Transcript Multidiffusion et ondes cohérentes : un essai de synthèse

Multidiffusion et ondes cohérentes
20 minutes
kkll
un essai de synthèse
Jean-Marc Conoir
UPMC Univ Paris 06, UMR 7190
Institut Jean Le Rond d’Alembert
Particule
Bon courage
On traite de la propagation des ondes en régime linéaire
Description microscopique
des ondes cohérentes
kˆ
Direction de propagation
kˆ
K eff  K eff'  iK eff''
850 steel rods of 2 mm  in the range [120x300 mm]
Signal incident
Signal transmis
Coda
Concentration
c=12.6%
Formalisme basé sur les équations de la diffusion multiple
Foldy (1945), Lax (1951), Waterman & Truell (1961), Twersky (1962),
Fikioris & Waterman (1964), Lloyd & Berry (1967),…
Formalisme basé sur les représentations diagrammatiques
(équation de Dyson & Opérateur de Masse)
Bourret (1962) « approximation bilocale », Furutsu (1963), Tatarsky (1964),
Uriel Frish (1965), …
Théories d’homogénéisation:
  a
Hypothèse de champ lointain
kr  
C’est une hypothèse qui revient implicitement à supposer que la
concentration des diffuseurs est « faible »
S  G0 (kr ) f (k , )
Fonction de forme en
champ lointain
1
le 
n
Les formules célèbres
f ( )
f ( 0)
ISA: Independent Scattering Approximation
2
k ISA
 k 2  4i n f (0)
Waterman & Truell (1961)
2
2i n

  2i n

2
KW T   k 
f (0)   
f ( ) 
k

  k

2
Linton & Martin (2005) // Lloyd & Berry (1967)
8 n 2
 d
2

 k  4i n f (0) 
cot g    f ( ) d

2
k 0
 2  d
2
2
k LM
2
Est-ce qu’on peut évaluer la nature
des approximations effectuées?
Twersky (1964) a «montré» que l’approximation de Foldy consistait à
interdire toutes les interactions doubles et supérieures.
Quid de l’approximation Quasi-Cristalline ?
1952
CPA
Coherent Potential Approximation
kˆ
keff2 = k 2 - 4i n f (0) = k 2 - 4i n f (kˆ, kˆ)
…
k12 = k 2 - 4i n f (kˆ, kˆ)
k22 = k12 - 4i n f (kˆ1 , kˆ1 )
k 2 = k 2 - 4i n f (kˆ , kˆ )
p+ 1
keff  lim
kp
p
p
p
p
f (kˆeff , kˆeff )  0
La CPA est connue pour être « résistante » quand la concentration
augmente. Est-ce qu’on a augmenté le nombre d’interactions
prises en compte?
kˆ
Corrélation Spatiale
i  

keff  k LM  16 n f (0)   g ( r ) H 0(1) (kr) J 0 (k LM r )rdr
 2 0
2
2
2
g (r )
2
: « radial distribution function »
(histogramme du nombre de diffuseurs situés à une distance
donnée d’un diffuseur pris au hasard)
A.Derode, V.Mamou, A.Tourin, Influence of correlations between scatterers on the attenuation of
the coherent wave in a random medium, Phys. Rev. E 74 (2006) 036606.
A.Norris, J.M.Conoir, Multiple scattering by cylinders immersed in fluid: high order
approximations for the effective wavenumbers (soumis).
Milieux Elastiques
8 n 2
  d LL

LL

 k  4i n f (0) 
cot
g
f
(

)
f
(  ) d
 
2 
k L 0
 2  d
2
k
2
eff ( L )
2
L
LL

8n

2
f LT ( ) f TL (  )  f TL ( ) f LT (  )
d

2
2
k L  2k L kT cos  kT
0

k eff2 ( T )  ...
F.Luppé, J.M.Conoir, S.Robert, Coherent waves in a multiply scattering poro-elastic medium
obeying Biot’s theory, Waves in Random and Complex Media, 18 (2008) 241-254.
J.M.Conoir, A.Norris, Effective wave numbers and reflection coefficients for an elastic medium
containing random configurations of cylindrical scatterers, Wave Motion, 47 (2010) 183-197.
conditions de continuité entre un
milieu multidiffuseur et un milieu homogène
macro
micro
C.Aristégui, Y.C.Angel, Effective mass density and stiffness derived from P-wave multiple
scattering , Wave Motion 44 (2007) 153-164.
J.M.Conoir, S.Robert, A.El Mouhtadi, F.Luppé, Reflection and transmission at low concentration
by depth-varying distribution of cylinders in a fluid-like region, Wave Motion 46 (2009) 522-538.
Masse volumique effective:  eff ( ) /  f
… and angle dependent ???
 (, ) / 
eff
ka=0.5
2% on Re,
f
5% on Im
Métamatériaux ???
En basse fréquence , on peut assimiler le milieu multidiffuseur à un fluide visqueux
Coefficient de viscosité effectif:
 ( )
eff
F.Luppé, J.M.Conoir, P.Pareige, Dynamic effective properties of a random configuration of
cylinders in a fluid (soumis).
LAUE
1995
Et les bulles ?
K.W.Commander, A.Prosperetti, Linear pressure wave in bubbly liquids:
Comparison between theory and experiments, JASA 85 (1989) 732-746.
Wijngaarden (1968-1972), Caflish, Miksis, Ting, Papanicolaou (1985)
Keller, Miksis (1980)
moi
DIFFUSION MULTIPLE NON LINEAIRE
Merci pour votre attention