. Beim realen Würfeln wird diese durchschnittliche Augenzahl – selbst bei vielen
Würfen – höchstens einmal zufällig erreicht. Welche Augenzahl tatsächlich „realisiert“ wird, ist
zufällig: wenn die mittlere Augenzahl nach 10 Würfen 3,2 ist, dann war der Erwartungswert
dennoch 3,5.
Im Allgemeinen ist der Erwartungswert für Versicherungsschäden unbekannt. Bestenfalls hat man
in der Vergangenheit Versicherungsschäden beobachtet und statistisch erfasst. Ist das Kollektiv
groß genug, dann sollten die mittleren Schäden (z. B. pro Versicherter) in jedem Jahr in der Nähe
des Erwartungswertes (des betreffenden Jahres) gelegen haben. In einem Jahr können sie aber
darunter, in einem anderen darüber liegen.
Aufgabe des Statistikers ist, aus Beobachtungswerten und weiteren Informationen mit
statistisch-mathematischen Verfahren zunächst einmal Erwartungswerte zu schätzen, d. h. den
wahrscheinlichsten Erwartungswert und die Bandbreite, in der der Erwartungswert mit der größten
Wahrscheinlichkeit liegt.
Hat man keine weiteren Informationen, so ist nach statistischen Grundsätzen der beste
Schätzwert für den Erwartungswert (des Beobachtungsjahres) einfach der Mittelwert der
Beobachtungswerte.
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Vom beobachteten zum kalkulierten Risiko
Beobachtungs- und Erwartungswerte
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Die statistischen Methoden helfen, zu beurteilen, wieweit man den Beobachtungswerten bzw. den
Mittelwerten trauen darf. Dazu hat sich sogar eine eigene Theorie entwickelt, die CredibilitätsTheorie. Je kleiner Versicherungsbestände sind, je seltener Schäden auftreten und je stärker die
einzelnen Schäden in ihrer Höhe schwanken, desto mehr streuen die Beobachtungswerte
(Mittelwerte).
Beispiel: Ein Krankenhaustagegeldtarif mit 100 Versicherten hat in einem Jahr pro Kopf 2
Krankenhaustage, im nächsten 6 Tage, im dritten 3 Tage. Ein Krankenhaustagegeldtarif mit 2000
Versicherten hat gleichzeitig 4, dann 3,5 und im dritten Jahr 4,5 Tage. Wie schätzen Sie den
Erwartungswert der beiden Tarife – prospektiv für die Zukunft - ein, wenn Sie davon ausgehen,
dass die Erwartungswerte („durchschnittliche Krankenhaustage) keinen zeitlichen Trend
aufweisen?
Jetzt liegen nach genauerer Prüfung folgende Informationen vor: im Dritten Jahr hatten alleine
drei inzwischen verstorbene Versicherte jeweils 300 Krankenhaustage, so das sich der letzte
Beobachtungswert bei ihrer Eliminierung auf 4,05 vermindern würde.
Eine weitere Untersuchung in anderen Tarifen zeigt, dass im Durchschnitt jedes Jahr mit einem
solchen Fall gerechnet werden muss und dass in den ersten beiden Jahren kein entsprechend langer
Krankenhausfall auftrat. Wie schätzen Sie nun den Erwartungswert (für die Zukunft) ein?
