Transcript Pertemuan 5.

PERTEMUAN 5
1. MATRIKS
2. METODE ELIMINASI GAUSS
3. METODE ITERASI GAUSS
SEIDEL
4. METODE DEKOMPOSISI LU
MATRIKS
Definisi Matriks
Adalah kumpulan bilangan yang
disajikan secara teratur dalam baris dan
kolom.
Notasi Matriks
A = --
a11 a12 ….
a1n
a21 a22 ….
a2n
.
.
am1 am2 ….
amn
 Ukuran Matrik atau Ordo Matrik A
adalah
mxn
dimana :
m = banyak baris
n = banyak kolom
 Elemen matrik aij artinya elemen baris
ke-I dan kolom ke-j pada matrik A

Jenis-jenis matriks
1.Vektor adalah matriks yang hanya mempunyai satu baris
dan satu kolom
- jika matriks [A] hanya mempunyai satu baris maka disebut
vektor baris
- jika matriks [A] hanya mempunyai satu baris maka disebut
vektor baris
2.Matriks bujur sangkar bila ordo A adalah m x n dimana m =
n
3. Matriks Nol adalah matriks yang elemen elemennya nol
4. Matriks diagonal adalah matriks yang hanya elemenelemen diagonal tidak sama dengan nol
5. Matriks Identitas adalah bentuk khusus dari matriks
diagonal dimana elemen-elemen diagonalnya sama
dengan nol
6. Matriks segitiga adalah suatu matriks persegi dikatakan
sebagai matriks segitiga jika elemenelemen yang ada di
bawah atau di atas diagonal utamanya (salah satu, tidak
kedua-duanya) bernilai nol. Jika elemen-elemen yangada di
bawah diagonal utama bernilai nol maka disebut sebagai
matriks segitiga atas. Sebaliknya, jika elemen-elemen yang
ada di atas diagonal utamanya bernilai nol maka disebut
sebagai matriks segitiga bawah.
Penambahan matriks
Sesuatu matriks boleh ditambah
jika kedua matriks mempunyai
susunan yang sama.Begitu juga
dengan pengurangan matriks,
Contoh 1 penambahan matriks:
Contoh 2 Pengurangan Matriks
Perkalian Skalar
kA =
ka11 ka12 ….
ka1n
ka21 ka22 ….
ka2n
.
.
kam1 kam2 ….
.
.
kamn
Contoh 3 perkalian skalar
Perkalian matriks dengan matriks
Dua buah matriks A(m x n) dan B(n x k) dapat
dikalikan apabila memenuhi syarat:
• Jika dan hanya jika jumlah kolom matrik
A sama dengan jumlah baris matriks B
• Ordo matriks hasil perkalian A dan B
adalah ( m x k )
Contoh 4 perkalian matriks
dengan matriks
Contoh 4
Determinan Matriks
 Jika suatu matriks adalah matriks
bujur sangkar maka mempunyai nilai
determinannya
 Determinan matriks A di dinotasikan
dengan | A |
 Cara
menghitung
determinan
tergantung ordo matriks tersebut
Determinan matriks ordo 2 x 2
a11
a12
a21
a22
A=
det.A = |A| = a11a22 - a21a12
Determinan matriks ordo 3 x 3
A=
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
Determinan matrik A ( 3 x 3
menggunakan metode SARRUS:
)
dihitung
| A | = a11 a22a33 + a12 a23a31 + a13 a21a32
- a31 a22a13 - a32 a23a11 - a33 a21a12
Contoh 5 determinan
Matriks 2x2
Contoh 5 Matriks 3x3
Matriks Invers
Sebuah matriks A dikatakan mempunyai
invers apabila matriks A adalah matriks Non
singular, yaitu matriks bujur sangkar yang
determinannya tidak sama dengan nol, ditulis
dengan A- 1 sehingga berlaku:
A-1 A = A A-1 = I
dimana I adalah matriks identitas
Menentukan matriks invers
 Menggunakan metode Adjoin:
A- 1 =
Adjoin A
Det. A
Adjoin A adalah transpose
kofaktor-kofaktor dari matrik A
Adjoin A =
A11
A12
.
.
A1n
...
...
dari
An1
An2
.
.
Ann
matrik
Ai j adalah kofaktor dari elemen ai j dimana :
Ai j = ( - 1 )i+ j | Mi j |
Mi j adalah submatrik dari A yang diperoleh
dengan jalan menghilangkan baris ke – i dan
kolom ke – j pada A
Contoh 6 Matriks invers
Contoh 6
KESAMAAN MATRIKS
Dua matriks adalah sama jika mempunyai susunan yang
sama dan unsur sepadan yang sama.
Contoh 7:
Metode Eliminasi Gauss


Metode Eliminasi Gauss yaitu menghilangkan atau
mengurangi jumlah variable sehingga dapat
diperoleh nilai dari suatu variable bebas
matrik diubah menjadi augmented matrik :
a11

a
 21
...


an1
b1

a22 ... a2n b2
... ... ... ...

an2 ... ann bn

a12 ... a1n
Metode Eliminasi Gauss

a11
a
 21
a31

...

an1
ubah matrik menjadi matrik segitiga atas atau
segitiga bawah dengan menggunakan OBE
(Operasi Baris Elementer).
a12 a13 ... a1n b1
a22 a23 ... a2n b2

a32 a33 ... a3n b3

... ... ... ... ...
an2 an3 ... ann bn

c11 c12
0 c
22

0 0

... ...

