Transcript Площади фигур

1.
B
14
K
13 F
O
A
E
15
C
SAOE - ?
Условие:
Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Определите площади
треугольников, на которые разбивается данный треугольник
его
медианами.
Решение:
p
13  14  15
 21
2
S ABC  21  ( 21  13 )( 21  14 )( 21  15 )  21  8  7  6  84
S AOE 
84
 14
6
Ответ: 14
2.
A
4
AM=MB
S1
S2
M 5
H
S3
C
3
B
S1,S2,S3 - ?
Условие:
Стороны треугольника равны 3, 4 и 5. Определите площадь
треугольников, на которые разбивается данный треугольник высотой и
медианой, проведенными к большей по величине стороне.
Решение:
т.к. стороны треугольник. Равны 3, 4, 5, то треугольник
прямоугольный, т. е. ∟ACB=90˚
S ABC 
S1 
1
2
CH 
1
34  6
2
 S ABC  S 2  S 3  3 ( ò .ê .CM  ìåäèàíà
CB  AC

AB
HB 
9
34
5
144

25
S3

12
5
256

25
1 12 9
54


 
 2 ,16
2 5 5
25
S 2  3  2 ,16  0 ,84
)
9
5
Ответ: 3; 2,16; 0,84
3.
CP=AD=5
BK=6
B
P
O
A
K
D
C
SABC - ?
Условие:
Медианы треугольника равны 5, 6 и 5. Вычислите площадь этого
треугольника.
Решение:
2
AO  OC 
2
AD 
3
OK 
1
BK 
3
KC 
5 
10
3
1
( ò .ê .ÑP  AD )
3
6  2
3
OC
2
 OK
2

100
 4 
9
S OKC 
1
S ABC 
8
 OK  KC 
2
3
1
2
 6  16
2
8
3
8
3

8
3
Ответ: 16
4.
C
AM=m
NB=n
M
N
K
B
A
SABC - ?
Условие:
В ∆ ABC медиана АМ перпендикулярна медиане NB. Найдите площадь
∆ ABC, если AM=m, BN=n.
Решение:
AK
2


AM
3
BK
BN

3
KM

2
AKB

1
 AM


S

S
ABC
1
m
3
1
 AK  BK
1

2
S KMB
AMB
n
3
3
S
m
3
2

2
2
1
 KM
 BK

2
mn
mn
3
1
2

9


2 mn
9
2

2
m 
3

1
3
2
n 
3
m 
2
3
2 mn
9
n 
mn
9
mn
3
Ответ: 2mn/3
5.
B
F
AB=BC
FC=15
K
O
A
16
C
SABC - ?
Условие:
Основание равнобедренного треугольника равно 16, а медиана,
проведенная к боковой стороне, равна 15. Найти площадь треугольника.
Решение:
т.к. AB=BC, то CF=AK=15
AO  OC 
2
 FC 
3
p AOC 
10  10  16
2
 15  10
3
 18
2
S
AOC

18 (18  10 ) (18  16 )  48
S
ABC
 3  48  144
2
Ответ: 144
6.
B
SABK = 1
5
A
10
K
C
SABC - ?
Условие:
В треугольнике ABC AB=5, BC=10, BK – биссектриса, SABK=1. Найдите
площадь ∆ ABC.
Решение:
AB:BC=5:10=1/2
S
ABK
S BCK
S
ABC

1
2
 S BCK
 2
 1 2  3
Ответ: 3
7.
B
SCOB = 25
x O
S1
A
3
S2
K
5
C
SAOB - ?
Условие:
Точка К лежит на стороне AC ∆ ABC, причем AK=3, KC=5. Точка О,
лежащая на отрезке BK, такова, что SCOB=25. Найти площадь ∆ AОB.
Решение:
AK:KC=3:5=S1: S2
S AOB

S1
x
S COB
S2

S1
25

S2
S1

S2
Ñ äðóãîé
x
25
S1
ñòîðîíû

S2
x
25

3
 x
5
S AOB  15
25  3
3
, òîãäà
:
5
 15
5
Ответ: 15
B
8.
AK=18
FC=24
K
F
O
A
20
C
SABC - ?
Условие:
Основание ∆-ка равно 20, медианы проведенные к боковым сторонам
равны 18 и 24. Найти площадь ∆ ABС.
Решение:
AO 
OÑ 
2
 AK 
3
3
2
2
 FÑ 
3
Ò .ê . 12
2
2
S AOÑ 
 18  12
 24  16
3
 16
1
2
 20 , òî  AOÑ  90 
2
 12  16  96
2
S ABC  3  96  228
Ответ: 228
B
9.
SBOK = 3
K
AB:BC=1:3
O
A
M
C
SABC - ?
Условие:
В ∆ ABC на стороне BC взята точка K так, что прямая AK делит пополам
биссектрису BM. Найти площадь ∆ ABС, если AB:BC=1:3 и SBOK=3, где
О – точка пересечения AK и BM.
Решение:
S AOB  S ABO  x (ò. ê. BO  OM)
S MOC  3 x ( ò.ê. AM : MC  AB : BC  1 : 3 )
S COB  S MOC ( ò.ê. ÌÎ
 ÎÂ )
S OBC  3 x
S BOK  3  S OKC  3 x  x
S BOK
S OKC

S BAK
S AKC

3
3x  x

x3
7x  3
 x5
S ABC  S AOB  S AOM  S MOC  S BOK  S OKC  5  5  15  3  12  40
Ответ: 40
10.
B
SABC = 1
2y
2x
S1
K
x S3
A
4z
M
3y
S2
P
3z
C
SKMP - ?
Условие:
На сторонахAB, BC, CA ∆ ABC взяты точки K, M, P так, что AK:KB=1:2,
BM:MC=2:3, CP:PA=3:4. Площадь ∆ ABС равна 1, если AB:BC=1:3.
Найдите SKMP.
Решение: т. к. ∆ ABC ∞ ∆ КBМ; ∆ ABC ∞ ∆ PMC; ∆ ABC ∞ ∆ AKP (по
углу и прилежащим к нему сторонам)
S ABC  1
S1

KB
BM


2x

2y
S ABC
AB
BC
3x
5y
S2
CM
CP
3y
3z




S ABC
CB
CA
5y
7z
S3
AK
AP
x
4z
S ABC

AB


AC
x  S KMP  1 
4
15

3x

9
35
7z

4
21
 S1 
 S2 
 S3 

4
15
9
35
4
21
2
7
Ответ: 2/7