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Vom beobachteten zum kalkulierten Risiko
Beispiel: Schwankung der Beobachtungswerte nach Bestandsgröße
Ambulanttarif mit unterschiedlichen Erstattungssätzen
% Erstattung Bestand
1. Jahr 2. Jahr 3. Jahr
20
10811
1110
1183
1250
25
2
354
1323
1384
30
110
1668
1056
1032
50
5
1371
824
2825
jeweils auf 100 % Erstattung bezogen
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Vom beobachteten zum kalkulierten Risiko
Beobachtungs- und Erwartungswerte
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Zur Ermittlung der „Erwartungswerte“ aus den Beobachtungswerten kommen z. B. statistische
Ausgleichsverfahren zum Einsatz:
-
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Mittelwertbildung über mehrere Jahre
Mittelwertbildung über Zusammenfassung von Beständen
Abgleich mit benachbarten Tarifen, Stütztarifen, benachbarten Altersgruppen oder
unterschiedlichen Selbstbehalten, Plausibiltätsüberlegungen und Elimination
unrealistischer Werte, Abgleich mit Branchenerfahrungen und Tafeln der BaFin
Beispiel: In einem Tarif haben die ca. 50 männlichen Jugendlichen deutliche Schwankungen im
Schadenverlauf, der Mittelwert liegt ca. 100 % über dem der Kinder. Ein vergleichbarer eigener
Tarif zeigt, das dort die ca. 2000 männlichen Jugendlichen ca. 15 % niedrigere Schäden als die
Kinder haben. Branchenerfahrungen zeigen, dass in etwa ähnlichen Tarifen männlichen
Jugendlichen zwischen 5 % und 25 % unter den Kindern liegen. „Vorsichtshalber“ werden die
männlichen Jugendlichen genauso hoch wie die Kinder angesetzt.
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Vom beobachteten zum kalkulierten Risiko
Beobachtungs- und Erwartungswerte
Beispiel: Beobachtete und ausgeglichene Invalidisierungswahrscheinlichkeiten Männer
Berufsunfähigkeitsversicherung (ohne Sicherheiten)
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Vom beobachteten zum kalkulierten Risiko
Vorsichtsprinzip und Sicherheit
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Das versicherungsmathematische Vorsichtsprinzip (Imparitätsprinzip) bezieht sich auf die
Festlegung der rechnungsmäßigen Ansätze - nicht nur für Schäden, sondern auch für Sterbetafeln, Storno, Eintrittswahrscheinlichkeiten, Kosten u. a.. Die rechnungsmäßigen Ansätze werden
nicht genau auf den geschätzten Erwartungswert festgelegt, denn es wäre dann gleich wahrscheinlich, dass dieser Wert durch die tatsächlichen Realisierungen überschritten wie unterschritten wird.
Die rechnungsmäßigen Ansätze werden so festgelegt, dass sie mit größerer Wahrscheinlichkeit
ausreichend bemessen sind.
Vorsicht – ähnlich dem kaufmännischen Vorsichtsprinzip, bezieht sich zunächst auf die Schätzung des Erwartungswerts: ist man nicht sicher, welcher Erwartungswert richtig ist, so wählt man
eher den vorsichtigeren – das heißt den zu einer höheren Prämie führenden.
Sicherheiten, die darüber hinaus eingerechnet werden, beziehen sich nicht auf Schätzfehler der
Erwartungswerte, sondern auf die durch die Größe des Bestandes in der Realität festzustellenden
Schwankungen der tatsächlichen Beobachtungswerte, die um den Erwartungswert streuen. Durch
Sicherheiten soll vermeiden werden, dass in konkreten Beständen in einem Jahr ein Verlust eintritt, weil z. B. der tatsächliche Schaden durch Zufall deutlich vom Erwartungswert abweicht.
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Vom beobachteten zum kalkulierten Risiko
Vorsichtsprinzip und Sicherheit
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Sicherheiten werden auch für das Änderungsrisiko benötigt. Im Gegensatz zur statistischen
Schwankung, die aus Zufall resultiert, hängt das Änderungsrisiko mit einer Veränderung der
tatsächlichen Verhältnisse zusammen. Z. B.: Zunahme der Berufsunfähigkeitsfälle infolge
Verschlechterung der wirtschaftlichen Lage.
Die Festlegung der Sicherheiten sollte ebenfalls nach mathematisch-statistischen Grundsätzen, erfolgen, wobei ein Sicherheitsniveau zu definieren ist. Z. B. kann verlangt werden, dass die
tatsächlichen Werte nur einmal in 20 oder 100 Jahren über den rechnungsmäßig festgelegten liegen. So z. B. bei der Herleitung von Sterbetafeln.
In der Praxis gehen Schätzung der Erwartungswerte, Vorsicht und Sicherheiten oft ohne Unterscheidung ineinander über: es wird – mit guter Erfahrung - pauschal und ohne exaktere mathematisch-statistische Begründung verfahren.
