Transcript garch

Temat piąty
Jednorównaniowe modele zmienności
Analiza szeregów czasowych o wysokiej częstotliwości
• cechy analizy krótkookresowej
• podstawowy i uogólniony model ARCH
• testowanie efektu ARCH/GARCH
• niestandardowe modele ARCH (in mean, z asymetrią,
EGARCH)
• estymacja modeli GARCH, ocena jakości
Cechy analizy krótkookresowej
Do cech procesów losowych (najczęściej procesów finansowych)
charakteryzujących się wysoką częstotliwością zaliczą się:
• naprzemienne występowanie okresów o zwiększonej fluktuacji i
okresów niskiej zmienności zmiennej będącej przedmiotem
zainteresowania
• skupiania wariancji w kolejnych jednostkach czasu, tj. dodatniej
korelacji w dziedzinie zmienności zmiennej będącej przedmiotem
zainteresowania, co przejawia się w wysokiej wariancji zmiennej
powodowanej wzrostem tej wariancji w okresie poprzedzającym i
analogicznie spadkiem wariancji na skutek niskiej wariancji w
okresie poprzedzającym
Podstawowy i uogólniony model ARCH
Rodzaje nieliniowych procesów stochastycznych
W nieliniowej analizie jednowymiarowych szeregów czasowych poszukuje się
funkcji f wiążącej dany proces z ciągiem niezależnych zmiennych losowych o
jednakowym rozkładzie:
Yt  f ( t ,  t 1 ,  t  2 ,...)
(5.1)
gdzie  t jest zmienna losową o średniej zero i jednostkowej wariancji
Powyższa reprezentacja jest nieoperacynja, jest na tyle ogólna, że nie
wiadomo jak dobierać postać funkcji f
Najczęściej przyjmuje się, że nieliniowy proces ekonomiczny ma postać:
Yt  g ( t 1 ,  t  2 ,...)   t h ( t 1 ,  t  2 ,...)
(5.2)
Procesy Yt wyrażone (5.1) z nieliniową funkcją g() nazywamy procesami
nieliniowymi w warunkowej wartości średniej
Procesy Yt wyrażone (5.2) z nieliniową funkcją h2() nazywamy procesami
nieliniowymi w warunkowej wariancji
Powyższa klasyfikacja ma sens gdyż:
Podstawowy i uogólniony model ARCH
Warunkowa wartość oczekiwana Yt może być zapisana:
E (Yt /  t 1 )  g ( t 1 ,  t  2 ,...)
(5.3)
funkcja g opisuje zmiany wartości średniej procesu Yt warunkowo względem
informacji z przeszłości (zbiór Ωt-1 oznacza zbiór wszystkich informacji
dostępnych do momentu t-1)
Kwadrat funkcji h przedstawia zmiany warunkowej wariancji procesu Yt:
D (Y t /  t 1 )  E [( Yt  E (Yt /  t 1 )) /  t 1 ] 
2
2
 E [  t h (  t 1 ,  t  2 ,...) /  t 1 ] 
2
2
 h (  t 1 ,  t  2 ,...) E (  t ) 
2
2
 h (  t 1 ,  t  2 ,...)
2
(5.4)
Do najbardziej znanych modeli nieliniowych w warunkowej wartości średniej
należą: procesu dwuliniowe, nieliniowe procesy autoregresji i średniej
ruchomej, autoregresyjne modele progowe, przełącznikowe i wygładonego
przejścia, procesy autoregresyjne o losowych współczynnikach
Znanymi procesami o zmiennej wariancji warunkowej są:
procesy ARCH/GARCH oraz procesy zmienności stochastycznej
Podstawowy i uogólniony model ARCH
Podstawowym modelem ARCH jest:
y t  xt    t
(5.5)
T
q
ht   0 
  i t  i
(5.6)
2
i 1
gdzie xt jest wektorem zmiennych objaśniających (najczęściej opóźnionych
zmiennych endogenicznych – postać modelu AR)
β jest wektorem parametrów strukturalnych
t jest składnikiem zakłócającym spełniającym warunek  t /  t 1~ N ( 0 , ht )
w celu zapewnienia dodatniości warunkowej wariancji zakłada się ponadto:
0>0 i i≥0
Warto zauważyć, że równanie (5.6) jest nieliniowe ze względu na zmienne,
równanie to (tj. granica sumy q) wyznacza tzw. stopień modelu ARCH,
mówimy o modelu ARCH(q)
Model ARCH(q) opisuje poprawnie proces stacjonarny, lub inaczej model
q
ARCH(q) generuje proces stacjonarny, jeśli spełniony jest warunek

