Transcript Simplexová metoda pro známé počáteční řešení úlohy LP

Simplexová metoda pro známé
počáteční řešení úlohy LP
RNDr. Jiří Dvořák, CSc.
[email protected]
Teorie systémů a operační analýza
1
Kanonický tvar úlohy LP
Uvažujme úlohu ve standardním tvaru


max cT x Ax  b, x  0
(a)
kde A je typu (m,n).
Řekneme, že úloha (a) je v kanonickém tvaru, když
matice A obsahuje jednotkovou matici typu (m,m).
TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení
2
Kanonický tvar úlohy LP a bázické řešení
Nechť úloha


max cT x Ax  b, x  0
(a)
je v kanonickém tvaru a nechť b  0.
Zvolme bázi B = E a označme
xB … vektor bázických proměnných,
xN … vektor nebázických proměnných.
Bázické řešení:
xN = 0
xB = b
TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení
3
Speciální případ úlohy LP
Předpokládejme úlohu LP v kanonickém tvaru, kde
jednotková matice je tvořena posledními m sloupci
matice A a kde b  0.
Nebázické proměnné: xN = (x1, x2, … , xn–m)T
Bázické proměnné: xB = (xn–m+1, xn–m+2, … , xn)T
Bázické řešení: x0 = (0, … ,0, b1, b2, … , bm)T
Obecné řešení: Nebázické proměnné x1, x2, … , xn–m
jsou volné a bázické proměné jsou určeny vztahem
xnmi  bi 
nm
 aij x j ,
i  1, 2,, m
j 1
TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení
4
Úprava účelové funkce
Účelovou funkci
n
f (x)   c j x j
j 1
vyjádříme pomocí nebázických proměnných:
nm


f (x)   c j x j   cn mi  bi   aij x j 


j 1
i 1
j 1


po úpravě dostaneme
nm
m
nm 

f (x)   cnmi bi    c j   cnmi aij  x j

i 1
j 1 
i 1
m
m
TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení
5
Prověření optimality bázického řešení
Označme:
m
F   cn  m i bi ,
i 1
Pak
f (x)  F 
m

 j    cn mi aij   c j
 i 1

nm
 ( j ) x j
j 1
a f(x0) = F.
Nechť x1 = (0, … , , … ,0, 1, … , m)T, kde  >
0 se nachází na s-té pozici a i = bi – ais  .
Potom f(x1) = F –  s . Je-li tedy s < 0, pak řešení x0
není optimální, neboť hodnotu účelové funkce lze
zvětšit o hodnotu  (–s).
TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení
6
Nové řešení musí být přípustné
Aby řešení x1 bylo přípustným řešením dané úlohy LP,
musí splňovat podmínky nezápornosti x1  0.
Hodnota  > 0 tedy musí být řešením soustavy nerovnic
bi – ais   0, i = 1, … ,m.
Je-li aps  0, pak odpovídající nerovnice je splněna pro
jakoukoli kladnou hodnotu  a může být tudíž
vynechána. Řešením zbylé soustavy nerovnic je
podmínka
bi
  min
ais 0 ais
TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení
7
Nové řešení musí být bázické
Aby řešení bylo bázické, musí být některá dosavadní
bázická proměnná anulována.
Položíme-li
bi
  min
ais 0 ais
bude anulována proměnná xn–m+r , kde r je určeno
vztahem
br
bi
 min
ars ais 0 ais
neboť xn–m+r = br – ars .
TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení
8
Kanonický tvar odpovídající nové bázi
K nové bázi B1 patří s-tý sloupec matice A a sloupce
s indexy n–m+i pro i = 1, … , m, i  r.
Nový kanonický tvar získáme eliminační metodou,
při níž s-tý sloupec matice A upravíme na
jednotkový a zachováme jednotkové sloupce s
indexy n–m+i pro i = 1, … , m, i  r.
TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení
9
Algoritmus simplexové metody
Mějme výchozí přípustné bázické řešení x0. Položme
k = 1, xk = x0 , A(k) = A, b(k) = b.
Simplexový algoritmus:
1. Test kritéria optimality pro xk. Je-li splněno, pak konec
(bázické řešení xk je optimálním řešením).
2. Určení klíčového prvku ars(k) matice A(k). Není-li možné
určit klíčový prvek, pak konec (úloha nemá konečné
optimální řešení).
3. Simplexová transformace matice (A(k) | b(k)). Získáme
matici (A(k+1) | b(k+1)) a nové bázické řešení xk+1. Položíme
k = k +1 a postup opakujeme od bodu 1.
TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení
10
Simplexová tabulka
x1
x2
…
xn
c1
c2
…
cn
x 1B
c 1B
a11
a12
…
a1n
b1
x B2
.
.
.
x Bm
c B2
.
.
.
c Bm
a21
.
.
.
am1
a22
.
.
.
am2
…
…
a2n
.
.
.
amn
b2
.
.
.
bm
1
2
…
n
F
x Bi a c Bi
označují i-tou bázickou proměnnou
a její koeficient v účelové funkci
TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení
11
Stanovení hodnot veličin j a F
m B 
 j    c i aij   c j
 i 1