Beispiel:
In einem KHT-Tarif wurden in den letzten Jahren 2,5 – 2,7 – 2,2 – 2,3 und zuletzt 2,6 Krankenhaustage pro Kopf pro Jahr beobachtet, also durchschnittlich 2,46 Tage. Vorsichtshalber wird der
niedrigste Beobachtungswert (2,2) ignoriert: der Mittelwert der übrigen Werte beträgt 2,53, dieser
Wert wird sicherheitshalber auf 2,55 aufgerundet und so rechnungsmäßig angesetzt.Zusätzliche
Sicherheiten für das Änderungsrisiko entfallen wegen der Möglichkeit zur Beitragsanpassung.
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Vom beobachteten zum kalkulierten Risiko
Trend, Schadensteigerung und Projektionszeitraum
•
•
•
•
Besonders Schäden in Kostentarife – aber auch Sterbetafeln – weisen einen Trend auf – durch
Kostensteigerungen (Schadensteigerungen) oder – sowohl für Sterbetafeln wie für Schäden durch medizinischen Fortschritt. Inwieweit diese Trends bei der Festlegung von rechnungsmäßigen Kalkulationsansätzen zu berücksichtigen sind, hängt vom Einzelfall, der Tarifart und der
Kalkulationsmethode ab. Auch Trends werden vorsichtig (eher zu hoch) angesetzt.
Ein Trend zu steigender Lebenserwartung muss z. B. in der Kapitallebens- oder Todesfallversicherung nicht berücksichtigt werden, da er eher zu einer weiteren Erhöhung der Sicherheiten in den dort verwendeten Sterbetafeln führt.
In Tarifen der privaten Rentenversicherung, die keine Beitragsanpassungsmöglichkeit vorsehen,
werden Generationensterbetafeln verwendet, d. h. die Sterblichkeit eines heute 30-Jährigen im
Alter 80 wird so festgelegt, wie sie gemäß heutigem Trend (der vorsichtshalber noch etwas erhöht
wird) in 50 Jahren voraussichtlich durch weitere Verlängerung der Lebenserwartung ausfällt.
In Tarifen mit Beitragsanpassungsmöglichkeit – wie der privaten Krankenversicherung – muss
grundsätzlich nur bis zum Projektionszeitraum weitergerechnet werden, also in der Regel dem Jahr
nach dem Beitragsanpassungstermin. Denn anschließend kann ja der weitere Trend bei einer
erneuten Beitragsanpassung berücksichtigt werden.
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Vom beobachteten zum kalkulierten Risiko
Trend, Schadensteigerung und Projektionszeitraum
•
Beispiel: Schadensteigerung im ambulanten Krankheitskostentarif (Beispiel oben)
Beobachtete Schadenhöhe: 1. Jahr: 1110 2. Jahr: 1183 3. Jahr: 1250 Mittelwert: 1181
Schadensteigerung
Jahr 2 zu 1: 6,6 %
Jahr 3 zu 2: 5,7 %
Die Beitragsanpassung erfolgt im 4. Jahr zum Anfang des 5. Jahres. Trotz der (sich möglicherweise abzeichnenden) zurückgehende Schadensteigerungsraten wird (zur Vorsicht und Sicherheit)
mit einer jährlichen Schadensteigerung von 6 % gerechnet. Ausgehend vom Mittelwert (der dem 2.
Jahr zuzurechnen ist) wird bis Jahr 5 mit jeweils 6 % weitergerechnet: Neuer rechnungsmäßiger
Schaden:
1181 * 1,06 * 1,06 * 1,06 = 1407.
Alternativ:
Die Schadensteigerungsraten zeigen einen fallenden Trend, der auch durch
Branchenerfahrungen bestätigt wird. Zur Vorsicht wird jedoch davon ausgegangen, dass sich
dieser Trend nur abgeschwächt bis zum 4. Jahr fortsetzt und deshalb 5 % Schadensteigerung
angesetzt. Für das darauffolgende Jahr wird aus Vorsichtsgründen keine weitere Abnahme des
Schadentrends unterstellt. Der (zuverlässig erscheinende) Wert des dritten Jahres wird deshalb mit
1,05 * 1,05 * 1250 = 1378 auf das 5. Jahr weitergerechnet.
