Transcript disini
DIFERENSIAL
DAFTAR DIFERENSIAL BAKU
No.
1.
2.
3.
dx
n
nx
x
x
e
e
e
kx
4.
a
x
5.
ln x
6.
7.
dy
y f ( x)
log
a
n 1
x
ke
a ln a
x
sin x
No
y f ( x)
8.
cos x
9.
tan x
sec
10.
cot x
cosec
11.
sec x
kx
x
1
x
1
x ln a
cos x
dy
dx
sin x
2
x
2
x
sec x tan x
12. cosec x cosec x cot x
13. sinh x
cosh x
14. cosh x
sinh x
Koefisien diferensial untuk sinh x dan cosh x dapat
diperoleh dengan :
d
dx
e e
x
y sinh x
x
d
dan
y
e e
x
e
x
dx
x
x
e e
2
dy
e
e
x
dx
x
e
x
2
x
2
d
dx
y cosh x
y
e
x
e
dx
e
x
sinh
x cosh x
x
2
dy
cosh x
e
x
e
x
e
2
x
sinh
x
2
d
dx
cosh
x sinh x
Contoh :
1. y 2
2. y e
dy
x
dx
dy
x 3
3 . y log
2
4 . y sec x
x
x
1
2
2
dx
10
1
1
e
1
x
x 3
3
dy
x ln 10
dx
dy
dx
1
sec x tan x
Fungsi dari suatu fungsi :
Cos x adalah fungsi x karena harga sin x bergantung
pada harga sudut x.
cos (3x-6) adalah fungsi dari (3x-6)
dan (3x-6) adalah fungsi dari x
Dapat dikatakan bahwa :
- cos (3x-6) adalah fungsi dari (3x-6)
- cos (3x-6) adalah fungsi dari fungsi x
Jadi cos (3x-6) adalah fungsi dari suatu fungsi x dan
secara umum ungkapan ini sering dikatakan sebagai
fungsi dari suatu fungsi.
y
Dengan demikian ln cos 3y adalah fungsi dari fungsi …
Contoh :
Diferensiasikan y = sin (4x +3) terhadap x!
Misal :
du
4
u = 4x +3
dx
dy
cos u cos ( 4 x 3 )
y sin u
du
dy
dx
dy
du
du
dx
Diferensiasikan
cos( 4 x 3 ) 4 4 cos 4 x 3
ye
5 x
!
Penyelesaian :
du
u 5 2x
2
dx
ye
dy
dx
dy
u
e e
u
52 x
du
dy
du
du
dx
e
5 2 x
(2) 2e
5 2 x
Jika y = f(u) dan u = F(x)
dengan F = fungsi x maka,
Diferensial dari y = ln F yaitu :
dy
dx
dy
dF
dF
dx
1
F
dF
dx
Sehingga diferensial dari y = ln cos x adalah :
dy
dx
1
cos x
sin x tan x
Contoh : diferensiasikan fungsi berikut ini !
1 . y ln sin 3 x
dy
1
dx
d sin 3 x
sin 3 x
1
dx
3 cos 3 x 3 cot 3 x
sin 3 x
dy
2 . y log 10 2 x 1
dx
3. y e
sin 2 x
dy
e
1
2 x 1 ln 10
d 2 x 1
dx
2
2 x 1 ln 10
sin 2 x
dx
d sin 2 x
dx
e
sin 2 x
2 cos 2 x 2 cos 2 x e
sin 2 x
PERKALIAN
Jika y = uv dengan u dan v adalah fungsi x, maka
dy
dx
u
dv
v
y ' uv ' vu '
du
dx
dx
Contoh : Jika y = x3 sin 5x, maka y’ = …
y'
dy
x 5 cos 5 x 3 x sin 5 x
3
2
dx
5 x cos 5 x 3 x sin 5 x
3
2
x 5 x cos 5 x 3 sin 5 x
2
Jika y = x2 ln sinh x, maka y’ = …
y'
dy
dx
x
2
1
cosh x 2 x ln sinh x
sinh x
x x coth x 2 ln sinh x
Jika y = ln e5x (3x+1) , maka y’ = …
y'
dy
3 x 1
e
5x
3 5 e
e
5x
3 15 x 5 e
dx
5x
5x
8 15 x
PEMBAGIAN
Jika y = u/v dengan u dan v adalah fungsi x, maka
dy
du
v
u
dx
dx
dv
y'
dx
v
v
2
Contoh :
y
cos 2 x
x
2
vu ' uv '
dy
2
x 2 sin 2 x cos 2 x 2 x
2
dx
x
2 x x sin 2 x cos 2 x
x
4
4
2 x sin 2 x cos 2 x
x
3
Tentukanlah turunan dari :
1. y
sin 3 x
dy
x 1
dx
2. y
ln x
e
2x
dy
x 1 3 cos 3 x sin
x 1 2
2x
e
1
ln x 2 e
x
dx
e
4x
1
e 2 ln x
x
4x
e
2x
1
2 ln x
x
e
2x
2x
3 x 1
Koefisien Diferensial dari tan x dan tanh x
sin x
1 . y tan x
dy
cos x
cos x cos x sin x sin x
dx
cos
1
cos
2 . y tanh x
2
sec
2
2
x
x
x
sinh x
cosh x
dy
cosh x cosh x sinh x sinh x
dx
cosh
cosh
2
x sinh
cosh
1
cosh
2
2
2
x
x
x
sec h x
2
2
x
Diferensiasi Logaritmik
Jika ada lebih dari dua fungsi dengan berbagai susunan
atas atau bawah, koefisien diferensial lebih baik dicari
melalui diferensiasi logaritmik.
