Transcript disini

DIFERENSIAL
DAFTAR DIFERENSIAL BAKU
No.
1.
2.
3.
dx
n
nx
x
x
e
e
e
kx
4.
a
x
5.
ln x
6.
7.
dy
y  f ( x)
log
a
n 1
x
ke
a ln a
x
sin x
No
y  f ( x)
8.
cos x
9.
tan x
sec
10.
cot x
 cosec
11.
sec x
kx
x
1
x
1
x  ln a
cos x
dy
dx
 sin x
2
x
2
x
sec x  tan x
12. cosec x  cosec x  cot x
13. sinh x
cosh x
14. cosh x
sinh x
Koefisien diferensial untuk sinh x dan cosh x dapat
diperoleh dengan :
d
dx
e   e
x
y  sinh x
x
d
dan
y 
e    e
x

e
x
dx
x
x
e  e
2
dy

e

 e
x
dx
x
e
x
2

x
2
d
dx
y  cosh x
y 
e
x
 e
dx

e
x

sinh
x   cosh x
x
2
dy
 cosh x
 e
x

e
x
e
2
x
 sinh
x
2

d
dx
cosh
x   sinh x
Contoh :
1. y  2
2. y  e
dy
x
dx
dy
x 3
3 . y  log
 2
4 . y  sec x
x
x
1
2

2

dx
10
1

1
e
1
x
x 3
3
dy

x ln 10
dx
dy
dx
1

sec x  tan x
Fungsi dari suatu fungsi :
Cos x adalah fungsi x karena harga sin x bergantung
pada harga sudut x.
cos (3x-6) adalah fungsi dari (3x-6)
dan (3x-6) adalah fungsi dari x
Dapat dikatakan bahwa :
- cos (3x-6) adalah fungsi dari (3x-6)
- cos (3x-6) adalah fungsi dari fungsi x
Jadi cos (3x-6) adalah fungsi dari suatu fungsi x dan
secara umum ungkapan ini sering dikatakan sebagai
fungsi dari suatu fungsi.
y
Dengan demikian ln cos 3y adalah fungsi dari fungsi …
Contoh :
 Diferensiasikan y = sin (4x +3) terhadap x!
Misal :
du
4
u = 4x +3
dx
dy
 cos u  cos ( 4 x  3 )
 y  sin u
du
dy
dx

dy
du

du
dx
Diferensiasikan
 cos( 4 x  3 )  4  4 cos  4 x  3 
ye
5 x
!
Penyelesaian :
du
u  5  2x
 2
dx
ye
dy
dx
dy
u
e e
u
52 x
du

dy
du

du
dx
e
5 2 x
 (2)  2e
5 2 x
Jika y = f(u) dan u = F(x)
dengan F = fungsi x maka,
Diferensial dari y = ln F yaitu :
dy
dx

dy
dF

dF
dx

1
F

dF
dx
Sehingga diferensial dari y = ln cos x adalah :
dy
dx

1
cos x
  sin x   tan x
Contoh : diferensiasikan fungsi berikut ini !
1 . y  ln sin 3 x
dy
1

dx

d sin 3 x 
sin 3 x
1

dx
 3 cos 3 x  3 cot 3 x
sin 3 x
dy
2 . y  log 10 2 x  1

dx

3. y  e
sin 2 x
dy
e
1
 2 x  1 ln 10

d 2 x  1
dx
2
 2 x  1 ln 10
sin 2 x
dx

d sin 2 x
dx
e
sin 2 x
 2 cos 2 x  2 cos 2 x  e
sin 2 x
PERKALIAN
Jika y = uv dengan u dan v adalah fungsi x, maka
dy
dx
u
dv
v
y '  uv ' vu '
du
dx
dx
Contoh : Jika y = x3 sin 5x, maka y’ = …
y'
dy
 x  5 cos 5 x  3 x  sin 5 x
3
2
dx
 5 x cos 5 x  3 x sin 5 x
3
2
 x 5 x cos 5 x  3 sin 5 x 
2
 Jika y = x2 ln sinh x, maka y’ = …
y'
dy
dx
 x 
2
1
cosh x  2 x ln sinh x
sinh x
 x  x coth x  2 ln sinh x 
 Jika y = ln e5x (3x+1) , maka y’ = …
y'
dy
 3 x  1 
e
5x
3  5 e
e
5x
 3  15 x  5   e
dx
5x
5x
 8  15 x 
PEMBAGIAN
Jika y = u/v dengan u dan v adalah fungsi x, maka
dy
du
v
u
dx

dx
dv
y'
dx
v
v
2
Contoh :
y
cos 2 x
x
2
vu ' uv '
dy
2
x   2 sin 2 x   cos 2 x  2 x
2