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Vom beobachteten zum kalkulierten Risiko
Eintrittswahrscheinlichkeiten
•
Wo man von festen im Versicherungsfall zu zahlenden Summen – einmalig oder als Renten
auszuzahlenden) ausgeht, kann mit Eintrittswahrscheinlichkeiten gerechnet werden. Das ist die
Wahrscheinlichkeit (z. B. in Promille) , mit der ein Versicherter in einem Jahr aus einem
bestimmten Kollektiv ausscheidet, und zwar aus einer vorgegebenen Ursache.
•
Beispiele:
Sterbewahrscheinlichkeit
Stornowahrscheinlichkeit
Invalidisierungswahrscheinlichkeit für Aktive in der Berufsunfähigkeitsversicherung
Reaktivierungswahrscheinlichkeit für Berufsunfähige
Pflegefalleintrittswahrscheinlichkeit in der Pflegeversicherung
Wiederverheiratungswahrscheinlichkeit in der Witwenrentenversicherung
•
Beispiel: Im Alter 40 werden von 1000 Männern 3,2306 berufsunfähig
(Invalidisierungswahrscheinlichkeit). Im Bestand sind von von 1000 Männern derzeit 9,5
berufsunfähig (Invalidenstände).
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Vom beobachteten zum kalkulierten Risiko
Eintrittswahrscheinlichkeiten
•
Beispiel: Eintrittswahrscheinlichkeiten (Ausscheide- bzw.
„Übergangswahrscheinlichkeiten“) in der Berufsunfähigkeitsversicherung
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Vom beobachteten zum kalkulierten Risiko
Rechnungsgrundlagen 1. und 2. Ordnung – Beispiel Berufsunfähigkeit:
•
•
•
Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung geben die am realistischsten eintretenden Werte wieder.
Rechungsgrundlagen 1. Ordnung enthalten zusätzlich Sicherheiten
für unbekannte Schätzfehler der Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung, die z. B. aus der
Ungenauigkeit der Beobachtungswerte und Unsicherheiten bei der daraus erfolgten
Ermittlung der Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung stammen
für statistische Schwankungen – Abweichungen der tatsächlich eintretenden Werte vom
Mittelwert in einzelnen Jahren – durch Zufall bzw. einzelne Ereignisse (z. B. Grippeepidemie oder zufällige Häufung von Berufsunfähigkeitsfällen im eigenen Bestand).
um mögliche unvorhersehbare Veränderungen der tatsächlichen Verhältnisse
abzufangen – z. B. Verlängerung der BU-Fälle durch Verschlechterung der wirtschaftlichen
Lage (arbeitsmarktbedingt zurückgehende Rückkehrmöglichkeit in berufliche Tätigkeit)
Prämien (d. h. „garantierte“ Tarifprämien) werden mit den Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung
gerechnet. Die derzeit vorliegenden Sicherheiten (Differenz zwischen 1. und 2. Ordnung) ergeben
voraussichtliche Überschüsse, die an die Versicherten weitergegeben werden können – z. B. auch
als Beitragsvorwegabzug. Tarifprämie (sogenannte Bruttoprämie) abzüglich Beitragsvorwegabzug wird z. B. in der BU-Versicherung auch als „Nettoprämie“ bezeichnet. Diese nicht
garantierten Nachlässe betragen durchaus bis zu 30 % und mehr.
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Vom beobachteten zum kalkulierten Risiko
Rechnungsgrundlagen 1. und 2. Ordnung – Beispiel Berufsunfähigkeit:
Sterbewahrscheinl.
Invalidensterblichkeit Männer DAV 1997 I
0,050
0,040
0,030
Invalidensterblichkeit
1. Jahr 1. Ordnung
0,020
2. Ordnung
0,010
0,000
20
30
40
50
60
Alter
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Vom beobachteten zum kalkulierten Risiko
Rechnungsgrundlagen 1. und 2. Ordnung – Beispiel Berufsunfähigkeit:
Sterbewahrscheinl.
