Transcript Lineární funkce

Funkce
Lineární funkce - příklady
Opakování: Funkce - definice
Funkce je předpis, který každému číslu
z definičního oboru, který je podmnožinou
množiny všech reálných čísel R, přiřazuje
právě jedno reálné číslo.
Funkci značíme obvykle písmenem f,
ale nic nebrání tomu, abychom použili i jiná písmena, např. g, h, …
a obvykle zapisujeme ve tvaru:
y = f(x), např. y = 2x+1
nebo ve tvaru:
f: y = 2x + 1
kde proměnná x je argument funkce.
Opakování: zápis funkce
f: y = 2x + 1
kde proměnná x je argument funkce, nebo-li
nezávisle proměnná.
Nezávislost je dána tím,
že její hodnotu můžeme
libovolně měnit, ovšem
jen v rámci definované
množiny, definičního
oboru.
Množina všech přípustných hodnot argumentu x,
tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x
pro danou funkci nabývat, se nazývá definiční obor.
Značí se:
D(f)
Opakování: obor hodnot
Ke všem přípustným hodnotám argumentu x,
přísluší právě jedna funkční hodnota. Ty všechny
dohromady tvoří obor hodnot (obor funkčních hodnot).
Funkční hodnota neboli závisle proměnná je číslo,
které funkce přiřadí konkrétnímu argumentu x.
Jinak řečeno: výstupní hodnota funkce.
Obvykle ji značíme y nebo f(x).
Hodnota závisle
proměnné ječísel,
pro danou
Obor hodnot je množina všech reálných
které
funkci jednoznačně
dostaneme jako výstupní hodnotu určena
funkce
f, jestliže
hodnotou
x - proto
za x dosadíme všechny přípustnéargumentu
hodnoty
z D(f).
„závisle“ proměnná.
Značí se:
H(f)
Opakování: zadání, zápis funkce
1) Předpisem
(vzorcem, rovnicí)
f: y = 2x + 1
3) Grafem
2) Tabulkou
x
-2 -1
0
1
2
y
-3 -1
1
3
5
Opakování: Lineární funkce
Lineární funkce je funkce daná rovnicí
y = ax + b
kde a, b jsou libovolná reálná čísla
a definičním oborem množina všech reálných čísel.
Poznámka: Je-li definičním oborem podmnožina (část) množiny všech reálných čísel,
hovoříme o části lineární funkce.
y = 0,5x - 3
Opakování: Graf lineární funkce
Sestrojte graf funkce f: y=2x-1, pro xR.
x -2 -1 0
1
2
y -5 -3 -1 1
3
Grafem funkce je
přímka.
Slovo přímka pochází z
latinského „linea“, což
označuje čáru nebo přímku.
Funkci, jejímž grafem je
přímka říkáme
lineární funkce.
Opakování:
Vlastnosti lineárních funkcí
Sestrojte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí:
y 
y 
y 
1
2
1
2
1
2
x 3
x
2
4
y
2
1
x
2
4
y
0
-1
x 1
x 1
x
2
4
y
-2
-3
Jsou-li dvě lineární rovnice určeny
rovnicemi
y=a1x+b1; y=a2x+b2
a jestliže a1=a2, pak grafy těchto funkcí
jsou navzájem rovnoběžné přímky.
Opakování:
Vlastnosti lineárních funkcí
Budeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient b
(koeficient a=1).
b=2: y=x+2
b=1: y=x+1
b=0: y=x
b=-1: y=x-1
b=-2: y=x-2
x
0
1
y
2
3
x
0
1
y
1
2
x
0
1
y
0
1
x
0
1
y
-1
0
x
0
1
y
-2
-1
Koeficient b určuje posunutí
grafu ve směru osy y.
Udává y-ovou souřadnici
průsečíku s osou y.
