Transcript Aula1
Unidade I
Introdução à Matemática Computacional
Professora: Ana Cristina G. e Silva
Natal-RN
Índice
Vetores no R2, R3, Rn
Espaço Vetorial
Combinação linear
Vetores LI e LD
Base
Resolução de sistemas lineares
Determinação da Inversa de uma matriz
Vetores no R2
Representação:
v ( a, b)
y
(2, 1)
x
0
Vetores no R3
Representação:
v ( a , b, c )
z
(2, 4, 3)
y
x
Vetores no Rn
Representação:
v ( x1 , x2 , x3 ,..., xn )
Operações
v ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ), u ( y1 , y2 , y3 ,..., yn ) R n
Adição:
e
k R
v u ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) ( y1 , y2 , y3 ,..., yn )
( x1 y1 , x2 y2 , x3 y3 ,..., xn yn )
Multiplicação por escalar:
ku k ( x1 , x2 , x3 ,..., xn )
(kx1 , kx2 , kx3 ,..., kxn )
Espaço Vetorial
Definição:
Espaço vetorial é um conjunto V, não vazio, no qual estão definidas duas
operações
Soma:
u, v V u v V
Mult. por escalar:
v V , k R kv V
E devem satisfazer, para quaisquer
u , v , w , V e
a, b R
As seguintes propriedades:
1) u v v u
5)
2) (u v) w u (v w)
6) (a b)v av bv
a(u v) au av
3)
Existe
0 V
tal que
u0u
7) (ab)v a(bv)
4)
Existe u V
tal que
u (u) 0
8)
1u u
Combinação Linear
Definição:
Sejam V um espaço vetorial real (ou complexo), v1, v2 , , vn V
e
a1, a2 , , an reais (ou complexos). Então,
v a1v1 a2v2 anvn
é um elemento de V ao que chamamos de combinação linear de v1, v2 , , vn V
Ex:
R³
v
k
j
i
v 2i 4 j 3k
Dependência e Independência Linear
Definição:
Sejam V um espaço vetorial e v1, v2 , , vn V . Dizemos que o conjunto
{v1, v2 , , vn} é Linearmente Independente (L.I.), ou que os vetores são L.I,
se a equação
a1v1 a2v2 anvn 0
Implica que a1 a2 an 0 . Caso exista algum
ai 0 dizemos que
{v1, v2 , , vn} é Linearmente dependente (L.D.), ou que os vetores são L.D.
Exemplo
O conjunto {(1, 1), (1, 0), (1, 1)}
é LD ou LI ?
{(1, 1), (1, 0), (1, 1)} é LD ou LI ?
Solução:
a(1, 1) b(1, 0) c(1, 1) (0, 0)
(a, a) (b, 0) (c, c) (0, 0)
(a b c, a c) (0, 0)
a b c 0
a c 0
(I )
( II )
O sistema admite infinitas soluções.
Façamos c a variável livre.
De ( II ) vem que
ac
Substituindo o valor de a em ( I ) ficamos com
b 2c
Fazendo, por exemplo, c 2 obtemos a 2
e
b 4
Encontramos a seguinte combinação linear
2(1, 1) 4(1, 0) 2(1, 1) (0, 0)
Logo, o conjunto {(1, 1), (1, 0), (1, 1)} é LD.
Base
Definição:
{v1, v2 , , vn} será uma base de V (um espaço vetorial qualquer), se:
(i)
( ii )
Exemplo:
{v1, v2 , , vn} é LI, e
[v1, v2 , , vn ] V
{(1, 1), (0, 1)} é uma base de R 2 ?
Solução:
Temos que verificar se
{(1, 1), (0, 1)} é LI, e
( ii ) [(1, 1), (0, 1)] R2
(i)
(i)
a(1, 1) b(0, 1) (0, 0)
a0
(a, a) (0, b) (0, 0)
(a, a b) (0, 0)
a b 0 ( II )
(I )
Substituindo ( I ) em ( II )
encontramos
b0
Logo,
{(1, 1), (0, 1)} é LI
Base
Exemplo:
( x, y) a(1, 1) b(0, 1)
( x, y) (a, a) (0, b)
( x, y) (a, a b)
(3,1) R²
x a
y a b
(3, 1) 3(1, 1) (4)(0, 1)
(3, 1) (3, 3) (0, 4)
ax
b ya
b yx
( x, y) x(1, 1) ( y x)(0, 1)
2
Portanto, [(1, 1), (0, 1)] R
Logo, {(1, 1), (0, 1)} é uma base de R 2 .
Resolução de sistemas lineares
Ex.:
x1
2 x1
x
1
3 1
1 4
2 5
4 4
1 3 2 5
4 x2
3 x3
1
5 x2
4 x3
4
3x2
2 x3
5
Seqüência de
operações elementares
Matriz ampliada
do sistema
1 0 0 3
0 1 0 2
0 0 1 2
Forma escada
reduzida por linha
x1
3
2
x2
x3
2
Portanto, o sistema é possível e determinado com solução única
S {(3, 2, 2)}
Resolução de sistemas lineares
Ex.:
3x1
x1
4 x
1
3 1
1 4
2 5
4 4
1 3 2 5
2 x3
0
2 x2
x3
1
3x2
x3
5
x2
1
0
1 2
0 7
5
3
0 0 20 40
Seqüência de
operações elementares
Matriz ampliada
do sistema
x1 2 x2
7 x2
x3
1
5 x3
3
20 x3
40
Soluções do sistema (método do escalonamento)
Ex.:
x 3 y 2z 4
2y z 3
2z 2
x
y
z
t
0
y
z 2t
2
z
1
t
6
x 3 y z
4 y 2 z 17
0 z 24
Como o número de
variáveis é igual ao número de
equações. O sistema é possível e
determinado, ou seja, tem solução
única.