Invalidensterblichkeit Männer DAV 1997 I
0,030
0,025
Invalidensterblichkeit
ab 6. Jahr 1. Ordnung
0,020
0,015
2. Ordnung
0,010
0,005
0,000
20
30
40
50
60
Alter
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Vom beobachteten zum kalkulierten Risiko
Rechnungsgrundlagen 1. und 2. Ordnung – Beispiel Berufsunfähigkeit:
Invalidisierungswahrscheinlichkeit Männer DAV
1997 I
Invalidisierungswahrscheinlichk.
0,100
0,080
0,060
Invalidisierungswahrs
cheinlichkeit Aktiver
0,040
2. Ordnung
0,020
0,000
20
30
40 50
Alter
60
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Vom beobachteten zum kalkulierten Risiko
Rechnungsgrundlagen 1. und 2. Ordnung – Beispiel Berufsunfähigkeit:
Invalidisierungswahrscheinlichk.
Invalidisierungswahrscheinl. Männer DAV 1997 I
0,020
Invalidisierungswahrs
cheinlichkeit Aktiver
0,010
2. Ordnung
0,000
20
30
40 50
Alter
60
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Vom beobachteten zum kalkulierten Risiko
Rechnungsgrundlagen 1. und 2. Ordnung – Beispiel Berufsunfähigkeit:
Reaktiv.-wahrscheinl.
Reaktivierungswahrsch. Männer DAV 1997 I
0,120
Reaktivierungswahrsc
heinl. Invalider 1. Jahr
1. Ordnung
0,100
0,080
0,060
0,040
2. Ordnung
0,020
0,000
20
30
40
50
60
Alter
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Vom beobachteten zum kalkulierten Risiko
Rechnungsgrundlagen 1. und 2. Ordnung – Beispiel Berufsunfähigkeit:
Reaktivierungswahrsch. Männer DAV 1997 I
Reaktiv.wahrscheinl.
0,250
0,200
0,150
Reaktivierungswahrsc
heinl. Invalider ab 6.
Jahr 1. Ordnung
0,100
2. Ordnung
0,050
0,000
20
30
40
50
Alter
60
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Optionen und Garantien
Optionen
•
•
•
Optionen geben dem Versicherungsnehmer das Recht, bestimmte Vertragsänderungen, den
Abschluss bestimmter neuer Verträge oder auch nur die Fortführung oder Beendigung des
bisherigen Vertrags zu verlangen, ohne dass der Versicherer diese verweigern kann.
Beispiele:
Recht auf Höherversicherung in der Berufsunfähigkeitsversicherung
Kapitalwahlrecht in der Rentenversicherung
Recht auf Rückkauf der Lebensversicherung zum Rückkaufswert
Anwartschaftsversicherung in der PKV: Aufnahme ohne erneute Risikoprüfung
Tarifwechselrecht in der PKV
Nachversicherungsrecht für Ehegatten oder Kinder
Optionen sind für den Kunden wertvoll, kosten aber den Versicherer Geld. Gelegentlich werden
für Optionen zusätzliche Prämien verlangt – z. B. in der Anwartschaftsversicherung ab 5 % des
Beitrags des Zieltarifs. Sonst müssen Optionen in den normalen Rechnungsgrundlagen
berücksichtigt sein und erhöhen dann die Normalprämien (z. B. infolge Antiselektion). Die
teilweise mangelnde Berücksichtigung von Optionen wird in letzter Zeit stark kritisiert.
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Optionen und Garantien
Garantien
•
Garantien geben dem Versicherungsnehmer das Recht, den Vertrag zu unveränderten
Bedingungen fortzusetzen, auch wenn sich die tatsächlichen Verhältnisse geändert haben. Sie sind
in der Wirkung durchaus den Optionen ähnlich, z. B. über die Wirkung der Antiselektion.