i 1
i
1
Podstawowy i uogólniony model ARCH
Uogólnionym modelem ARCH, czyli modelem GARCH, jest:
y t  xt    t
(5.7)
T
q
ht   0 
  i t  i 
2
i 1
p

i
(5.8)
ht  i
i 1
gdzie oznaczenia zmiennych i parametrów jak w równaniach (5.5) i (5.6)
w celu zapewnienia dodatniości warunkowej wariancji zakłada się ponadto:
0>0 i i≥0 i i≥0
granice sumowania q i p wyznaczają stopień modelu GARCH, mówimy o
modelu GARCH(q, p)
stacjonarność procesu (tj. skończoność bezwarunkowej wariancji) opisanego
modelem GARCH(q,p) jest zapewniona jeśli spełniony jest warunek
q

i 1
p
i


i 1
i
1
Podstawowy i uogólniony model ARCH
W zastosowaniach finansowych wygodnie jest korzystać z tzw. reprezentacji
równoważnej modelu GARCH
v t   t  ht
Niech dany będzie proces vt taki że:
2
 ( t  1) ht

2
ht   t  v t
(5.9)
2
 t ~ N ( 0 , 1)
z formuły (5.8) wyrażającej warunkową wariancję w modelu GARCH wiemy,
że ht należy zapisać:
q
ht   0 
  i t  i 
2
i 1
p
  i ht  i
  vt   0 
  i
2

  i t  i 
2
i 1
  0 
2
t
ht   t  v t   0 
2
  i t  i 
2
i 1
p

i
ht  i
i 1
p
2
t i
i 1
q
 t  vt   0 

i 1
q
2
t
q

 i ( t  i  v t  i )
2
i 1
p
p
  i t  i    i vt  i
2
i 1
q
 
i 1
p


p
    ivt i  vt
i 1
i 1
1

  

 i 
  

i
2
t i
AR (max( p , q ))
i
2
t i
MA ( q )
(5.10)
Testowanie efektu ARCH/GARCH
Testowanie efektu ARCH/GARCH jest ekwiwalentne, tj. istniejące testy nie
pozwalają odróżnić obu procesów
Wynik testu wskazujący na obecność omawianego efektu pozwala jedynie z
określonym prawdopodobieństwem wnioskować o obecności ARCH lub
GARCH, bez możliwości rozróżnienia
Wnioskowanie o rzędach p i q procesów ARCH/GARCH odbywa się na
podstawie miar pojemności informacyjnej
Test Engle’a
Jest to test „typu” mnożnika Lagrange’a, tzn. do testowania hipotezy zerowej
niezbędna jest znajomość jedynie modelu z restrykcjami nałożonymi poprzez
testowaną hipotezę
Przypomnijmy, równaniem pomocniczym wariancji warunkowej w modelu
ARCH (5.6) jest:
q
ht   0 
  i t  i
2
i 1
Engle zaproponował postać modelu AR dla kwadratów reszt uzyskanych z
relacji (5.5) jako dobre przybliżenie relacji (5.6), zatem szacowany (MNK,
ML) model przyjmuje postać:
q
ˆ t   0 
2
  i ˆt  i   t
2
i 1
(5.11)
Testowanie efektu ARCH/GARCH
q
ˆ   0 
2
t
  i ˆt  i   t
2
(5.11)
i 1
Jeśli efekt ARCH/GARCH nie występuje, tzn. nie występuje
heteroskedastyczność wariancji warunkowej, wówczas w (5.11) wszystkie
parametry i powinny zanikać, tak więc hipotezami są:
H 0 :  1   2  ...   q  0
H A :  i  0
Statystyką testową jest: LM  T  R
2
gdzie R2 jest współczynnikiem determinacji wyznaczonym dla modelu (5.11)
Statystyka testowa LM ma rozkład graniczny  o q stopniach swobody,
wnioskowanie o odrzuceniu H0 lub braku podstaw do odrzucenia jest typowe
2
Testowanie efektu ARCH/GARCH
Test McLeoda i Li
W omawianym teście wykorzystuje się statystykę Boxa-Ljunga do weryfikacji
hipotezy o braku autokorelacji kwadratów reszt relacji (5.5), zatem test
przebiega następująco:
• oszacować relację (5.5)
2
• wyznaczyć kwadraty reszt, ˆ t , relacji (5.5)
• obliczyć współczynniki autokorelacji (rzędu od 1 do q) kwadratów reszt
uzyskanych w punkcie poprzednim (Uwaga! Nie zapomnieć o standaryzacji)
T
1
ˆ i 
2
2
cov( ˆ t , ˆ t  i )
D ( ˆ t )
2
2

