Prehod iz laminarnega v turbulentni tok v cevi
Download
Report
Transcript Prehod iz laminarnega v turbulentni tok v cevi
Prehod iz laminarnega v
turbulentni tok v cevi
Boštjan Jenčič
Mentor: Iztok Tiselj
Ljubljana 22.5.2012
Vsebina
• Uvod
• Navier-Stokesove enačbe
– Opis
– Laminarni tok
– Turbulentni tok
• Lastnosti turbulenc
• Prehod iz laminarnega v turbulentni tok v cevi
Uvod
• Tok v cevi je lahko laminaren, turbulenten, ali pa je kombinacija
enega in drugega
• Naravo toka je mogoče napovedati z reynoldsovim številom:
Re
UD
• Delež turbulentnega toka se z Reynoldsovim številom povečuje, pri
določenem Re pa postanejo turbulentne motnje stalne
• Pri turbulentnem toku je efektivni pretok tekočine ter njeno mešanje
zelo različno kot pri laminarnem toku.
Navier-Stokesove enačbe
(
v
2
v v ) p v f
t
v 0
•NS enačbe nam opisujejo dinamiko tekočin, ter so
izpeljane iz 2. newtnovega zakona.
•Uporabljajo se v meteorologiji, oceanografiji, energetiki,
letalski in avtomobilski industriji ipd.
•Kljub pogosti rabi pa matematikom še vedno ni uspelo
dokazati, da v 3D vedno obstaja rešitev, ter da v primeru
obstoja rešitev ne vsebuje nobenih singularnosti
Reynoldsovo število v NS enačbah
Če Navier-Stokesove enačbe nekoliko preoblikujemo,
opazimo, da vsebujejo Reynoldsovo število:
u
1
2
u u 1 P F
1 u
t
Re
v
D
D
u
F
f
P
p
2
2
U
U
U
1 D
Sklepati je mogoče, da so vsi tokovi z enakim
Reynoldsovim številom primerljivi.
Laminarni tok
• Primer za okroglo cev
• Stacionaren tok
• NS enačbe se
poenostavijo na:
0 p v
2
• Rešitev je oblike:
p
2
2
v
( R r ) eˆ z
4 l
Turbulentni tok
• Nestacionaren tok, kar naredi reševanje NS
enačb bolj težavno.
• Pri Re>Rec , tok ni več nujno laminaren.
• Problema se je prvi lotil Osbourne Reynolds, ki je
hitrostno polje ter tlačno razdelil na stacionarno,
ter na majhne fluktuacije.
v ( r ) v 0 ( r ) v1 ( r , t )
p ( r ) p 0 ( r ) p1 ( r , t )
• Ker veljajo NS enačbe za v(r) in v0(r), dobimo ob
upoštevanju kontinuitetne enačbe pogoj za v1:
v1
t
p1
2
v 0 v 1 v1 v 0
v1
v1 0
• Izkaže se, da ima lahko za Re~Rec motnja obliko:
i t
v1 ( r ) g ( r ) e
1 i 1
• Rešitev je stabilna takrat, ko velja γ1<0 (Re<Rec) , saj
motnja eksponentno ponikne s časom, ko pa je γ1 >0
(Re>Rec), bi velikost motnje morala naraščati v
neskončnost, čeprav se to ne zgodi. Taka rešitev je
nestabilna.
• Pri reynoldsovih številih malo večjih od Rec, za amplitudo
hitrosti v1 velja: A Re Re c
• Tok je torej mogoče opisati kot vsoto stacionarnega toka,
ter majhnega periodičnega toka:
i ( t )
v (r , t ) v0 (r ) f (r )e
1
1
• Pojavi se prost parameter β1 , ki ga določajo začetni
pogoji.
• Pri večjih Re-Rec je hitrostno polje smotrno zapisati kot periodični tok
v celoti:
v (r , t )
p
i ( t ) p
Ape 1 1
p
• Z nadaljnjim večanjem Re periodični tok dokončno postane
nestabilen. Periodični hitrosti v dodamo majhno korelacijo v2:
i ( i ) t
v2 ( r , t )e 2 2
• Ψ ima periodo 2π/ω1
• Ko se Re še povečuje se pojavljajo še novi tokovi na vedno manjši
skali. Končni rezultat je tok, ki mu pravimo turbulenten in ima obliko:
v (r , t )
p 1 , p 2 ,..., p n
p 1 , p 2 ,..., p n
jn
A p1 , p 2 ,...,
(
r
) Exp [ i p j ( j t j )]
pn
j 1
Popolno razvita turbulenca
• Ob robovih še vedno tanka plast
laminarnega toka, po večini cevi pa je
povprečna hitrost enaka.