dx
x

 2 x  x sin 2 x  cos 2 x 
x

4
4
 2  x sin 2 x  cos 2 x 
x
3
Tentukanlah turunan dari :
1. y 
sin 3 x
dy
x 1
dx
2. y 
ln x
e
2x
dy

 x  1  3 cos 3 x  sin
 x  1 2
2x
e
1
 ln x  2 e
x

dx
e
4x
1

e   2 ln x 
x


4x
e
2x
1
 2 ln x
 x
e
2x
2x
3 x 1
Koefisien Diferensial dari tan x dan tanh x
sin x
1 . y  tan x 
dy
cos x
cos x  cos x  sin x  sin x

dx
cos
1

cos
2 . y  tanh x 
2
 sec
2
2
x
x
x
sinh x
cosh x
dy

cosh x  cosh x  sinh x  sinh x
dx
cosh

cosh
2
x  sinh
cosh
 
1
cosh
2
2
2
x
x
x
 sec h x
2
2
x
Diferensiasi Logaritmik
Jika ada lebih dari dua fungsi dengan berbagai susunan
atas atau bawah, koefisien diferensial lebih baik dicari
melalui diferensiasi logaritmik.
Jika terdapat kasus y= uv ,dengan u,v, dan w, juga y
adalah fungsi x.
w
Cara penyelesaian :
1.Mengambil logaritmanya dengan bilangan dasar e.
ln y = ln u + ln v +ln w
2.Masing-masing
ruas didiferensialkan terhadap x.
3.Kemudian diperoleh hasil
1 dy
1 du 1 dv 1 dw

 
 
 
y dx
u dx v dx w dx
dy
dx

uv  1 du
1 dv
1 dw 







w  u dx
v dx
w dx 
Contoh :
2
Jika
x sin x
y 
, tentukan
cos 2 x
dy
!
dx
2
y
x sin x
cos 2 x
 ln y  ln( x )  ln(sin x )  ln(cos 2 x )
2
1 dy
1
1
1

 2 2x 
 cos x 
 (  2 sin 2 x )
y dx
x
sin x
cos 2 x

2
 cot x  2 tan 2 x
x
2
x sin x  2




cot
x

2
tan
2
x


dx
cos 2 x  x

dy
Jika
e
y 
4x
, tentukan
3
x cosh 2 x
y
e
dy
!
dx
4x
3
x cosh 2 x
 ln y  ln( e
4x
)  ln( x )  ln(cosh 2 x )
3
1 dy
1
1
1
4x
2

 4 x  4e  3  3 x 
 2 sinh 2 x
y dx
e
x
cosh 2 x
 4
3
 2 tanh 2 x
x
4x
3



 3
4


2
tanh
2
x


dx
x cosh 2 x 
x

dy
e
Fungsi Implisit
Jika y =x2+2y+1 terdefinisi sepenuhnya oleh x dan y disebut sebagai
fungsi eksplisit dari x.
Fungsi implisit : - 2xy + cos y = 4
- x2 + y2 = 49
Contoh :
Jika x  2 xy  3 y
2
2
dy
 4 , tentukan
!
dx
Penyelesaian :
x  2 xy  3 y  4
2
2
2x  2x
dy
 2y  6y
dx
(2 x  6 y )
dy
dx

dy
dx
dy
0
dx
 (2 x  2 y )
2 x  2 y 
x  y 


2 x  6 y 
x  3 y 
Jika x  y  2 x  6 y  5  0 , tentukan
2
2
dy
dx
dititik
x  3 , y  2!
Penyelesaian :
2x  2 y
dx
26
dy
 (2 y  6)
dy
0
dx
dy
 2  2x
dx

dy

dx
 di 3 , 2 
2  2x
2y 6

1 x
y3
dy 1  3
dx 2  3

2
1
2
2
dan
d y
dx
2
2
d y
dx
2
d 1 x 



dx  y  3 
 y  3   1   1  x 
 y  3 2
3  y   1  x 

 di 3 , 2 
2
d y
dx
2

dy
dx
dy
dx
 y  3 2
3  2   1  3 2
 2  3 2

1  (4)
1
5
Persamaan Parametrik
y = sin 3t, x = cos 5t
t = parameter
x, y = persamaan parametrik
2  3t
3  2 t dy
Contoh : Jika x 
, y 
,

1 t
Penyelesaian :
x 
y 
dx
2  3t

1 t

1 t
dy

dx

1  t   3    2  3 t 
1  t 2
1  t  2   3  2 t 

1  t 2
 3  3t  2  3t
(1  t )
2
 2  2t  3  2t
(1  t )
dt
dy
dx
dt
dt
dy
dt

dt
dx

dx

dt
3  2t

dx
1 t
2
(1  t )

1
(1  t )
5

2

2
1
(1  t )
2
(1  t )
2
5

1
5