 ˆt ˆt  i
2
T  j
1
T
2
j  i 1
T
 ˆt
2
t 1
q
• obliczyć statystykę Boxa-Ljunga Q '  T (T  2 )
ˆ i
T
i 1
2
(5.12)
i
• statystyka (5.12) Boxa-Ljunga ma rozkład graniczny  o q stopniach
swobody
• wobec zastosowanej statystyki testowej, zestawem hipotez jest:
H 0 :  1   2  ...   q  0
H A :  i  0
2
Niestandardowe modele GARCH
Model GARCH in MEAN (GARCH-M) przyjmuje postać:
 t /  t  1~ N ( 0 , h t )
y t  x t    ht   t
T
q
ht   0 
 
i
i 1
(5.13)
p
2
t i


i
ht  i
(5.14)
i 1
GARCH-M stosowany jest do modelowania ryzyka (premii za ryzyko)
Jeżeli ocena parametru λ jest dodatnia i parametr może zostać uznany za
statystycznie istotny, wówczas wzrost wariancji warunkowej ht (czyli miary
ryzyka) powoduje wzrost premii za ryzyko w postaci oczekiwanej stopy
zwrotu z papieru (yt)
Niestandardowe modele GARCH
Model GARCH z asymetrią reakcji
Asymetria reakcji na pakietowe zmiany zmienności zmiennej będącej
przedmiotem zainteresowania (rt) może być przybliżona prostym modelem
GARCH-M
 t /  t  1~ N ( 0 , h t )  t  v t h t
rt  a   ht   t
q
ht   0 
  i t  i 
2
i 1
v t ~ N ( 0 , 1)
p

i
(5.16)
ht  i
i 1
Wówczas możliwe jest wyznaczenie vt jako: v t 
rt  ( a   ht )
ht
Warto zauważyć, że proces opisany przez (5.17) charakteryzuje się
rozkładem normalnym standaryzowanym
Można zaobserwować, że prawdziwa jest następująca nierówność:
r
t
(5.15)
 ( a   h t ) /( rt  0 )    rt  ( a   h t ) /( rt  0 ) 
Czego konsekwencją jest:
E  t /( rt  0 )   E  t /( rt  0 ) 
(5.17)
Niestandardowe modele GARCH
Model E-GARCH
W modelu EGARCH czyni się typowe założenia odnoszące się do równania
opisującego zmienną będącą przedmiotem zainteresowania, czyli:
y t  xt    t
 t /  t  1~ N ( 0 , h t )  t  v t h t
T
v t ~ N ( 0 , 1)
(5.18)
Funkcją warunkowej wariancji jest:
q
ln ht   0 

i 1
p
i
( 1 v t  1   2 ( v t 1 
2 /  )) 

i
ln ht  i
(5.19)
i 1
Powyższy model jest modelem typu wykładniczego
Z definicji funkcji wykładniczej wynika, że zapewniona jest nieujemność
wariancji warunkowej
Asymetria reakcji powodowana jest iloczynem iδ1 przykładowo, jeżeli iδ1<0
wówczas wariancja warunkowa ht maleje w miarę wzrostu t-i i rośnie w
przypadku spadku składnika zakłócającego, jednakże nieliniowy charakter
reakcji wymusza różne stopnie reakcji