• Turbulentni tok je lažje obravnavati
statistično kot deterministično, zaradi
velikega števila prostih parametrov.
• Analogija: Makroskopsko telo, pri
katerem ne poznamo začetnih
položajev ter gibalnih količin vsake
molekule.
• Popolno razvito turbulenco je mogoče opisati
kot superpozicijo vrtincev različnih velikosti.
• Najprej se pojavijo večji vrtinci, nato z nadalnjim
večanjem Re vedno manjši.
• Vsakemu vrtincu lahko pripišemo lastno Re:
Re
v
• Pri večjih vrtincih je Reλ večji, kar ustreza
manjši efektivni viskoznosti, do izgub energije
pride večinoma pri manjših vrtincih.
Lokalna turbulenca
• Vrtinci, katerih velikosti λ so mnogo manjše od velikosti prvotnih
vrtincev L.
• Izguba energije na enoto časa in mase je:
3
v
• Fluktuacija hitrosti je sorazmerna tretjemu korenu velikosti vrtinca
v u (
1
)3
L
4
R
3
1
L
3
u R (
L
4
)3
• Pri najmanjših vrtincih velikosti λ0, mora veljati
Reλ~Rec, iz tega lahko dobimo velikost
najmanjših možnih vrtincev v toku:
0 (
Re c
3
)4 L
Re
• Število prostih parametrov na enoto volumna
lahko ocenimo na:
n
N
V
N (
1
0
9
Re
Re
3
)4
c
(
9
Re
Re
)
c
4
1
L
3
Prehod v turbulentno stanje
• Pri Reynoldsovih številih v okolici Rec , se v sicer
laminarnem toku pojavljajo posamezne turbulentne
motnje z značilno dolžino ~20D.
• Motnja nastane pod pogojem, da v tok vnesemo majhno
perturbacijo, ki spremeni profil hitrostnega polja.
• Ob popolnoma gladkih ceveh je mogoče doseči
laminaren tok tudi pri Re ~105.
Prikaz turbulentne motnje
• Najmanjša amplituda perturbacije, ki je potrebna za
nastanek turbulentne motnje je sorazmerna z Re-σ.
• Perturbacijo je pri eksperimentu mogoče doseči na več
načinov, npr. z pravokolno vbrizganim curkom ali tanko
žičko.
• Ugotovljeno je, da imata oblika in amplituda perturbacije
zanemarljiv vpliv na življenjski čas turbulentne motnje.
Perturbacija v toku zaradi
pravokotno vbrizganega
curka
• Čas obstoja posamezne turbulentne motnje je odvisen le
od Re, ter se ob naraščanju Re podaljšuje eksponentno
ali hitreje, vendar ne divergira.
• Ugotovljeno je bilo, da se motnja poleg tega da razpade,
lahko tudi razcepi na dve enako veliki motnji, zato se
turbulenca sploh lahko ohranja
Proces razcepa turbulentne motnje
Določanje Rec
• S pravokotno vbrizganim curkom
laminarni tok izmaknemo iz ravnovesja,
ter povzročimo turbulentno motnjo
• Nato z dvema tlačnima senzorjema
spremljamo motnjo
• Prvi senzor je postavljen blizu (50D od
nastanka perturbacije) in nam pove, ali
je res nastala natanko ena turbulentna
motnja
• Drugi senzor pomikamo po cevi, ter
merimo število izmerjenih motenj.
A-zaznani dve motnji
B-zaznana ena sama motnja
• Razcep in razpad motnje sta naključna procesa(podobno kot razpad
jedra)
• Verjetnost za razpad:
S (t ) 1 e
t 1
• Verjetnost za razcep:
P (t ) 1 e
( t t0 ) 2
Verjetnost da se motnja ne razcepi v odvisnosti od časa
Točka prehoda je pri Re~2040
• Pri večjih Re(>2300), se
turbulentne motnje ne
cepijo več diskretno,
temveč se širijoturbulence se
‘’delokalizirajo’’
A-Re=2300
B-Re=2450
Povzetek
•
•
•
•
•
Lastnosti Navier-Stokesovih enačb
Laminarni tok v NS enačbah
Turbulentni tok v NS enačbah
Lastnosti turbulentnega toka
Eksperimentalni prikaz prehoda toka iz
laminarnega v turbulentni, ter določitev
točke prehoda
Viri
[1]http://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_e
quations
[2] Landau, Lifshitz: Course of theoretical Physics, volume
6: Fluid Mechanics
[3] Avila K.: The onset of turbulence in pipe flow: Science
333 (2011), str.192
[4] Busse F.H.:Visualizing the dynamics of the onset of
turbulence: Scoence 305 (2004), str 1574