•
Beispiele:
Garantiezins bzw. garantierte Versicherungssumme, sogar für Höherversicherungen
garantierte lebenslange Renten in vereinbarter Höhe
Beitragsgarantie: Ausschluss von Beitragserhöhungen
beitragsfreier Einschluss einer Risikoverschlechterung (keine Beitragserhöhung in der PKV
nur wegen Verschlechterung des individuellen Gesundheitszustands)
•
Garantien hängen sehr stark mit dem eigentlichen Zweck der Versicherung zusammen, nämlich
der Übernahme von Risiken gegen feste Prämie. In der PKV sind sie weniger stark ausgeprägt:
bei Beitragsanpassungen kann sogar der Rechnungszins vermindert werden. Garantien werden
durch entsprechend hohe Sicherheiten in den Rechnungsgrundlagen abgesichert, doch können
auch diese sich als unzureichend erweisen (Lebenserwartung, Kapitalverzinsung, BU-Fälle).
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Prämienkalkulation der
Berufsunfähigkeitsversicherung
Kalkulationsansatz in der Berufsunfähigkeitsversicherung:
Eintrittswahrscheinlichkeiten (Ausscheide- bzw. „Übergangswahrscheinlichkeiten“)
in der Berufsunfähigkeitsversicherung (ähnlich: Erwerbsunfähigkeit, Pflegerenten)
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Kalkulation der Berufsunfähigkeit
Ausgangspunkt sind die Eintrittswahrscheinlichkeiten
•
•
•
•
Ein soeben invalide gewordener x-Jähriger scheidet aus dem Kollektiv der Invaliden mit der
Invaliden-Sterbewahrscheinlichkeit und der Reaktivierungswahrscheinlichkeit aus. Dies
ergibt die Ausscheideordnung der Invaliden, mit der der Barwert der Berufsunfähigkeitsrente
(bis zum vereinbarten Endalter der Rentenzahlung) eines neuen Invalidenfalls eines x-Jährigen
bestimmt wird. Wie der Barwert einer Rente aus der Ausscheideordnung berechnet wird, wissen
wir bereits.
Die Ausscheideordnung der Aktiven bestimmt sich aus der Sterbetafel der Aktiven und den
Invalidisierungswahrscheinlichkeiten (Invalide zahlen keinen Beitrag). Damit können die (für
die Beitragsberechnung benötigten) Rentenbarwerte (Beitragsbarwerte) ax der Aktiven bestimmt
werden (kennen wir auch schon).
Jetzt benötigt man noch den „Durchschnittsschaden“ eines x-Jährigen: das ist einfach die
Invalidisierungswahrscheinlichkeit des x-Jährigen multipliziert mit dem im BU-Fall für den xJährigen zu stellenden Barwert seiner BU-Rente (den wir zwei Schritte weiter oben schon
berechnet haben). Dies ergibt die Leistungsbarwerte Ax
Damit ergeben sich für jedes Eintrittsalter die Prämien Px = Ax / ax
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Kalkulation der Berufsunfähigkeit
Invalidisierungswahrscheinlichk.
Invalidisierungswahrscheinlichkeit Männer DAV
1997 I 1. Ordnung
0,100
0,080
Invalidisierungs
wahrscheinlich
keit Aktiver
0,060
0,040
0,020
0,000
20
30
40
50
Alter
60
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Sterbewahrschei
nlichkeit
Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Kalkulation der Berufsunfähigkeit
Sterbewahrscheinlichkeit der Aktiven Männer
DAV 1994 T 1. Ordnung
0,040
Sterbewahrscheinlich
keit Aktiver
0,020
0,000
20
30
40 50
Alter
60
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Kalkulation der Berufsunfähigkeit
Sterbewahrscheinl.
Invalidensterblichkeit Männer DAV 1997 I
1. Ordnung
0,035
0,030
0,025
0,020
0,015
0,010
0,005
0,000
1. Invaliditätsjahr
3. Jahr
ab 6. Jahr
20
30
40
50
Alter
60
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Kalkulation der Berufsunfähigkeit
Sterbewahrscheinl.