0 0
c13 ... c1n d1
c23 ... c2n d2

c33 ... c3n d3

... ... ... ...
0 ... cnn dn

Metode Eliminasi Gauss

Sehingga penyelesaian dapat diperoleh
dengan:d
xn =
n
cnn
xn 1 =
1
cn 1, n 1
 c
n 1, n
xn + d n 1 
.....................................
1
d 2  c23 x3  c24 x4  ...  c2n xn 
x2 =
c22
1
d1  c12 x2  c13 x3  ...  c1n xn 
x1 =
c11
Contoh 1:

Selesaikan sistem persamaan berikut:
x1 x2 x3 6
x1 2x2 x3 2
2x1 x2 2x3 10

Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut :
1 1 1 6
1 2 1 2



2 1 2 10

Contoh 1 :

Lakukan operasi baris elementer
B2  B1
B3
1 1 1 6 


0 1 2 4
 2B1 0 1 0 2


B3  B2
1 1 1 6 
0 1 2 4



0 0 2 6

Contoh 1:

Penyelesaian :
6
x3 
3
2
1
x2   4  (2)3  2
1
1
x1  6  2  3  1
1
Algoritma Eliminasi Gauss
Algoritma Eliminasi Gauss
Metode Iterasi Gauss-Seidel


Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang
menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilainilai yang berubah.
Bila diketahui persamaan linier simultan
a11
a 21
a31
...
a n1
x1
x1
x1
...
x1
+
+
+
...
+
a12
a22
a32
...
an2
x2
x2
x2
...
x2
+
+
+
...
+
a 13
a 23
a 33
...
a n3
x3
x3
x3
...
x3
+
+
+
...
+
...
...
...
...
...
+
+
+
...
+
a1n
a2n
a3n
...
ann
xn
xn
xn
...
xn
¿
¿
¿
...
¿
b1
b2
b3
...
bn
Metode Iterasi Gauss-Seidel


Berikan nilai awal dari setiap xi (i=1 s/d n) kemudian
persamaan linier simultan diatas dituliskan menjadi:
1
x 1 = (b 1− a12 x 2 − a 13 x 3 − .. ..− a 1n x n )
a11
1
x 2 = (b 2 − a21 x1 − a 23 x 3 − .. . .− a2n x n )
a2 2
. .. .. ..... .. ...... .. .. . .. .. . .. .. . .. .. ... .. .. ..... . .. ... .. .. . ...
1
x n = (bn − a n1 x 1 − an2 x 2 − . ...− a nn− 1 x n− 1)
ann
Metode Iterasi GaussSeidel



Dengan menghitung nilai-nilai xi (i=1 s/d n)
menggunakan persamaan-persamaan di atas secara
terus-menerus hingga nilai untuk setiap xi (i=1 s/d n)
sudah sama dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya
maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier
simultan tersebut.
Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila
selisih nilai xi (i=1 s/d n) dengan nilai xi pada iterasi
sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang
ditentukan.
Untuk mengecek kekonvergenan
Contoh 1:
Jawab :
Contoh 1
Nilai iterasi ke-7 sudah
tidak berbeda jauh
dengan nilai iterasi ke-6
Maka proses dihentikan
dan diperoleh penyelesaian:
Algoritma Eliminasi Gauss
Seidell
Alogoritma Eliminasi Gauss
Seidell
Metode Dekomposisi LU
Jika matriks A non singular ( matriks yang
mempunyai invers ), maka ia dapat difaktorkan
( diuraikan atau dikekomposisi ) menjadi matriks
segitiga bawah, L (Lower) dan matriks segitiga
atas, U (Upper) dengan cara melakukan
sejumlah transformasi elementer pada baris
seperti contoh sebelumnya, A = LU.
Perubahan tersebut dapat
digambarkan sebagai berikut
A
Transf.elementer
pada baris
U
L
Pada matriks segitiga bawah, L, semua elemen diagonal
utamanya berharga 1, sedangkan pada matriks segitiga
atas, U tidak ada aturan khusus pada elemen diagonal
utamanya. Setelah pemfaktoran matriks A menjadi
matriks L dan matriks U, maka kedua matriks tersebut
dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan
linier AX = B, yaitu sebagai berikut. Tinjau SPL AX = B,
kemudian faktorkan A menjadi L dan U, sehingga A =
LU, sehingga LUX = B. Misalkan UX = y, maka Ly = B.
Untuk memperoleh , kita gunakan teknik substitusi maju
( forward substitution ), sbb,
Dan untuk memperoleh solusi SPL, , kita gunakan
teknik substitusi mundur ( back substitution )
sbb,
Contoh 1
Tentukan X1,X2,X3 dan X4 dari sistem
persamaan linier di bawah ini dengan metode
dekomposisi LU
CONTOH 1
CONTOH 1
CONTOH 1
CONTOH 1
Algoritma Metode Dekomposisi
LU
1. Mendapatkan matriks [L] dan [U].
2. Menyelesaikan [L]{z} = (b).
3. Menyelesaikan [U]{x} = {z}
Soal :
1. Selesaikan persamaan berikut dengan
metode Eliminasi Gauss
Soal :
2. Selesaikan persamaan berikut dengan
metode Eliminasi Gauss Seidell
Soal :
3. Selesaikan matriks berikut dengan
metode Dekomposisi LU