Neste caso, o número de
variáveis é maior que o número de
equações. O sistema é possível e
indeterminado, ou seja, tem infinitas
soluções. Isso significa que uma das
variáveis , a variável livre, receberá um
valor arbitrário.
Neste caso a última equação
do sistema é sempre falsa, então o
sistema é impossível e S =.
Determinação da Inversa de uma matriz
Exemplo: Encontrar a inversa da matriz A.
2
1
A
0
1
2
1
0
1
1
0
0
0 1 1
1
1
1
0
0
3
A
L 2 L 2 2L 1
L 4 L 4 L1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0
0 1 1
1 1 1
0 0 3
1
0
L1L 2
I
1
0
0
0
0 0
1 2 2 1 2 0 0
1 1
1 0 0 1 0
0 1 4 0 1 0 1
0 1
1 0
1
1
2
0
1
L2:
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 1
1
0
0
1
1
1
0
0
3
2
1 0
0
1 0 0 0
2L 1 : 2 0 2 2 0 0 0 0
0
1 2 2 1 0 0 0
L 4 : 1 0 0
L1:
3
0 0 0 1
1
0 2 1 0 1 0 0
0
0 2
2
0 1 0 1
1
0
0
0
0 0
1 2 2 1 2 0 0
1 1
1 0 0 1 0 L 3 L 3 L 2
0 1 4 0 1 0 1
0 1
L 3 L 3
L1L1L 3
L 2 L 2 2L 3
L4 L4L3
1 0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1 2 2 1 2 0 0
0 1 3 1 2 1 0
0 1 4 0 1
0 1
0 1
1 0
1
0
1 0
1 0 4 1 2 2 0
0 1 3 1 2 1 0
0 0 1 1 1 1 1
0 0 2 1
1
1
0
0
0
0 0
1 2 2 1 2 0 0
0 1 3 1 2 1 0
0 1 4 0
1 0 1
0 1
1
0
1
1
0
0
0
1 0
1 0 4 1 2 2 0 L 1 L 1 2L 4
0 1 3 1 2 1 0 L 2 L 2 4L 4
L 3 L 3 3L 4
0 0 1 1 1 1 1
0 0 2 1
1
1
0
0
0
2
1 0 0 5 6
2 4
0 1 0 4 5 4 3
0 0 1 1 1 1 1
0 0 0 3
I
Portanto,
3 3 3 2
6
2 4
1 5
A
4 5 4 3
1
1
1
1
3 3
A-1
Quando A não admite inversa.
Exemplo:
1 0 1
1 2 1
0 2 0
A
1 0 1
A 1 2 1
0 2 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
1 0 1
0 1 0
0 0 0
1
0
1
12
2
1
1
0
0
1
I
Como a forma escada não é a identidade, a matriz A não tem inversa.
Bibliografia
- BOLDRINE, José L. – Álgebra linear – 3º edição Harbra LTDA
Operações elementares
1)
Li L
j
Ex.:
2) L i kL i
Ex.:
3)
(permutar duas linhas)
0
1
4 1
3 4
L2 L3
0
1
3 4
4 1
(k R e k 0)
0
1
4 1
3 4
L i L i kL
L 2 3L 2
0
1
12 3
3 4
j
L3:
Ex.:
0
1
4 1
L L 2L
3
1
3 4 3
0
1
12 3
1 4
2L 1 :
3 4
2
0
1 4
voltar
Forma Escada
Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se
(1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.
(2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem
todos os seus outros elementos iguais a zero.
(3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.
(4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o
primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da
coluna j+1 em diante.
Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?
1 0 0 0
0 1 1 0
0 0 1 0
(1) V
0 2 1
1 0 3
0 0 0
(1) F
0 1 3 0 1
0 0 0
0 0
0 0 0 1 2
(1) F
0 1 3 0 2
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0
(1) V
Forma Escada
Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se
(1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.
(2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem
todos os seus outros elementos iguais a zero.
(3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.
(4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o
primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da
coluna j+1 em diante.
Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?
1 0 0 0
0 1 1 0
0 0 1 0
(1) V
(2) F
0 2 1
1 0 3
0 0 0
(1) F
0 1 3 0 1
0 0 0
0 0
0 0 0 1 2
(1) F
0 1 3 0 2
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0
(1) V
(2) V
Forma Escada
Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se
(1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.
(2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem
todos os seus outros elementos iguais a zero.
(3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.
(4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o
primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da
coluna j+1 em diante.
Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?
1 0 0 0
0 1 1 0
0 0 1 0
(1) V
(2) F
0 2 1
1 0 3
0 0 0
(1) F
0 1 3 0 1
0 0 0
0 0
0 0 0 1 2
(1) F
0 1 3 0 2
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0
(1) V
(2) V
(3) V
Forma Escada
Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se
(1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.
(2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem
todos os seus outros elementos iguais a zero.
(3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.
(4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o
primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da
coluna j+1 em diante.
Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?
1 0 0 0
0 1 1 0
0 0 1 0
(1) V
(2) F
0 2 1
1 0 3
0 0 0
(1) F
0 1 3 0 1
0 0 0
0 0
0 0 0 1 2
(1) F
0 1 3 0 2
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0
(1) V
(2) V
(3) V
(4) V