Opakování:
Vlastnosti lineárních funkcí
Budeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a
(koeficient b=1).
a=2: y=2x+1
a=1: y=x+1
a=0: y=1
a=-1: y=-x+1
a=-2: y=-2x+1
x
0
1
y
1
3
x
0
1
y
1
2
a>1
funkce
rostoucí
x
0
1
y
1
1
x
0
1
y
1
0
x
0
1
y
1
-1
Funkce f je rostoucí, právě když
pro každé dvě hodnoty x1, x2
jejího definičního oboru D platí:
Je-li x1<x2, pak f(x1)<f(x2).
Opakování:
Vlastnosti lineárních funkcí
Budeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a
(koeficient b=1).
a=2: y=2x+1
a=1: y=x+1
a=0: y=1
a=-1: y=-x+1
a=-2: y=-2x+1
x
0
1
y
1
3
x
0
1
y
1
2
a<1
funkce
klesající
x
0
1
y
1
1
x
0
1
y
1
0
x
0
1
y
1
-1
Funkce f je klesající, právě když
pro každé dvě hodnoty x1, x2
jejího definičního oboru D platí:
Je-li x1<x2, pak f(x1)>f(x2).
Opakování:
Vlastnosti lineárních funkcí
Budeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a
(koeficient b=1).
a=2: y=2x+1
a=1: y=x+1
a=0: y=1
a=-1: y=-x+1
a=-2: y=-2x+1
x
0
1
y
1
3
x
0
1
y
1
2
x
0
1
y
1
1
x
0
1
y
1
0
x
0
1
y
1
-1
a=0
funkce
konstantní
Zvláštní případ lineární funkce
y=b se nazývá konstantní funkce.
Grafem konstantní funkce je
přímka rovnoběžná s osou x.
Příklady
Je dána funkce f: y=-3x+2 ; x -3;3). Rozhodněte, která
z následujících dvojic [x; y] patří funkci f.
1) [1; -1]
… pokud daná uspořádaná dvojice patří funkci f,
musí po dosazení za souřadnice x a y do její rovnice
nastat rovnost. A samozřejmě x-ová souřadnice musí
patřit do definičního oboru funkce.
-1=-3.1+2
-1=-1 … uspořádaná dvojice [1; -1] funkci patří.
2) [2; 4]
4=-3.2+2
4-4 … uspořádaná dvojice [2; 4] funkci nepatří.
3) [3; -7]
… x-ová souřadnice nepatří do definičního oboru!
… uspořádaná dvojice [3; -7] funkci nepatří.
Příklady
Je dána funkce f: y=2x-1 ; x R. Rozhodněte, která
z následujících dvojic [x; y] patří funkci f.
[0; 1]
[0; -1]
[3/2; -2]
[0,25; -1/2]
[-1/4; -1,5]
Příklady
Je dána funkce f: y=2x-1; x R. Rozhodněte, která
z následujících dvojic [x; y] patří funkci f.
[0; 1]
Ne
[0; -1]
Ano
[3/2; -2]
Ne
[0,25; -1/2]
Ano
[-1/4; -1,5]
Ano
Příklady
Je dána funkce f: y=-2/3x+0,5 ; x -3; 6). Rozhodněte,
která z následujících dvojic [x; y] patří funkci f.
[-3; 2,5]
[0; -0,5]
[-9; 6,5]
[3; -1,5]
[6; -3,5]
Příklady
Je dána funkce f: y=-2/3x+0,5 ; x -3; 6). Rozhodněte,
která z následujících dvojic [x; y] patří funkci f.
[-3; 2,5]
Ano
[0; -0,5]
Ne
[-9; 6,5]
Ne
[3; -1,5]
Ano
[6; -3,5]
Ne
Příklady
Vypočítejte souřadnice průsečíků grafu funkce y = 4x - 3
s osami souřadnic.
Příklady
Vypočítejte souřadnice průsečíků grafu funkce y = 4x - 3
s osami souřadnic.