m
F   c Bibi
i 1
Veličiny  j slouží k testování kritéria optimality a F
představuje hodnotu účelové funkce pro aktuální
bázické řešení.
Výchozí hodnoty těchto veličin můžeme získat také tak,
n
že k soustavě rovnic přidáme rovnici
z  c j x j  0
j 1
a pak z ní eliminační metodou odstraníme bázické
proměnné (nesmíme ji přitom ničím násobit ani dělit).
TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení
12
Kritérium optimality
a) Kritérium optimality pro maximalizační úlohu:
(jk )  0
pro j = 1, … , n.
b) Kritérium optimality pro minimalizační úlohu:
(jk )  0
pro j = 1, … , n.
TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení
13
Určení klíčového prvku
a) Určení indexu s klíčového sloupce:
(k )
s
(k )
 max  j
jJ
J je množina indexů těch sloupců, kde nebylo splněno
kritérium optimality. Klíčový sloupec určuje
proměnnou, která vstoupí do báze.
(k )
(k )
b
b
b) Určení indexu r klíčového řádku:
r  min i
(k )
(k )
ais( k ) 0 ais
ars
Klíčový řádek určuje proměnnou, která bude z báze
vyloučena.
Je-li určen klíčový prvek, pak do báze vstupuje proměnná
xs a nahrazuje proměnnou na r-té pozici.
TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení
14
Poznámky k určení klíčového prvku
Pokud podmínce pro klíčový sloupec vyhovuje několik
sloupců tabulky, můžeme volit kterýkoli z nich. Totéž
platí pro určení klíčového řádku.
Klíčovým řádkem může být i ten řádek, kde je pravá
strana bi(k ) nulová (taková situace může nastat v
případě, že aktuální bázické řešení je degenerované).
Musí ale být splněna podmínka, že ais( k )  0 .
TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení
15
Simplexová transformace
Úprava klíčového řádku:
arj( k 1)

arj( k )
(k )
ars
,
j  1, , n
br( k 1)
br( k )
 (k )
ars
Úprava ostatních řádků (i = 1, … , m, i  r):
aij( k 1)  aij( k ) 
bi( k 1)
arj( k )
(k )
a
,
( k ) is
ars
j  1, , n
(k )
b
 bi( k )  r( k ) ais( k )
ars
TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení
16
Poznámky k simplexové transformaci
Z uvedených vzorců vyplývá, že řádek, který není
klíčový, nesmíme při úpravě ničím násobit nebo
dělit. Pokud tuto zásadu nedodržíme, ztratíme
kanonický tvar a hodnota bázické proměnné
odpovídající tomuto řádku se nebude rovnat pravé
straně.
Pokud je zachován kanonický tvar, získáme nové
bázické řešení následujícím způsobem:
• nebázické proměnné se položí rovny nule,
• bázická proměnná v i-tém řádku se rovná pravé
straně.
TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení
17
Zjednodušení úprav j
n
K soustavě rovnic přidáme rovnici z   x  F
 j j
j 1
kde proměnná z reprezentuje hodnotu účelové
funkce. Tuto rovnici pak upravujeme stejně jako
všechny ostatní:
(jk 1)  (jk ) 
F ( k 1)
arj( k )
(k )

,
(k ) s
ars
j  1, , n
(k )
b
 F ( k )  r( k ) (sk )
ars
TSOA: Simplexová metoda pro známé počáteční řešení
18