Jika terdapat kasus y= uv ,dengan u,v, dan w, juga y
adalah fungsi x.
w
Cara penyelesaian :
1.Mengambil logaritmanya dengan bilangan dasar e.
ln y = ln u + ln v +ln w
2.Masing-masing
ruas didiferensialkan terhadap x.
3.Kemudian diperoleh hasil
1 dy
1 du 1 dv 1 dw
y dx
u dx v dx w dx
dy
dx
uv 1 du
1 dv
1 dw
w u dx
v dx
w dx
Contoh :
2
Jika
x sin x
y
, tentukan
cos 2 x
dy
!
dx
2
y
x sin x
cos 2 x
ln y ln( x ) ln(sin x ) ln(cos 2 x )
2
1 dy
1
1
1
2 2x
cos x
( 2 sin 2 x )
y dx
x
sin x
cos 2 x
2
cot x 2 tan 2 x
x
2
x sin x 2
cot
x
2
tan
2
x
dx
cos 2 x x
dy
Jika
e
y
4x
, tentukan
3
x cosh 2 x
y
e
dy
!
dx
4x
3
x cosh 2 x
ln y ln( e
4x
) ln( x ) ln(cosh 2 x )
3
1 dy
1
1
1
4x
2
4 x 4e 3 3 x
2 sinh 2 x
y dx
e
x
cosh 2 x
4
3
2 tanh 2 x
x
4x
3
3
4
2
tanh
2
x
dx
x cosh 2 x
x
dy
e
Fungsi Implisit
Jika y =x2+2y+1 terdefinisi sepenuhnya oleh x dan y disebut sebagai
fungsi eksplisit dari x.
Fungsi implisit : - 2xy + cos y = 4
- x2 + y2 = 49
Contoh :
Jika x 2 xy 3 y
2
2
dy
4 , tentukan
!
dx
Penyelesaian :
x 2 xy 3 y 4
2
2
2x 2x
dy
2y 6y
dx
(2 x 6 y )
dy
dx
dy
dx
dy
0
dx
(2 x 2 y )
2 x 2 y
x y
2 x 6 y
x 3 y
Jika x y 2 x 6 y 5 0 , tentukan
2
2
dy
dx
dititik
x 3 , y 2!
Penyelesaian :
2x 2 y
dx
26
dy
(2 y 6)
dy
0
dx
dy
2 2x
dx
dy
dx
di 3 , 2
2 2x
2y 6
1 x
y3
dy 1 3
dx 2 3
2
1
2
2
dan
d y
dx
2
2
d y
dx
2
d 1 x
dx y 3
y 3 1 1 x
y 3 2
3 y 1 x
di 3 , 2
2
d y
dx
2
dy
dx
dy
dx
y 3 2
3 2 1 3 2
2 3 2
1 (4)
1
5
Persamaan Parametrik
y = sin 3t, x = cos 5t
t = parameter
x, y = persamaan parametrik
2 3t
3 2 t dy
Contoh : Jika x
, y
,
1 t
Penyelesaian :
x
y
dx
2 3t
1 t
1 t
dy
dx
1 t 3 2 3 t
1 t 2
1 t 2 3 2 t
1 t 2
3 3t 2 3t
(1 t )
2
2 2t 3 2t
(1 t )
dt
dy
dx
dt
dt
dy
dt
dt
dx
dx
dt
3 2t
dx
1 t
2
(1 t )
1
(1 t )
5
2
2
1
(1 t )
2
(1 t )
2
5
1
5