Průsečík s osou y má souřadnice: [0; y]
Dosazením do rovnice dostaneme: y=-3
[0; -3]
Jinak také na základě znalostí vlastností lineárních funkcí
a průběhu jejich grafů víme, že koeficient b v rovnici
lineární funkce určuje průsečík s osou y, přesněji řečeno
jeho y-ovou souřadnici, přičemž x-ová je samozřejmě
nulová. Z toho tedy bez jakéhokoliv výpočtu také vyplývá,
že souřadnice průsečíku s osou x jsou: [0; -3]
Obecně tedy platí, že průsečík s osou y má vždy souřadnice [0; b].
Průsečík s osou y má souřadnice: [x, 0]
Dosazením do rovnice dostaneme: 0=4x-3
4x=3
x=3/4
[3/4; 0]
Příklady
Jak se nazývají funkce f: y = 3 a g: y = -2x ?
Rozhodněte, zda jsou rostoucí nebo klesající, a zdůvodněte.
Příklady
Jak se nazývají funkce f: y = 3 a g: y = -2x ?
Rozhodněte, zda jsou rostoucí nebo klesající a zdůvodněte.
f: y = 3
a=0  funkce konstantní
Příklady
Jak se nazývají funkce f: y = 3 a g: y = -2x ?
Rozhodněte, zda jsou rostoucí nebo klesající, a zdůvodněte.
f: y = -2x
a<0  funkce klesající
Příklady
Jsou dány tři lineární funkce: f: y = 2x - 3, g: y = 2x + 5,
h: y = 7x + 5. Jakou společnou vlastnost mají grafy funkcí f a g?
Jakou společnou vlastnost mají grafy funkcí g a h?
Příklady
Jsou dány tři lineární funkce: f: y=2x-3, g: y=2x+5, h: y=7x+5.
Jakou společnou vlastnost mají grafy funkcí f a g? Jakou
společnou vlastnost mají grafy funkcí g a h?
Lineární funkce f a g mají
stejný kladný koeficient a,
jsou tedy rostoucí pod
stejným sklonem (úhlem).
Liší se jen koeficientem b,
tedy jejich grafy jsou
rovnoběžné přímky.
Lineární funkce g a h mají
stejný koeficient b, jejich
grafy tedy mají společný
průsečík s osou y … [0; 5].
Příklady
Napište rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body:
A[0,2] a B[2,3].
Příklady
Napište rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body:
A[0,2] a B[2,3].
Souřadnice bodů dosadíme do obecné rovnice lineární funkce:
y = ax + b
Dostaneme tak
Dosazením vypočítaných
soustavu dvou koeficientů a a b do
lineárních rovnic
obecné rovnice lineární
o dvou neznámých:
funkce dostaneme námi
koeficientech lineární
hledanou rovnici funkce
funkce a a b.procházející zadanými
2
body.
2 = a.0 + b
3 = a.2 + b
2=b
3 = 2a + b

3 = 2a +
3 - 2 = 2a
1 = 2a
a = 0,5
y = 0,5x + 2
Příklady
Ze sudu, v němž je 150 litrů vody, vyteče každou minutu 30 litrů.
Zapište rovnici funkce, která určuje objem vody v sudu v závislosti
na době vypouštění. Za jak dlouho bude v sudu 20 litrů vody? Řešte
početně i graficky.
Příklady:
Ze sudu, v němž je 150 litrů vody, vyteče každou minutu 30 litrů.
Zapište rovnici funkce, která určuje objem vody v sudu v závislosti
na době vypouštění. Za jak dlouho bude v sudu 20 litrů vody? Řešte
početně i graficky.
y = 150 – 30.x
Množství vody
v sudu.
20 = 150 – 30.x
30.x = 150 – 20
30.x = 130
x = 130 : 30
Čas, počet
minut vytékání.
x = 13/3 min
20 litrů bude v sudu za 4 minuty a 20 sekund.
Příklady
Ze sudu, v němž je 150 litrů vody, vyteče každou minutu 30 litrů.
Zapište rovnici funkce, která určuje objem vody v sudu v závislosti
na době vypouštění. Za jak dlouho bude v sudu 20 litrů vody? Řešte
početně i graficky.
x
y
0
1
150 120
2
3
4
5
90
60
30
0
x = 13/3 min