Invalidensterblichkeit Männer DAV 1997 I
1. Ordnung
0,045
0,040
0,035
0,030
0,025
0,020
0,015
0,010
0,005
0,000
1. Invaliditätsjahr
ab 6. Jahr
vgl.:
Aktivensterblichkeit
20
30
40
50
Alter
60
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Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Kalkulation der Berufsunfähigkeit
Reaktiv.wahrscheinl.
Reaktivierungswahrsch. Männer DAV 1997 I
1.Ordnung
0,180
0,160
0,140
0,120
0,100
0,080
0,060
0,040
0,020
0,000
1. Invalidenjahr
3. Jahr
ab 6. Jahr
20
30
40
50
Alter
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60
Crashkurs Versicherungsmathematik
Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Kalkulation der Berufsunfähigkeit
Was bedeutet dies für die Deckungsrückstellungen?
•
Bei Eintritt der Berufsunfähigkeit wird sofort der Barwert der nach den Rechnungsgrundlagen
erwarteten Berufsunfähigkeitsrente als Deckungsrückstellung (bzw. Leistungsrückstellung)
gestellt. Da die Dauer der versicherten Berufsunfähigkeit bei Älteren wegen des Endalters
zurückgeht, nehmen diese Barwerte für höhere Invalidisierungsalter sogar wieder ab (Beispiel:
Alter 35 ca. 12fache, Alter 60 ca. 4fache Jahresrente bei Endalter 65.
•
Die sogenannten Anwartschafts-Deckungsrückstellungen für Aktive sind demgegenüber viel
geringer, nur bis ca. 15 % bis 30 % der versicherten Jahresrente und nehmen bei Ältern wieder ab
– sie können sogar negativ werden.
•
Das Invalidisierungsrisiko nimmt zwar mit dem Alter zu, aber die Dauer der gezahlten
Invalidenrente nimmt ab. Dadurch steigt der durchschnittliche Schaden in Höhe des
Invalidisierungsrisikos multipliziert mit dem Barwert der Invalidenrente mit dem Alter nicht
stark an und sinkt sogar wieder.
•
Dies hat Bedeutung für die Bemessung der Überschussbeteiligung – unterschiedlich für Aktive
und Invalide - und der Rückkaufswerte bei Kündigung.
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Stornoabschläge und Rückkaufswert
Können Deckungsrückstellungen bei Kündigung ausgezahlt werden?
•
Grundsätzlich kalkulieren Versicherungen mit Kollektiven, daher ist auch die Deckungsrückstellung – nicht nur die Alterungsrückstellung – kollektiv. Durch Kündigung entsteht die Gefahr
der Antiselektion (Entmischung), d. h. gute Risiken kündigen – schlechte bleiben im Bestand.
Wieweit eine Deckungsrückstellung bei Kündigung (aus versicherungsmathematischer Sicht)
ausgezahlt werden kann, hängt davon ab, ob die verbleibenden Deckungsrückstellungen für die
nicht Kündigenden weiter ausreichen.
• Beispiele:
•
•
•
In der Rentenversicherung würde eine Rückkaufsmöglichkeit in der Rentenphase dazu führen,
dass Rentner bei gesundheitlicher Verschlechterung den Rückkaufswert statt der weiter laufenden
Rente bevorzugen würden. Die Lebenserwartung der übrigen verlängert sich dann im Durchschnitt und die kalkulatorischen Deckungsrückstellungen reichen nicht mehr aus.
In der Kapitallebensversicherung kündigen eher Gesunde, weil für Personen mit hohem Sterblichkeitsrisiko die Todesfalleistung interessant ist. Um dies auszugleichen, werden versicherungs-mathematische Stornoabschläge vom Deckungskapital kalkuliert, die den Rückkaufswert etwas
vermindern. Damit wird der entgangene Risikogewinn aus Kündigung Gesunder kompensiert.
In der Berufsunfähigkeitsversicherung sind die Antiselektionseffekte relativ zum geringen
Deckungskapital der Aktiven so hoch, dass ein Stornoabschlag in Höhe der Deckungsrückstellung
gerechtfertigt ist. Es wird also häufig kein Rückkaufswert ausgezahlt.
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